2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

第6頁共7頁2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題考試時間2013題號一二三總分1～56～1011121314得分評卷人復(fù)查人答題時注意：1．用圓珠筆或鋼筆作答；2．解答書寫時不要超過裝訂線；3．草稿紙不上交．一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．設(shè)非零實數(shù)a，b，c，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b+3c＝0,2a＋3b+4c＝0))則eq\f(ab+bc+ca,a2+b2+c2)的值為（）（A）—eq\f(1,2)（B）0（C）eq\f(1,2)（D）12．已知a，b，c是實常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個非零實根x1，x2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以eq\f(1,x12)，eq\f(1,x22)為兩個實根的是（）（A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0（B）c2x2—(b2－2ac)x+a2（C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0（D）c2x2—(b2－2ac)x—a23．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E，若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC4．如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）（A）3（B）4（C）6（D）85．對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：=eq\f(3x3y+3x2y2+xy3+45,(x+1)3+(y+1)3—60)，且，則的值為（）（A）eq\f(607,967)（B）eq\f(1821,967)（C）eq\f(5463,967)（D）eq\f(16389,967)二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6．設(shè)a=，b是a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為____________．7．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別為3，4，5，則四邊形AEFD的面積是____________．8．已知正整數(shù)a，b，c滿足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，則abc的最大值為9．實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組（a，b，c，d）為___________________________________．ABCED（第7題)ABCFDE（第4題)10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．ABCED（第7題)ABCFDE（第4題)AABCODE（第3題)三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，拋物線y=ax2+bx—3，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB=OC=3OA，直線y=—eq\f(1,3)x2+1與軸交于點D，求∠DBC－∠CBE．AADBCOyxE．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3．若，則，無正整數(shù)解；若，則，無正整數(shù)解；若，則，于是可解得，．（=1\*romani）若，則，從而可得；（=2\*romanii）若，則，從而可得．綜上知的最大值為．9．【答案】，（為任意實數(shù)）【解答】由韋達定理得由上式，可知．若，則，，進而．若，則，有（為任意實數(shù)）．經(jīng)檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件．10．【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則所以，于是是整數(shù)．又，所以，故y的最小值為207，此時．三、解答題（第11題）11．如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點D．（第11題）求∠DBC∠CBE．【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)．直線過點B．（第11題答題）將點C(0，)的坐標(biāo)代入，得．（第11題答題）拋物線的頂點為(1，)．于是由勾股定理得BC＝，CE＝，BE＝．因為BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，．因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝．所以，．12．設(shè)△的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的△，求所有可能的度數(shù)．【解答】分三種情況討論．（=1\*romani）若△為銳角三角形．因為，所以由，可得，于是．（第（第12題答題（=2\*romanii））（第（第12題答題（=1\*romani））（=2\*romanii）若△為鈍角三角形．當(dāng)時，因為，所以由，可得，于是。當(dāng)時，不妨假設(shè)，因為，所以由，可得，于是．（=3\*romaniii）若△為直角三角形．當(dāng)時，因為為邊的中點，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角．綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及．13．設(shè)，，是素數(shù)，記，當(dāng)時，，，能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．【解答】不能．依題意，得．因為，所以．又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，．當(dāng)時，．進而，，，與，是素數(shù)矛盾；當(dāng)時，，所以，，不能構(gòu)成三角形的三邊長．14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術(shù)數(shù)．【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()．