高中數(shù)學第7章三角函數(shù)7.2任意角的三角函數(shù)7.2.4誘導公式第2課時誘導公式5678學案新人教B版第三冊

第2課時誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧學習目標核心素養(yǎng)1.掌握誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正確運1.通過誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧的推導，培用這些公式求任意角的三角函數(shù)值．(重點)養(yǎng)學生的邏輯推理核心素養(yǎng)．2.能運用誘導公式進行簡單的三角函數(shù)的化2.通過誘導公式的應用，提升學生的邏輯推簡與恒等式的證明．(重點、難點)理及數(shù)學運算核心素養(yǎng).1.誘導公式⑤πsin－＝cos；αα2πcos－＝sin.αα22.誘導公式⑥1πα＋α＝cos；sin2πα＋α＝－sin.cos23.誘導公式⑦3πsin＋＝－cos；αα23πcos＋＝sin.αα24．誘導公式⑧23πsin－＝－cos；αα3πcos－＝－sin.αα2思考：各組誘導公式雖然形式不同，但存在著一定的規(guī)律，有人把它概括為“奇變偶不變，符號看象限”，你理解這句話的含義嗎？π[提示]誘導公式可以歸納為k·＋2α(k∈Z)的三角函數(shù)值．當k為偶數(shù)時，得α的同名三角函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的異名三角函數(shù)值．然后，在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”．值得注意的是，這里的π奇和偶分別指的是的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍；符號看象限指的是等式右邊的正負號恰為把α看2成銳角時，原函數(shù)值的符號．1.已知sin40°＝a，則cos130°＝()A．a(chǎn)B．－aC．1－a2D．－1－a2B[cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.]ππ2.若cos＋>0，且sinθ－θ<0，則是()2θ2A．第一象限角C．第三象限角B．第二象限角D．第四象限角πC[由于cos＋＝－sin>0，所以sin<0，θθθ2π又因為sin－＝cos<0，所以角的終邊落在第三象限，故選C．]θθθ221π3.如果cos(π＋A)＝－，那么sin＋等于()A2211A．－2B．23C．－23D．21B[cos(π＋A)＝－cosA＝－，21π1A∴cosA＝2，∴sin＋＝cos＝.]A22利用誘導公式求值1π【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－，α為第一象限角，求cos＋的值．α226＋α－αsin35π2π的值．π1(2)已知cos－＝，求cosα631cos(π＋α)＝－cosα＝－，2[解](1)∵1∴cosα＝，又α為第一象限角．2π則cos＋＝－sin＝－1－cosααα22123＝－1－＝－2.2635π2π＋·sinα－α(2)cos3ππ＝cosπ－－·sinπ－＋αα63ππ＝－cos－·sinα＋α633261ππ－α＝－sin－1π1＝－cos－＝－.α369這是一個利用互余、互補關系解題的問題，對于這類問題，關鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、πππππππ2π互補關系：如3－α與＋α，＋α與－α，－α與4＋α等互余，3＋θ與63643π3π－θ，4＋θ與－θ等互補，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變4換來解決問題.的值．π3π1.已知sin＋＝，求cosα－α633ππππππ26[解]∵6＋α＋－α＝，∴－α＝－＋.α323πππ＋∴cos－＝cos－αα632π3＝sin＋＝.α63利用誘導公式化簡ππkπ＋2－αkπ－－αcossin2【例2】化簡，其中k∈Z.sin[k＋1π＋α]coskπ＋α[解]k為偶數(shù)時，設k＝2m(m∈Z)，則ππcos2mπ＋2－αsin2mπ－－α2原式＝sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋αππcos－sinα－－α2＝2sinπ＋αcosα－sinαcosα＝＝1.－sinαcosα4k為奇數(shù)時，可設k＝2m＋1(m∈Z)．仿上化簡得：原式＝1.故原式＝1.用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡.πsin－αcosπ＋αcos－α22.已知f(α)＝cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α.(1)化簡f(α)；3(2)若角α的終邊在第二象限且sinα＝，求f(α)．5πsin－αcosπ＋αcos－[解](1)f(α)＝α2cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α－sinα－cosαsinα＝－cosα.＝－cosαsinαtanα4(2)由題意知cosα＝－1－sin2α＝－5，4∴f(α)＝－cosα＝.5誘導公式的綜合應用－x3π7πsinπ－xcosπ＋xcos＋cos【例3】已知f(x)＝x22.5πcos3π－xsinπ－xsin－π＋xsin＋x2(1)化簡f(x)；31(2)若x是第三象限角，且cosx－πfx＝，求()的值；2531(3)求f－π.3x3π＋－x＋cos3ππsinx－cosxcos22[解](1)原式＝πcosπ－xsinxsin－π＋xsin＋x25ππsinx－cosx－cos＋－cos－x2x2＝－cosxsinx－sinxcosxsinx－cosxsinx－sinx＝－cosxsinx－sinxcosx＝tanx.3x－πx(2)∵cos＝－sin，21∴sinx＝－.5∵x是第三象限角，26∴cosx＝－1－sin2x＝－.5sinx16∴f(x)＝tanx＝＝＝12.cosx263131(3)f－π＝tan－π33ππ＝－tan10π＋＝－tan＝－3.33本題是與函數(shù)相結(jié)合的問題，解決此類問題時，可先用誘導公式化簡變形，將三角函數(shù)的角度統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關系式，這樣可避免公式交錯使用而導致的混亂．3.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求23π3πsin－cosα－－α2·tan2(π－α)的值．ππcos－sinα＋α223[解]方程5x2－7x－6＝0的兩根為x＝－，x＝2，51234由α是第三象限角，得sinα＝－，則cosα＝－，55－α＋αcos23π3πππsin－cosα－－αsin222∴·tan2(π－α)＝ππ·tan2αααsincoscos－sinα＋α22cosα－sinα·tan2α＝－tan2α＝－＝－.sinαcosαcosα16sinα92＝261.誘導公式反映了各種不同形式的角的三角函數(shù)之間的相互關系，并具有一定的規(guī)律性，“奇變偶不變，符號看象限”，是記住這些公式的有效方法．2.誘導公式是三角變換的基本公式，其中角α可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握、靈活變通．17π1.若sin(3π＋α)＝－，則cos－等于()α2211A．－2B．23C．23D．－211A[∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝2.2－α＝－sin＝－.]7π3π1∴cos－＝cosαα222＋α的值為()π143πα－2.已知sin＝，則cos411A．－322B．322D．3C．－3α－＝－.]ππππ1A[cos＋＝cosαα－＋＝－sin44243＝________.1π3.如果cosα＝，且α是第四象限的角，，則cosα＋5272651[∵cosα＝，且α是第四象限角，52∴sinα＝－1－cos2α＝－1－＝－5.1265＝－sin＝5.]π26αα＋∴cos2611π4．已知sinφ＝，求cos