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第五章不定積§5.1如果xIFx)fx)(或者dFx)fx)dx),則Fx)稱fx)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。例如:sinx2cosxsinx2為cosx在區(qū)間R上的
xx
(x第1原函數(shù)什么時候存如果函數(shù)fx)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù),則其在該區(qū)間上必有原函數(shù)Fx)。證明需要定積分,留在以后問題:原函數(shù)是否唯一?——很明顯,不唯一。對于任意常數(shù)C,F(xiàn)xCFx)fx)第2原函數(shù)相互之間的關(guān)F(x)f(x)F(x)Cf(F(x)G(x)f(x)F(x)G(x)F(x)G(x)第3不定積分的定在區(qū)間Ifx)的全體原函數(shù)成為其在該區(qū)間上f(CF(f(C第4最直接的計算方法:根據(jù)定義和求導(dǎo)法例1求x5dx.xx解∵ x56
x5dxx6C6例2求
1
解 arctanx
1x2111
dxarctanxC第5例3設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的 設(shè)曲線方程為yf(
2fx)是2x的一個原函數(shù)∵2xdxx2C f(x)x2C由曲線通過點(1,2)C所求曲線方程為y 第6微分與積分:互逆的運函數(shù)fx)fx)的積分曲線df(x)dxf(x),F(x)dxF(x)C
d[f(x)dx]fdF(x)F(x)C第7同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不 dxarctanxC dxarccotx1 1第8 x1
x
xdx C(第9需要熟練掌握的基本積分 kdxkx
(k是常數(shù)
xdx
( dxlnx
第10
11111x21
dxarctanxdxarcsinxcosxdxsinxsinxdxcosx
cos2
xdxtanx
sin2
csc2xdxcotx第11secxtanxdxsecxcscxcotxdxcscxexdxex
axdx
aln
sinhxdxcoshxcoshxdxsinhx第12根據(jù)積分表計算不定積例4求積分 5
xdxx
x 77
dx
1x C5
2x7
C2第13三、不[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(kfx)dxkf k0 ∵f(x)dxg(等式成立第14計算不定積分:一些基本的方第15例5求積分
1x2311x23
1x1x2
1x2
1
dx
1x23arctanx2arcsin1x2第161xx2例6求積分x(1x2dx.1x x(1x2)dx
x(1x2x(1x2) 1
dx 1x2 x
1x2 arctanxlnxC第17
1x2解:原式
x41
(x
1
1x2
1x2x33
xarctanx第1812x2
例8求積分x21x212x2
1x2x2解x2(1x2
x2(1x2)dxx2dx1x2x
arctanxC第19例9求積分
dx cos2
12cos2x1 dx1tanxCcos2 第20例10:求
cos2 cos2xsin2
cos2xsin2 dx
dx cos2xsin2cotxtanx
sin2
cos2第21四、原函數(shù)的概念Fxf不定積分的概:fx)dxFx基本積分表第22x2x 1x2
3x52xxcos2x2
cos2 cos2xsin2(11
x2sin2
sec2x x2第23
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