2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

PAGEPAGE62012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試參考答案及詳細(xì)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分．把答案填在題中的橫線上．1.設(shè)是函數(shù)（）的圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別向直線和軸作垂線，垂足分別為，則的值是．2.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足，則的值是.3.設(shè)，則的最大值是.4.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為ｌ，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．設(shè)線段ＡＢ的中點(diǎn)在ｌ上的投影為，則的最大值是.5．設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐和內(nèi)接于同一個(gè)球．若正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值是．6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．7.滿(mǎn)足的所有正整數(shù)的和是．8.某情報(bào)站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種．設(shè)第１周使用Ａ種密碼，那么第７周也使用Ａ種密碼的概率是．（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）二、解答題：本大題共3小題，共56分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟．9.（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)（1）若對(duì)任意，都有，求的取值范圍；（2）若，且存在，使得，求的取值范圍．10.（本小題滿(mǎn)分20分）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且對(duì)于任意的正整數(shù)，都有（1）當(dāng)時(shí)，求所有滿(mǎn)足條件的三項(xiàng)組成的數(shù)列;（2）是否存在滿(mǎn)足條件的無(wú)窮數(shù)列，使得若存在，求出這樣的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．11.（本小題滿(mǎn)分20分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長(zhǎng)為，且．（1）求證：為定值；（2）當(dāng)點(diǎn)A在半圓（）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最大值為1.5.【答案】4【解析】如圖.連結(jié),則平面,垂足為正的中心,且過(guò)球心,連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),且,易知分別為正三棱錐的側(cè)面與底面所成二角的平面角,則,從而,因?yàn)樗约此?故6.【答案】【解析】由題設(shè)知,則因此,原不等式等價(jià)于因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以即又所以當(dāng)時(shí),取得最大值因此,解得故的取值范圍是7.【答案】33【解析】由正弦函數(shù)的凸性,有當(dāng)時(shí),由此得所以故滿(mǎn)足的正整數(shù)的所有值分別為它們的和為.8.【答案】【解析】用表示第周用種密碼的概率,則第周末用種密碼的概率為.于是,有,即由知，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。所以，即，故二、解答題9.【解析】(1)令則分對(duì)任意,恒成立的充要條件是分(2)因?yàn)樗运苑忠虼擞谑?存在,使得的充要條件是故的取值范圍是分10.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,由得.當(dāng)時(shí),,由得或‥‥‥‥‥‥‥5分當(dāng)時(shí),若得或;若得;綜上,滿(mǎn)足條件的三項(xiàng)數(shù)列有三個(gè):1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分(2)令則從而兩式相減,結(jié)合得當(dāng)時(shí),由(1)知;當(dāng)時(shí),即所以或‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分又所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分11.【解析】因?yàn)樗陨降墓簿€‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分如圖,連結(jié),則垂直平分線段,設(shè)垂足為,于是有(定值)‥‥‥‥10分(2)設(shè)其中則.因?yàn)樗渊E‥‥‥‥15分由(1)的結(jié)論得所以從而故點(diǎn)的軌跡是一條線段,其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為‥‥‥‥‥‥20分2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題一、【解析】證明：如圖.連接,過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),則是的外接圓的切線.因此‥‥‥10分因?yàn)樗渊E‥‥‥20分因而是的外接圓的切線‥‥‥‥‥‥‥‥30分故所以三點(diǎn)共線。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分二、【解析】證明:對(duì)任意的,設(shè)則如果是任意一個(gè)小于的正整數(shù),則‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分由于與中,一個(gè)為奇數(shù),它不含素因子,另一個(gè)是偶數(shù),它含素因子的冪的次數(shù)最多為,因此一定不是的倍數(shù)；‥‥‥‥‥‥‥20分若,且設(shè)其中為非負(fù)整數(shù),為大于的奇數(shù),則‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分下面給出(2)的三種證明方法:證法一:令消去得由于這方程必有整數(shù)解;其中為方程的特解.把最小的正整數(shù)解記為則,故使是的倍數(shù)．‥‥‥40分證法二:由于由中國(guó)剩余定理知,同余方程組在區(qū)間上有解即存在使是的倍數(shù)．‥‥‥‥40分證法三:由于總存在使取使則存在使此時(shí)因而是的倍數(shù)．‥‥‥‥‥40分三、【解析】證法一:不妨設(shè)先證明:對(duì)任意正整數(shù),都有顯然,對(duì)均成立,只有時(shí)右邊取等號(hào)……10分所以,只要證明當(dāng)時(shí),有即可.以為圓心,為半徑畫(huà)個(gè)圓,它們兩兩相離或外切;以圓心，為半徑畫(huà)圓，這個(gè)圓覆蓋上述個(gè)圓‥‥‥‥‥‥‥20分所以‥‥‥‥‥‥‥30分由易知‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分所以對(duì)時(shí)也成立.綜上,對(duì)任意正整數(shù)都有.因而‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分證法二:不妨設(shè)以為圓心,為半徑畫(huà)個(gè)圓,它們兩兩相離或外切;‥‥‥10分設(shè)是是圓上任意一點(diǎn),由于‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分因而,以為圓心,為半徑的圓覆蓋上述個(gè)圓‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分故‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分四、【解析】證法一:(1)對(duì)任意,有‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分令則‥‥‥‥‥‥‥20分又令,則因此存在使得所以‥‥‥‥‥‥‥30分不然一定存在使得因此這與矛盾.所以一定存在使得‥‥‥‥‥40分(2)假設(shè)只有有限個(gè)正整數(shù)使得令則則不存在使得這與（1）的結(jié)論矛盾.所以數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)屬于.終上所述原命題成立‥‥‥‥‥‥‥‥50分證法二:(1)‥‥‥‥‥‥‥10分因此,當(dāng)充分大時(shí),可以大于如何