2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修自我小測11份

2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修

自我小測n份

目錄

包］2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測1.1導(dǎo)數(shù)

現(xiàn)2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

當(dāng)2018-2019學(xué)年數(shù)字人教B選修2-2自我小測1.3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

■2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測1.3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

型2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測1.3.3導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用

雪2018-2019學(xué)年數(shù)字人教B選修2-2自我小測1.4.2微積分基本定理

噌2018-2019勢數(shù)字人教B蜘2-2自助、測2.1.1頜頓

包2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測2.1.2演繹推理

力2018-2019學(xué)年數(shù)字人教B選修2-2自我小測2.2.1綜合法與分析法

嘴2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測222反證法

■2018-2019學(xué)年數(shù)學(xué)人教B選修2-2自我小測2.3數(shù)學(xué)歸納法

自我小測

1.設(shè)函數(shù)y（x）=2x+l在區(qū)間［-3,—1］上的平均變化率為a,在區(qū)間［3,5］上的平均變

化率為6,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a＞bB.a＜bC.a=bD.不確定

2.若一物體的運(yùn)動方程為s=2一/2,則該物體在，=6時的瞬時速度為（）

A.8B.-4C.-6D.6

3.若曲線y=/U）在點(diǎn)（須，負(fù)即））處的切線方程為2x+y-l=0,則（）

A.f（x0）＞0B.f（A（））＜0C./'（沏）=0D./（須）不存在

21

4.已知＜x）=］,且/'（nz）=一爹，則，"的值等于（）

A.-4B.2C.-2D.±2

5.若曲線y=af在點(diǎn)（2,4〃）處的切線與直線軟+丫-3=0平行，則a的值等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.已知點(diǎn)P在曲線y=f+x—4上移動，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍

是（）

一八兀1「兀兀\「兀、「兀兀~|

A［O,4JB.Q，2）啥,［D［W，2J

7.若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為s=-F,則該質(zhì)點(diǎn)在f=l到t=3時的平均速度為.

8.已知函數(shù)1x）=x—%則其圖象與x軸交點(diǎn)處的切線方程為.

9.已知於)=%則㈣%+然一解)的值是.

10.已知函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)M(l,式1))處的切線方程是y=5+2,則共1)+/(1)

2

11.求函數(shù)7U)=x+^在工=1處的導(dǎo)數(shù).

12.直線/：y=x+a(a#0)和曲線C7U)=d—#+1相切，求。的值及切點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案

!.詳細(xì)分析：由已知可得1=叱---—+1]b=

一]———

x5+—x3+

5^—2,因此〃=8.

答案：c

2?詳細(xì)分析：瞬時速度為啊辭=㈣■―+AAr=媽

2—^+△/2——

----------------=lim[-z(A0-6]=-6.

----------------Zr-A/—>0Z

答案：c

3.詳細(xì)分析：；切線2r+y-l=0的斜率為-2,...〃xo)=-2.

答案：B

、遼,-

4-詳細(xì)分析：f'1+Ax五——f一x=一72，

21

于是有一正=—5，,/=4,解得加=±2.

答案：D

5.詳細(xì)分析：直線4x+)-3=0的斜率等于一4,

因此曲線在(2,4”)處切線的斜率也等于一4,

即y=7(x)=af在x=2處的導(dǎo)數(shù)等于一4.

fx+Ar-fxax+Ax2一加

而/(、)=[四)—lim------7--------=lax,

Ax->0Ax

因此2〃x2=—4,解得a=-1.

答案：A

6.詳細(xì)分析：由導(dǎo)數(shù)定義可得/(x)=3f+l,因此曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率為々=3f

+1.

當(dāng)x￡R時,k=3^+l>l.

TT兀、

若設(shè)切線傾斜角為圖則tanaNl,因此不2),

答案：B

卜_?2__]2

7.詳細(xì)分析：平均速度為詈=—————=-4.

A/3—1

答案：一4

8.詳細(xì)分析：令x—：=0,得犬=±1,

曲線,/U)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0).

又由導(dǎo)數(shù)定義，得/(x)=l++,

,V(±l)=2,

.?.所求切線方程為y=2(x±l),

即2x-y±2=0.

答案：2%—丫+2=0和2%一了-2=0

11

f+Ax—于2+Ax2—11

9.詳細(xì)分析：lim---TT-------=lim---T-=lim----T7=-7-

Arl0AX——0/XXAx->0+Ax4

答案：-;

10.詳細(xì)分析：由導(dǎo)數(shù)幾何意義知/(l)=k=g.

又火1)=/1+2=|,

于是川)+/(1)=尚+；=3.

答案：3

35Ayf+AA：-f

11.解：/⑴=1而蕓=lim----7------

EJ-AA—OAXAX-0AX

2

13

+AX+1+I_ALxA

=lim------7-----

Ar—OAr

.Ax+2-3.Ax—1

如b1+Ax-1+AX-1.

即火X）在K=1處的導(dǎo)數(shù)/（1）=-1.

12.解：設(shè)直線/與曲線C相切于點(diǎn)尸（沏，%）,

y（x+A0-於）（x+AX）3_Q+Ar[+[一（/一/2+]）

-------X----1----=lim--------------------7---------------------=3x2—2x.

。）=媽Ax加一0Ax

由題意知3AO—2xo=l,

解得劭=—1或刈=1,

于是切點(diǎn)的坐標(biāo)為（一;,H）或（1,1）.

當(dāng)切點(diǎn)為（一；，H）時，H=-1+?,4=券；

當(dāng)切點(diǎn)為（1,1）時，1=1+。，。=0（舍去），

所以“的值為券，切點(diǎn)坐標(biāo)為（一;，H）

自我小測

1.若函數(shù)y=x-2*且y'=0,貝?。輝=（）

A七B.一班C.In2D.-In2

2.若函數(shù)y=/（x）W在x=x（）處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，則xo的值（）

A.等于0B.等于1C.等于義D.不存在

3.曲線y=f—級+1在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為（）

A.y=x—1B.y=—x+1C.y=2x-2D.y=—2x+2

4.設(shè)%（x）=sinx,力（x）f（x）,/（x）=/i'（x）,…，￡,+i（x）=%'（x），”GN,則無oi4（x）

=（）

A.sinxB.—sinxC.cosxD.—cosx

5.已知函數(shù)/U）=sinx+M'件），則彳一§與局的大小關(guān)系是（）

A.代）=媚B.?。攫耄〤.0）＜痣）D.不能確定

X"2

6.已知函數(shù)大幻=干，則，（-2）=.

7.已知函數(shù)_/U)=$：3+(3—a)x+b.若/'(2)=7,則/(-2)=.

8.已知函數(shù)犬工)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足40=3x2+2^'(2),則，(5)=.

9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

2

⑴y=tanx；(2)y=xsmx—嬴Q；

丫cosx-Inx/―；—

(3VU)=3sinx--------------;(4)y=ln^/x+l.

10.已知y(x)=Asin(小x+p)(A>0,0<9<7t),f(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，g(x)=/(x)+/(x),

若g(x)的最大值是4,一條對稱軸是)-軸，求/(x).

參考答案

1.詳細(xì)分析：因為y=?2*,所以y=2*+x-2*Jn2.

令2*+x2」n2=0,解得工=一看.

答案：B

2.詳細(xì)分析：力公㈢』哼￡

???/(,。)="°"廠"

d〃、京口再牛。、_____。_

又/°)一e沏x0,依越意付ex“/0?+沏ex一°,

解得%o-2,

答案：C

3.詳細(xì)分析：???y=3x2—2,

/.曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線的斜率k=1,

,切線方程為y—0=l?(x—1),即、=工一1.

答案：A

4.詳細(xì)分析：?.Wx)=sinx,

，力(x)=/)'(x)=(sinx),=cosx,

fi(x)=力'(x)=(cosx)'=-sinx,

%(x)=A'(x)=(-sinx)'=—cosx,

力(x)=(-cosx)'=sinx,

A4為最小正周期，

??fioi4(x)=,(x)=_sinx.

答案：B

5.詳細(xì)分析：因為y(x)=sinx+2j/(W),

所以f(x)=cosx+4g)

令可，得咯H+2/?,

所以鷹)=■

這時段)=sinx-xf

所以4—號刁仔)

答案：B

—

6.詳細(xì)分析：/(笛2=x」-X.-I*—-V盧**=-

—2+2X—

于是/(—2)二------F-2一=0.

答案：0

7.詳細(xì)分析：/(》)=?+3—。是偶函數(shù)，所以/(一2)=/(2)=7.

答案：7

8.詳細(xì)分析：由兀0=3/+力/(2),

得八X)=6X+4(2),

令x=2,得/(2)=12+2*2),

所以了(2)=-12,

這樣/(x)=6x-24,

故7(5)=6x5—24=6.

答案：6

9.解：(l))'=tanx=^^,

.,_(sinx、,_______xx—sin.犬cos'+siifx1

**-v~\cosx)~cos~x-cos~x--cos2%,

(2)/=(xsinx)'—(癮)=sinx+xcos、一舞?

(3)V(3vsinx),=(3A),sinx+3A(sinx)/=3Aln3sinx+3vcosx=3A(sinxln3+cosx);

(cosx-In)

%—Inxx—%—Inx

=2

(—sinx-；)LCOSX+Inx

—1—xsinx-cosx+Inx

—2

1+xsinx+cosx-Inx

?\/(x)=3v(sinxln3+cosx)4

(4)Vy=1ln(x+l),

??T*7(X+D'=一

10.解：=Asin(-\/3x+(/)),

:.f(x)=yl3Acos(yl3x+(p),

?,.g(x)=/(x)+/'(x)

=Asin(小x+p)+小Acos(小x+夕)

=2AsinH3x+^+1j.

???g(x)的最大值是4,???2A=4,：.A=2.

又g(%)的一條對稱軸是y軸，即g(%)是偶函數(shù),

：.g(x)=g(-x)9

7T

/.sin|=sin|5

/.sin小xcos(8+W)

7T7T

,3+g=E+/(k￡Z).

71

VO<^9<7C,：.(p=Q

/.y(x)=2sin(，§x+W.

自我小測

1.函數(shù)於尸學(xué)一4x的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-8,-2)B.(-2,2)C.(2,+°°)D.(-°0,-2)U(2,+°°)

2.函數(shù)Z(x)=(x—3)e,的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(2,+8)B.(0,3)C.(1,4)D.(一8,2)

3.函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(

A《,v)B.(兀,2兀)

D.(2兀，3兀)

4.已知函數(shù)y^+bx2+(b+2)x+3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍為

)

A.(-8,-1)U(2,+°°)B.(-8,-1]U[2,+8)C.(-2,1)D.[-1,2]

5.已知/(x)是火x)的導(dǎo)數(shù)，且y=4'(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.7(x)在(-8,0)上是增函數(shù)B.兀0在(-1,1)上是增函數(shù)

C.?r)在(-1,0)上是增函數(shù)D.式x)在(1,+8)上是減函數(shù)

6.設(shè)一X),g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),且/(x)g(x)—Ax)g'(x)<0,則

當(dāng)時有()

A.J(x)g(x)>J(b)g(b)B./(x)g(“)>/(a)ga)C.1/(x)g3)>式3g(x)D.火x)g(x)>

/a)g(a)

7.函數(shù)y=-$3+》2+5的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

8.如果函數(shù)凡r)=—/+辰(％為常數(shù))在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，則b的取值范圍是

9.若函數(shù)y=/U)圖象上任意一點(diǎn)(即，式項))處的切線的斜率A=(xo+D(xo+3)2,貝lj

的單調(diào)遞增區(qū)間是.

10.若函數(shù)y(x)=7七(其中“CR,。>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一2,2),試求其單調(diào)遞減區(qū)

間.

兀

11.已知0<x<］,求證：tanx>x.

12.已知式x)=e'—ax—1.

(1)求兀t)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若_/(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求〃的范圍；

(3)是否存在"，使/U)在(-8,0］上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出

“的值；若不存在，說明理由.

參考答案

1.詳細(xì)分析：/(X)=X2-4,令f-4V0,得一2<xV2,即單調(diào)遞減區(qū)間是(一2,2).

答案：B

2.詳細(xì)分析：，(x)=e'+(x-3)e'=e'(x-2),令/(x)>0,即e'(x—2)>0,得x>2,

故單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+?>).

答案：A

3.詳細(xì)分析：y'=cosx-xsincosx=_xsinx,當(dāng)xG(兀，2兀)時，-xsinx>0,故

函數(shù)>,=xcosj：-sinx在(兀，2兀)上為增函數(shù).

答案：B

4.詳細(xì)分析：假設(shè)函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)，則由<=%2+2云+6+220恒成立，

得A=(2〃)2—4g+2)W0,解得一1W8W2.

又因為<不恒大于0,故實數(shù)6的取值范圍為6<—1或b>2.

答案：A

5.詳細(xì)分析：由已知圖象可知：當(dāng)xe(-8,-1),(-1,0),(0,1),(1,+8)時，分

別有/(x)>0,/(x)<0,f(x)>0,f'(x)<0,故危)在(一8,0)和(一1,1)上無單調(diào)性，

在(一1,0)上是臧函數(shù)，在(1,+8)上是減函數(shù)，故選D.

答案：D

6.詳細(xì)分析：記F(x)=瞿，

6W

則F'(x)=-g'x)

???/(x)g(x)—Ax)g'(x)<0,

：.F'(x)<0,即F(x)在(a,。內(nèi)是減函數(shù).

又a<x<bfAF(x)>F0),

，瑞〉瑞，?,優(yōu)x)gS)>g0次")?

答案：c

7.詳細(xì)分析：y'=-X2+2JC,令y'>0,得0<x<2,令y'<0,得x<0或x>2,

故函數(shù)曠=-53+#+5的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(一8,0),(2,+°°).

答案：(0,2)(—8,0),(2,+8)

8.詳細(xì)分析：?./(%)=-3/+6>0(0<》<1)恒成立，

.,.Z?23』(0<xVl)恒成立，故623.

答案：［3,+8)

9.詳細(xì)分析：依題意得/(X)=(X+1)(X+3)2,由，(x)20得X2一1,所以單調(diào)遞增

區(qū)間是1―1,+°°).

答案：［—1，+8)

/+a—2A2—x?+q

10.解：由于。>0,所以大x)的定義域是R,且/(x)=(1+“尸=(『+“)2,

—X"--I-a—x~-1-4

令/(x)>0,即戶就>0,得了一4<0,其解集為(一2.2),故。=4,這時，(x)=&qq產(chǎn)

令/(x)V0,得x<—2或x>2,故兀行的單調(diào)遞減區(qū)間應(yīng)是(一8,—2)和(2,+8).

11.證明：令/(x)=tanx—x,顯然於)在(0,手上是連續(xù)的，且的)=0.

■:f'(x)=(tanx—x)'l=tan2x,

,當(dāng)xe(0,?時，fW>0,

即在區(qū)間(o,9內(nèi)y(x)是增函數(shù).

71

故當(dāng)OVxV］時，Xx)>^0)=0,

即tanx-%>0.

jr

故當(dāng)0<》<2時，tanx>x.

12.解：(1)由題意得，/(x)=e-a,令/(x)》0,得

當(dāng)aWO時，有，(x)20在R上恒成立；

當(dāng)a>0時，有x'lna.

綜上，當(dāng)aWO時，?r)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,+8),

當(dāng)〃>0時，7(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［Ina,+8),遞減區(qū)間是(一8,Ma］.

(2)由于(x)=e*—a,

依題意，應(yīng)有e'-在R上恒成立，即aWe*.

當(dāng)xGR時，evC(O,+°°),...aWO.

(3/(x)=e'-?.

若1x)在(-8,0］上單調(diào)遞減，

則e*-aWO在(-8,0］上恒成立，即a2e*,

而當(dāng)xW(-8,0］時,e*Wl,二心1；

若人X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

則e'—a20在［0,+8)上恒成立.

即aWe",而當(dāng)xG［0,+8)時,，aWl.

綜上可得a=l,故存在a=l滿足條件.

自我小測

1.下列函數(shù)中，以x=0為極值點(diǎn)的函數(shù)是（）

471

A.y=-xB.C.y=ln（x+l）D.y=-

2.函數(shù)於）=x-sinGc2,兀］的最大值為（）

JI

A.n~1B，2—1C.nD.7t+1

3.函數(shù)y(x)的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)，(x)的圖象如圖所示，則函數(shù),7(x)()

74

A.無極大值點(diǎn)，有四個極小值點(diǎn)B.有三個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)

C.有兩個極大值點(diǎn)，兩個極小值點(diǎn)D.有四個極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)

A.有最大值2,無最小值B.無最大值，有最小值一2

C.最大值為2,最小值為一2D.無最值

5.已知函數(shù)y=x)—3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點(diǎn)，則c=()

A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1

—A-1-2,r~l~a

6.若不等式^—>0在區(qū)間［1⑵上恒成立，則。的取值范圍是()

A.aW—1B.a<—1C.D.a>4

7.函數(shù)Xx)=x-e"的最小值是.

8.己知函數(shù)迷?=丁+3加+33+2口+1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍

是.

9.設(shè)函數(shù)兀1)=/一ZeV+znx—lnx,記g(x)="?,若函數(shù)g(x)至少存在一個零點(diǎn)，則

實數(shù)m的取值范圍是.

10.已知函數(shù)4x)=—/f+f+Sx+a.

(1)求人x)的單調(diào)減區(qū)間；

7

(2)若7U)在區(qū)間［—3,4］上的最小值為求a的值.

11.設(shè)x=l與x=2是函數(shù)y(x)=alnx+fex2+x的兩個極值點(diǎn).

(1)試確定常數(shù)。和力的值：

(2)試判斷x=l,x=2是函數(shù)_/(x)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并說明理由.

12.已知aWR,函數(shù)於尸三+lnx—1.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,逃2))處的切線方程；

(2)求在區(qū)間(0,e］上的最小值.

參考答案

1.詳細(xì)分析：易知y=f在x=0取得極小值.

答案：B

兀

2.詳細(xì)分析：f(x)=l—cosx,當(dāng)兀時，f(x)>0,/U)單調(diào)遞增，所以最大

值為式兀)=兀-sin兀=兀

答案：c

3.詳細(xì)分析：由圖象可知，y(x)在a,c取得極大值，在b,d取得極小值.

答案：C

4(1—r-,)

4.詳細(xì)分析：y=江百，令y'=0得x=±l,容易驗證當(dāng)x=—1時，函數(shù)取極小

值1-1)=-2,當(dāng)x=l時函數(shù)取極大值負(fù)1)=2,此即為函數(shù)的最小值和最大值.

答案：C

5.詳細(xì)分析：y'=3?-3=3(x+l)(x-l).

當(dāng)y'>0時，xV—1或無>1：

當(dāng)y‘V0時，一lVxVl,

?I函數(shù)的遞增區(qū)間為(-8,—[)和(],+8),遞減區(qū)間為(一1/)，

??/=一1時，取得極大值；X=1時，取得極小值.

要使函數(shù)圖象與X軸恰有兩個公共點(diǎn)，只需：

人一1)=0或次1)=0,即(一1)3—3義(-1)+。=0或13-3X1+C=0,

，c=-2或c=2.

答案：A

—x，-I_2x~I-ci

6.詳細(xì)分析：不等式一~?>()在區(qū)間[1,2]上恒成立，

即一f+2x+a>0恒成立，C.a>x—2x,

令g(x)=f—2占g'(x)=3x2—2,

令g‘(x)=。，得x=q^.

VxG[l,2],;.只取x=乎.

又g(l)=-l,g(啕=一喑，g(2)=4,

故g(x)在[1,2]上的最大值為4,

因此a的取值范圍是a>4.

答案：D

7.詳細(xì)分析：/(x)=e'(x+l),令/'(x)=0得x=-l,且當(dāng)xV-l時，f(x)<0;

當(dāng)》〉一1時，/(x)>0,所以/(x)在*=-1取得極小值，亦即最小值逃-1)=一土

答案：T

8.詳細(xì)分析：f(x)=3X2+6ax+3(a+2),依題意知/'(x)=0這一方程有兩個不相等

的實數(shù)根，故A>0,即36a2—36(“+2)>0,解得“>2或〃<一1.

答案：。>2或“<一1

9.詳細(xì)分析：由題意得g(x)=f—2ex+/n-今\

Inx—1

故g'(x)=2(x—e)+—q—,g'(x)=0有唯一解》=6,故g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在

(e,+8)上單調(diào)遞增.

21

從而g(x)min=g(e)=m—e--

要使函數(shù)g(x)至少存在一個零點(diǎn)，

則需，“一e2一［wo,從而，*We2+±

故實數(shù)，〃的取值范圍是(一8,e2+^.

答案：(-8,e2+1

10.解：(1)因為/(X)=-X2+2X+3,

令/'(x)<0,則一d+ic+3<：0,

解得xV—1或x>3.

所以函數(shù)共幻的單調(diào)減區(qū)間為(一8,—1)和(3,+°°).

(2)當(dāng)x變化時，/㈤，段)的變化情況如下表：

X-3(13,—1)-1(-1,3)3(3,4)4

fw一0+0—

5“+岑

。+

於)a+9a~39

所以危)在(一3,—1)和(3,4)上分別是減函數(shù)，在(一1,3)上是增函數(shù).

520

又因為人-1)=4一?/(4)=6r+y,

所以#一1)〈孤4),

所以八一1)是汽笛在［-3,4］上的最小值，

57

所以§=Q，解得々=4.

11.解：(l)\'J(x)=alnx+bx^+x,

?"a)=f+2bx+l.

由題意可知，/(1)=/⑵=0,即

2

a+2b+1=0,a—予

Q解方程組得，

]+4b+l=0,1

6,

(2)由(1)知?￥)=—|lnx—|x2+x,

fW=-y-1-|x+i.

原函數(shù)定義域為(0,+°°),

當(dāng)工￡(0』)時，f(x)<0;

當(dāng)x￡(l,2)時，f(x)>0;

當(dāng)xe(2,+8)時，f(x)<0.

故在x=l處函數(shù)於)取得極小值得，

42

在x=2處函數(shù)取得極大值qln2.

12.解：(1)當(dāng)。=1時，Xx)=^+lnx-l,xG(0,+8),

所以/(》)=一，+［=^7^，xG(0,+0°).

因此/(2)=：.

即曲線尸危)在點(diǎn)(2,12))處的切線斜率為由

又12)=M2_；,

所以曲線y=?r)在點(diǎn)(2,火2))處的切線方程為y一(in2—，=；(x—2),

即x-4y+41n2-4=0.

(2)因為火x)=￡+Inx-1,

所以/(x)=-［+*^g

令f'(x)70,得x=a.

①若4W0,則/'(x)>0,函數(shù),/(x)在區(qū)間(0,e］上單調(diào)遞增，此時函數(shù)大x)無最小值.

②若0<“<e,則當(dāng)xG(0,〃)時，/(x)<0,函數(shù)KO在區(qū)間(0,〃)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xC(d,e］時，f(x)>0,函數(shù)_/U)在區(qū)間(n,e］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=a時，函數(shù)y(x)取得最小值Ina.

③若則當(dāng)xC(0,e］時，/(x)<0,函數(shù)兀c)在區(qū)間(0,e］上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時，函數(shù)兀v)取得最小值2

綜上可知，當(dāng)“W0時，函數(shù)4x)在區(qū)間(0,e］上無最小值；

當(dāng)OVaVe時，函數(shù),/(X)在區(qū)間(0,e］上的最小值為Ina;

當(dāng)a2e時，函數(shù),/（x）在區(qū)間（0,e］上的最小值為2

自我小測

1.將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為（）

A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不正確

2.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元,

f1,

400x一次，0WxW400,

已知總收益R（元）與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系是R=J丫則總利潤P最大

.80000,x>400,

時，每年的產(chǎn)量是（）

A.100件B.150件C.200件D.300件

3.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與存款利率成正比，比例系數(shù)

為"伏>0）,貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x5

￡（0,0.048））,則存款利率為時，銀行可獲得最大收益.（）

A.0.012B.0.024C.0.032D.0.036

4.已知矩形的兩相鄰頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個頂點(diǎn)位于拋物線y=4-W在x軸上方的

部分，則此矩形面積的最大值是.

5.已知某工廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為C=25000+200x+攝2（元），則當(dāng)平均成本最低

時，x-件.

6.將邊長為1m正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形,

1,（梯形的周長了

記s一梯形的面積'則S的最小值是.

7.某工廠擬建一座平面圖（如圖所示）為矩形且面積為200m2的三級污水處理池，由于

地形限制，長、寬都不能超過16m,如果池外周壁建造單價為每米400元，中間兩條隔墻

建造單價為每米248元，池底建造單價為每平方米80元（池壁厚度忽略不計，且池?zé)o蓋）,

求污水處理池的長和寬各為多少時，污水處理池的總造價最低？并求最低總造價.

8.貨車欲以xkm/h的速度行駛，去130km遠(yuǎn)的某地.按交通法規(guī)，限制x的允許范

圍是50Wx<100.假設(shè)汽油的價格為2元/L,而汽車耗油的速率是(2+罰L/h.司機(jī)的工資是

14元/h,試問最經(jīng)濟(jì)的車速是多少？這次行車的總費(fèi)用最低是多少？(結(jié)果保留整數(shù))

7T

9.如圖所示，扇形4。8中，半徑。4=1,NAOB=],在OA的延長線上有一動點(diǎn)C,

過C作CQ與相切于點(diǎn)E,且與過點(diǎn)B所作的OB的垂線交于點(diǎn)D,問當(dāng)點(diǎn)C在什么位

置時，直角梯形的面積最小.

參考答案

1.詳細(xì)分析：設(shè)其中一個數(shù)為x,兩數(shù)立方之和為以

則另一個數(shù)為8—》，>=/+(8—x)'0WxW8,y'=3x2—3(8—x)2,

令y'=0,即3?—3(8一功2=0,得x=4.

當(dāng)0WxV4時，y'<0;當(dāng)4VxW8時，y'>0.

所以當(dāng)x=4時，y最小.

答案：B

2.詳細(xì)分析：由題意，總成本為C=20000+100x.

400.r-^x2-lOOx-20000,0<xW400,

所以總利潤P=R—C=，2

,80000-100A—20000,JV>400,

f300-x,O0W4OO,

則P'=i

[-100,x>400,

令P=0,得x=300,

易知當(dāng)x=300（件）時，總利潤最大.

答案：D

3.詳細(xì)分析：由題意，存款量g(x)=fcr(Z>0),銀行應(yīng)支付的利息〃(工)=煙。)=履2,x

E(0,0.048).

設(shè)銀行可獲得的收益為y,則y=0.048"一區(qū)2.

于是<=0.048攵-2玄，令<=0,解得x=0.024,

依題意知y在x=0.024處取得最大值.

故當(dāng)存款利率為0.024時，銀行可獲得最大收益.

答案：B

4.詳細(xì)分析：由題意可設(shè)點(diǎn)A(x,y),則點(diǎn)8(一羽y),C(—x,0),D(x,0),其中OVxV

2,0V)Y4,

設(shè)矩形的面積為S,則5=2xy=2x(4-?)=8x-2x3,

令S'=8—6X2=0,得

又當(dāng)(°，￥)時，S'>0；

當(dāng)xe(半，2)時，S'<0,

故當(dāng)犬=平時，面積取得最大值，此時s=g?.

較塞.衛(wèi)理

口,9

5.詳細(xì)分析：設(shè)平均成本為y元,

25000+200x+畜

25000X

則尸---------：--------卜200+砂》0),

X

,一25000,1

-v——P+福

令=0,得x=l000或》=一1000(舍去).

當(dāng)OWxClOOO時，y'<0,當(dāng)x>1000時，y'>0,

故當(dāng)A=1000時，y取最小值.

答案：1000

6.詳細(xì)分析：如圖所示，設(shè)剪成的兩塊中是正三角形的那一塊邊長為xm,

(3~x)24^/3f—6J+9

監(jiān)T=3(0<x<l),

4小2(37l(k+3)

對S求導(dǎo)得S'=

3(1)2

令S'=0,得或x=3（舍去）,

32s

,,Smin-

3.

答案：喈

寬為誓m,

7.解：設(shè)矩形污水處理池的長為xm,

x《16,

2*羿)X400+孥X248+

據(jù)題意，200解得1S「WXW16,

V

25920(

200X80=800X+V^+16000(1即W16),

259200

令/'(x)=800------7=0,得x=18,當(dāng)xG(0,18)時，函數(shù),/(X)為減函數(shù);

當(dāng)xe（i8,+8）時，函數(shù)y（x）為增函數(shù).因此在定義域內(nèi)函數(shù)y（x）為減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

長為16m,寬為12.5m時，總造價最低，為45000元.

8.解：由已知可得汽車的運(yùn)行時間為斗h,耗油量為42（2+

念）元,

耗油費(fèi)用為G+

司機(jī)的工資為14?個^元,

故這次行駛的總費(fèi)用為

130<2+意)+4130/x,18'

y=2-V=130lT80+T

=13。向(1-718)、

??y

118、

令=0,即130|

y'180x

解得x=1隊麗(x=-18，而舍去).

?；50WxW100,，x=18{Tb七57(km/h)時,

5718、

最低費(fèi)用為130X前十次入82(元).

9.解：如圖所示，作_L04于尸，則力尸=08=。￡,

可知，△0EC94DFC,：.OC=CD.

設(shè)OC=x(x>l),在RtZkCDF中，CD2=CF+D產(chǎn),即*=(》-8。)2+1,/.BD=x~

《1一1,

.?.梯形的面積為S=T（8D+0C）0B=；（2X7￡_1）,s'=1（^2-n^yJ,

令S'=0,得《占=2,解得即=￥，應(yīng)=一￥（舍去），當(dāng)1>羋時，S'>0;

當(dāng)l<x<￥時，S'<0,

.?.當(dāng)工=手時，S取最小值，故當(dāng)OC=￥時，直角梯形OCOB的面積最小.

自我小測

1.下列定積分的值等于1的是（）

AB.J()(x+l)drC.^ldrD.J,^dx

[x2,0Wx<l,fi

2.設(shè)於尸則J/x)cbr=()

\2~x,1aW2,0r

345

--C-

A.456D.不存在

3.如圖，陰影部分的面積是（

A.2小B.2一小C孚D理

4.已知函數(shù)/(a)=/$sin犬dx,則G(9)=()

A.1B.1—cos1C.0D.cos1—1

5.曲線y=cos2x與直線x=0,x=］以及x軸所圍成圖形的面積是()

A.1B.1C.2D.4

6.計算：fEx3dx=.

7.由曲線y=f和y=2x所圍成的圖形面積為.

8.設(shè)a>0.若曲線y=G與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,貝lja=

9.計算下列定積分:

(l)J7(2cos專

⑵'訴嚴(yán)；

⑶4

10.已知曲線C：y=2?-3f—2x+l,點(diǎn)尸Q,()),求曲線C的過點(diǎn)P的切線/與曲

線C圍成的圖形的面積.

參考答案

1.詳細(xì)分析：=1,.,?/ol(iv=x|]=l-0=1.

答案：C

2.詳細(xì)分析：f欲x)dx=fir2dx+f；(2—x)dx

胤+3-匆|2,=j+|=|.

答案：C

3.詳細(xì)分析：S=/.3(3—f—2x)dx=(3x—1?一f)之3=苧.

答案：C

4.詳細(xì)分析：f(a)=J$sinA<ir=(—cosx)珞=1—cosa,于是-cos^fj)

=1-COS1.

答案：B

K￡

5.詳細(xì)分析：結(jié)合圖形可知圍成圖形的面積為S=JJ|cos2x\dx=JJcos2xdx-j-cos

“"4

1-1-11

2%dx=]sin21力一]sin2x\1=]+]=1.

答案：B

6.詳細(xì)分析：f113dA=f：)dx=(￥-31nx)|：=|-31n2.

3

答案：立一31n2

|y=/，I—t-t—I—

7.詳細(xì)分析：由.c可求得兩曲線交點(diǎn)為(0,0),(一也，一2吸)，(V2,2啦)，結(jié)

ly=2x

合圖形可知圖形面積S=2j/(2x~x3)dx=2.

答案：2

8.詳細(xì)分析：由題意可得曲線》=也與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積S=幾

923

y[xdx=^x^=/,解得Q=§

4

答案-

9

9.解：⑴JJ(2cos及一l)dO=JJcosOdd=sin*=坐;

⑵J57^&i=ln(x+3)|；=ln5—In4=ln*

⑶fk2'，dx=(-5-現(xiàn)=_$-2+￡.

10.解：設(shè)切線/與曲線C相切于點(diǎn)M(x(),光)，

2

6X0—6x0—2=~^,

由于y'=6x2-6x—2,所以有＜沏—2