尖電路原理上課

第六章

周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析6.1非正弦周期量的傅里葉級數(shù)分解6.2非正弦周期量的有效值和平均功率6.3非正弦周期電流電路的計算6.4濾波器第六章周期性非正弦穩(wěn)態(tài)電路分析學習目標與要求

(1)充分理解和掌握周期函數(shù)分解為傅立葉的方法;(2)掌握有效值、平均值和平均功率的計算;(3)熟練掌握非正弦周期電流電路的計算;(4)理解濾波器的概念.6.1非正弦周期量的傅里葉級數(shù)分解前面討論的是正弦交流電路，其中電壓和電流都是正弦量。但在實際的應(yīng)用中我們還常常會遇到非正弦周期的電壓或電流。分析非正弦周期電流的電路，仍然要應(yīng)用電路的基本定律，但和正弦交流電路的分析還是有不同之處；本章主要討論的非正弦周期量可以分解為恒定分量（如果有的話）和一系列頻率不同的正弦量。如：半波整流電路的輸出信號1.特點:

按周期規(guī)律變化，但不是正弦量。2.非正弦周期交流信號的產(chǎn)生1)電路中有非線性元件；2)電源本身是非正弦；3)電路中有不同頻率的電源共同作用。+-+-一、非正弦周期交流信號OO激勵是是正弦電壓，電路元件是非線性元件二極管整流電壓是非正弦量。tuOT/2TtuOT/2T整流分半波整流和全波整流半波整流全波整流tiOtiO方波電流鋸齒波

實驗室常用的信號發(fā)生器 可以產(chǎn)生正弦波，方波，三角波和鋸齒波；示波器內(nèi)的水平掃描電壓周期性鋸齒波計算機內(nèi)的脈沖信號OOT

tO晶體管交流放大電路交直流共存電路u0t+Ucc+-+-u0+-tuit由語言、音樂、圖象等轉(zhuǎn)換過來的電信號，都不是正弦信號；非電量測量技術(shù)由非電量的變化變換而得的電信號隨時間而變化的規(guī)律，也是非正弦的；自動控制和電子計算機使用的脈沖信號都不是正弦信號。無線電工程和其他電子工程非正弦周期信號 f(t)=f(t+kT) k=0,±1,±2,…非正弦非周期信號 不是按正弦規(guī)律變化的非周期信號3.非正弦信號的分類4.非正弦周期交流電路的分析方法etE0e1問題1iReE0e1+++---此時電路中的電流也是非正弦周期量。即：不同頻率信號可疊加成周期性的非正弦量。問題2：既然不同頻率的正弦量和直流分量可以疊加成一個周期性的非正弦量，那么反過來一個非正弦的周期量是否也可分解為正弦分量和直流分量呢？數(shù)學上已有了肯定的答案，一切滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)都可以分解為傅里葉級數(shù)。這樣就可將非正弦周期量分解為若干個正弦交流電路來求解。諧波分析法應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開方法，將非正弦周期激勵電壓、電流或信號分解為直流分量和一系列不同頻率的正弦量之和；根據(jù)疊加定理，分別計算直流分量和各個正弦量單獨作用下在電路中產(chǎn)生的同頻率正弦電流分量和電壓分量；把所得分量按時域形式疊加。二周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)1.周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)數(shù)學工具：傅里葉級數(shù)f(t)=f(t+kT)T為周期函數(shù)f(t)的周期，k=0，1，2，……。如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就能展開成一個收斂的傅里葉級數(shù)。電路中的非正弦周期量都能滿足這個條件。狄里赫利條件在一周期內(nèi)有有限個極大、極小值，有限個第一間斷點。2．傅里葉級數(shù)(Fourierseries)的兩種形式(1)第一種形式式中系數(shù)的計算公式(2)第二種形式直流分量基波（或一次諧波）二次諧波（2倍頻）高次諧波(3)兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系第一種形式第二種形式3.f(t)的頻譜傅里葉級數(shù)雖然詳盡而又準確地表達了周期函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。為了表示一個周期函數(shù)分解為傅氏級數(shù)后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”，用長度與各次諧波振幅大小相對應(yīng)的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，得到的圖形稱為f(t)的頻譜。(1)幅度頻譜各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。(2)相位頻譜 把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。０Akmkω4ω3ω2ωω例：求周期性矩形信號的傅里葉級數(shù)展開式及其頻譜Of(t)tωtEm-Emπ2πT解：f(t)在第一個周期內(nèi)的表達式為f(t)=Em-Em0根據(jù)公式計算系數(shù)f(t)OtωtEm-Emπ2πT=0當k為偶數(shù)時：cos(kπ)=1bk=0當k為奇數(shù)時：cos(kπ)=－1由此求得0f(t)Em-Emωt0f(t)tωtEm-Emπ2πTf(t)=Em-Em令Em=1，ωt=π/2矩形信號f(t)的頻譜OAkmkω7ω5ω3ωω11/31/51/7(1)偶函數(shù) f(t)=f(-t) 縱軸對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot4.非正弦函數(shù)波形特征與展開式系數(shù)之間的關(guān)系可以證明： bk=0展開式中只含有余弦頂分量和直流分量f(t)=-f(-t)原點對稱的性質(zhì)f(t)Otf(t)Ot(2)奇函數(shù)可以證明： ak=0展開式中只含有正弦項分量f(t)=-f(t+T/2)鏡對稱的性質(zhì)Of(t)tT(3)奇諧波函數(shù)可以證明： a2k=b2k=0展開式中只含有奇次諧波分量f(t)=f(t)=f(t+T/2)Of(t)tT(4)偶諧波函數(shù)可以證明： a2k+1

=b2k+1

=0展開式中不含有奇次諧波分量f(t)=判斷下面波形的展開式特點f(t)是奇函數(shù) 展開式中只含有正弦分量f(t)又是奇諧波函數(shù) 展開式中只含有奇次諧波f(t)=f(t)OtT系數(shù)Akm與計時起點無關(guān)（但φk是有關(guān)的）。這是因為構(gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振幅以及各次諧波對該函數(shù)波形的相對位置總是一定的，并不會因計時起點的變動而變動；因此，計時起點的變動只能使各次諧波的初相作相應(yīng)地改變。由于系數(shù)ak和bk與初相φk有關(guān)，所以它們也隨計時起點的改變而改變。 系數(shù)和計時起點的關(guān)系矩形波、三角波、鋸齒波、全波整流電壓的傅里葉級數(shù)展開式矩形波電壓三角波電壓uOUmTOUmT鋸齒波電壓全波整流電壓OTUmOTUm6.2非正弦周期量的有效值和平均功率一、非正弦周期量的有效值1、有效值的定義對于一個周期性電流i(t)，其有效值為2、有效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系假設(shè)非正弦周期電流i(t)可以分解為傅里葉級數(shù)則得電流的有效值為有效值與各次諧波有效值之間的關(guān)系式中：同理，非正弦周期電壓的有效值為：結(jié)論：非正弦周期函數(shù)的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的方根。二、非正弦周期量的平均值1、平均值的定義非正弦周期電流平均值等于此電流絕對值的平均值。2、正弦量的平均值=2Im/π=0.637Im=0.898I它相當于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值，這是因為取電流的絕對值相當于把負半周的各個值變?yōu)閷?yīng)的正值。ωtOiIavIm3、不同類型儀表的不同測量結(jié)果用磁電系儀表（直流儀表）測量，所得結(jié)果將是電流的恒定分量；用電磁系或電動系儀表測量時，所得結(jié)果將是電流的有效值；用全波整流磁電系儀表測量時，所得結(jié)果將是電流的平均值。由此可見，在測量非正弦周期電流和電壓時，要注意選擇合適的儀表，并注意各種不同類型儀表的讀數(shù)所示的含意。例：計算下圖所示電流的有效值和平均值0ti(A)T/4T解：有效值為10=5A平均值為三、非正弦周期電流電路的功率1、瞬時功率無源二端網(wǎng)絡(luò)u(t)i(t)設(shè)則2、平均功率結(jié)論：平均功率等于恒定分量構(gòu)成的功率和各次諧波平均功率的代數(shù)和。說明:1.Uk和Ik各次諧波分量的有效值；2.是各次諧波電壓和電流的相位差；例：已知某網(wǎng)絡(luò)端口的電壓和電流如圖所示，求電壓和電流的有效值和一端口的平均功率。解：×電流的有效值無源二端網(wǎng)絡(luò)u(t)i(t)電壓的有效值平均功率P0=50×1=50所以6.3非正弦周期電流電路的計算一、非正弦電流電路的計算具體步驟

利用傅里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)分解為恒定分量和各次正弦諧波分量相加的形式；1、傅氏分解2、單獨求解利用直流和正弦交流電路的計算方法，對恒定分量和各次諧波分量分別計算。3、疊加將以上計算結(jié)果，用瞬時值疊加。1、傅氏分解說明；(1).高次諧波取到哪一項為止，要看所需要準確度的高低而定。

利用傅里葉級數(shù)，將非正弦周期函數(shù)分解為恒定分量和各次正弦諧波分量相加的形式；(2).傅里葉級數(shù)應(yīng)展開成第二種形式。2、單獨求解利用直流和正弦交流電路的計算方法，對恒定分量和各次諧波分量分別計算。說明；(2).對各次諧波分量，求解時可以用相量法進行，但要注意，感抗XL、容抗XC與頻率有關(guān)。(1).直流分量單獨作用時電感L相當于短路;電容C

相當于開路.3、疊加將以上計算結(jié)果，用瞬時值疊加。說明；把表示不同頻率正弦電流的相量直接相加是沒有意義的，最終求得的響應(yīng)是用時間函數(shù)表示的。在圖示電路中，，，例：輸入電源為求電流i和電阻吸收的平均功率P。各次諧波是正弦量，采用的方法是相量法電流相量的一般表達式分析iRC輸入電源為iRC直流分量U０=10V，I0=0P0=0I0RC解：電路如右圖所示．基波k=1時，電路如右圖所示．ìm(1)305.02W輸入電源為iC輸入電源為三次諧波k=3時，ìm(1)175.93Wìm(3)同理求得:P(5)=95.52WP(7)=56.55WP(9)=36.60W最后結(jié)果應(yīng)該按時域形式疊加I0=0例:

方波信號激勵的RLC串聯(lián)電路中,已知：求電流。+RC-L第一步：將激勵信號展開為傅里葉級數(shù)解：T/2TtO等效電源+-+-+-+-T/2TtO直流分量基波最大值代入已知數(shù)據(jù)：得三次諧波最大值五次諧波最大值角頻率電壓源各頻率的諧波分量為

第二步

對各種頻率的諧波分量單獨計算(1)直流分量U0作用：對直流，電容相當于斷路；電感相當于短路。所以輸出的直流分量為：U0I0+-U0作用的等效電路(2)基波作用+RC-L(3)三次諧波作用+RC-L(4)五次諧波作用+RC-L第三步

各諧波分量計算結(jié)果瞬時值疊加例:如圖所示電路為一低通濾波電路。設(shè)L=32.5mH，C=10F，R1=160，R2=2k。=628rad/s。當電壓時，求負載電阻R2上電壓u2。u1u2+CLR1+CR2計算非正弦周期交流電路

應(yīng)注意的問題1.最后結(jié)果只能是瞬時值疊加。不同頻率正弦量不能用相量相加。2.不同頻率對應(yīng)的XC、XL不同。6.5

濾波器的概念

濾波器的概念濾波器的分類6.5

濾波器的概念將含有電感和電容的電路接在電源與負載間用以抑制不需要的諧波分量、將需要的諧波分量傳送給負載，這種電路稱為濾波器。（1）低通濾波器：保留恒定分量和低于某一定頻率的分量

（2）高通濾波器：保留高于截止頻率的諧波分量

（3）帶通濾波器：保留兩個截止頻率之間的各諧波分量

（4）帶阻濾波器：濾去兩個截止頻率之間的各諧波分量例

截止頻率的確定為幅頻特性為相頻特性截止頻率：幅頻特性曲線下降到最大值的時的頻率為截止頻率.例圖示電路中，激勵u1(t)=u11(1)+u12(

2)，包含

1、

2兩個頻率分量，且

1<

2，要求響應(yīng)u2(t)只含有

1頻率電壓，如何實現(xiàn)？+_u1(t)u2(t)可由下列濾波電路實現(xiàn)：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)并聯(lián)諧振，開路串聯(lián)諧振，短路例電路如圖所示，已知ω=1000rad/s，C=1μF，R=1Ω，在穩(wěn)態(tài)時，uR中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求：（1）us的有效值；（2）電感L1和L2；（3）電源發(fā)出的平均功率。+-usL1L