高中數(shù)學(xué)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)不等式與不等式組知識(shí)點(diǎn)1不等式與不等式組的數(shù)軸穿根解法

數(shù)軸穿根：用根軸發(fā)解高次不等式時(shí)，就是先把不等式一端化為零，再對(duì)另一端分解因式，并求出它的零點(diǎn)，把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，一次穿過(guò)這些零點(diǎn)，這大于零的不等式地接對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上放部分的實(shí)數(shù)x得起值集合，小于零的這相反。

做法：

1.把全部X前的系數(shù)都變成正的(不用是1,但是得是正的);

2.畫(huà)數(shù)軸,在數(shù)軸上從小到大依次標(biāo)出全部根;

3.從右上角開(kāi)頭,一上一下依次穿過(guò)不等式的根，奇過(guò)偶不過(guò)(即遇到含X的項(xiàng)是奇次冪就穿過(guò),偶次冪跨過(guò)，后面有具體介紹);

4.留意看看題中不等號(hào)有沒(méi)有等號(hào),沒(méi)有的話還要留意寫(xiě)結(jié)果時(shí)舍去使使不等式為0的根。

例如不等式:x2-3x+20(最高次項(xiàng)系數(shù)肯定要為正，不為剛要化成正的)

⒈分解因式:(x-1)(x-2)0;

⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;

⒊畫(huà)數(shù)軸,并把根所在的點(diǎn)標(biāo)上去;

⒋留意了,這時(shí)候從最右邊開(kāi)頭,從2的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)2，連續(xù)向左畫(huà),類(lèi)似于拋物線，再經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，向點(diǎn)1的左上方無(wú)限延長(zhǎng);

⒌看題求解,題中要求求0的解，那么只需要在數(shù)軸上看看哪一段在數(shù)軸及數(shù)軸以下即可,觀看可以得到：1x2。

高次不等式也一樣.比方說(shuō)一個(gè)分解因式之后的不等式：

x(x+2)(x-1)(x-3)0

一樣先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根

x=0，x=1，x=-2，x=3

在數(shù)軸上依次標(biāo)出這些點(diǎn).還是從最右邊的一點(diǎn)3的右上方引出一條曲線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,在1、3之間類(lèi)似于一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)1;連續(xù)向點(diǎn)1的左上方延長(zhǎng)，這條曲線在點(diǎn)0、1之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向下的曲線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0;連續(xù)向0的左下方延長(zhǎng)，在0、-2之間類(lèi)似于一條開(kāi)口向上的拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2;連續(xù)向點(diǎn)-2的左上方無(wú)限延長(zhǎng)。

方程中要求的是0，

只需要觀看曲線在數(shù)軸上方的部分所取的x的范圍就行了。

x-2或03。

⑴遇到根是分?jǐn)?shù)或無(wú)理數(shù)和遇到整數(shù)時(shí)的處理方法是一樣的,都是在數(shù)軸上把這個(gè)根的位置標(biāo)出來(lái);

⑵"奇過(guò)偶不過(guò)'中的"奇、偶'指的是分解因式后,某個(gè)因數(shù)的指數(shù)是奇數(shù)或者偶數(shù);

比如對(duì)于不等式(X-2)2(X-3)0

(X-2)的指數(shù)是2,是偶數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就不穿過(guò)2這個(gè)點(diǎn)，

而(X-3)的'指數(shù)是1,是奇數(shù),所以在數(shù)軸上畫(huà)曲線時(shí)就要穿過(guò)3這個(gè)點(diǎn)。

1高中數(shù)學(xué)不等式與不等式組的解法

1.一元一次不等式的解法

任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過(guò)變形后都可以化為axb或axb而言，當(dāng)a0時(shí)，其解集為(ab，+)，當(dāng)a0時(shí)，其解集為(-，ba)，當(dāng)a=0時(shí)，b0時(shí)，期解集為R，當(dāng)a=0，b0時(shí)，其解集為空集。

例1：解關(guān)于x的不等式ax-2b+2x

解：原不等式化為(a-2)xb+2

①當(dāng)a2時(shí)，其解集為(b+2a-2，+)

②當(dāng)a2時(shí)，其解集為(-，b+2a-2)

③當(dāng)a=2，b-2時(shí)，其解集為

④當(dāng)a=2且b-2時(shí)，其解集為R.

2.一元二次不等式的解法

任何一個(gè)一元二次不等式都可化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的形式，然后用判別式法來(lái)推斷解集的各種情形(空集，全體實(shí)數(shù)，部分實(shí)數(shù))，假如是空集或?qū)崝?shù)集，那么不等式已經(jīng)解出，假如是部分實(shí)數(shù)，則依據(jù)"大于號(hào)取兩根之外，小于號(hào)取兩根中間'分別寫(xiě)出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+40(a0)

解：△=16-16a

①當(dāng)a1時(shí)，△0，其解集為R

②當(dāng)a=1時(shí)，△=0，則x-2，故其解集(-，-2)(-2，+)

③當(dāng)a1時(shí)，△0，其解集(-，-2-21-aa)(-2+21-aa，+)

3.不等式組的解法

將不等式中每個(gè)不等式求得解集，然后求交集即可.

例3：解不等式組m2+4m-50(1)

m2+4m-120(2)

解：由①得m-5或m1

由②得-6，故原不等式組的解集為(-6，-5)(1，2)

4.分式不等式的解法

任何一個(gè)分式不等都可化為f(x)g(x)0(0)或f(x)g(x)0(0)的形式，然后爭(zhēng)論分子分母的符號(hào)，得兩個(gè)不等式組，求得這兩個(gè)不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.

例4：解不等式x2-x-6-x2-12

解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-10

它等價(jià)于(I)3x2-x-40-x2-10和(II)3x2-x-40-x2-10

解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).

故原不等式的解集為(-1，43).

5.含有肯定值不等式的解法

去肯定值號(hào)的主要依據(jù)是：依據(jù)肯定值的定義或性質(zhì)，先將含有肯定值的不等式中的肯定值號(hào)去掉，化為不含肯定值的不等式，然后求出其解集即可。

(1)|x|a(a0)?xa或x-a.

(2)|x|0)?-a解：原不等式等價(jià)于3xx2-41，①或3xx2-4-1②

解①得2解②得-4x-2或1x2

故原不等式的解集為[-4，-2)(-2，-1][1，2)(2，4].

例6：解不等式|x2-3x+2|x2-1

解：原不等式等價(jià)于x2-3x+2x2-1①或x2-3x+2-x2+1②

解①得{x|x1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x|例7：解不等式|x+1|+|x|2

解：①當(dāng)x-1時(shí)，原不等式變?yōu)?x-1-x2-32②當(dāng)-1-1③當(dāng)x0時(shí)，原不等式變?yōu)閤+1+x2.

解得0綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|2

解：①當(dāng)x1時(shí)，原不等式變?yōu)閤2-3x+2+x2-4x+32，此時(shí)解集為{x|x12}.

②當(dāng)12，此時(shí)解集為空集。

③當(dāng)22，此時(shí)的解集是空集。

④當(dāng)x3時(shí)，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+32，此時(shí)的解集為{x|x3}.

綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x12}{x|x3}.從以上兩個(gè)例子可以看出，解含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的肯定值的不等式，一般是先找出一些關(guān)鍵數(shù)(如例7的關(guān)鍵數(shù)是-1，0;例8中的關(guān)鍵數(shù)是1，2，3)這些關(guān)鍵數(shù)將實(shí)數(shù)劃分為幾個(gè)區(qū)間，在這些區(qū)間上，可以依據(jù)肯定值的意義去掉肯定值號(hào)，從而轉(zhuǎn)化為不含肯定值的不等式，應(yīng)當(dāng)留意的是，在解這些不等式時(shí)，應(yīng)當(dāng)求出交集，最終綜合各區(qū)間的解集寫(xiě)出答案。

6.無(wú)理不等式的解法

無(wú)理不等式f(x)g(x)的解集為不等式組(I)f(x)[g(x)]2f(x)0g(x)0和(II)f(x)0g(x)0的解集的并集.

無(wú)理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)0f(x)[g(x)]2g(x)0的解集.

例9：解不等式：2x+5-x-10

解：原不等式化為：2x+5x+1由此得不等式組(I)2x+50x+10或(II)2x+50x+102x+5(x+1)2

解(I)得-52x-1，解(II)得-1x2

故原不等式的解集為[-52，2].

7.指數(shù)不等式的解法

依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。

例10.解不等式：9x(3)x+2

解：原不等式化為32x3x+22

2xx+22即x23

故原不等式解集為(23，+).

8.對(duì)數(shù)不等式的解法

依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解不等式。

例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)0

解：原不等式化為log12(x+1)(2-x)log121

(x+1)(2-x)0(1)(x+1)(2-x)1(2)

解①得-1解②得x1-52或x1+52

故原不等式解集(-1，1-52)(1+52，2).

9.簡(jiǎn)潔高次不等式的解法

簡(jiǎn)潔高次不等式可以利用數(shù)軸標(biāo)根法來(lái)解不等式.

例12：解不等式(x+1)(x2-5x+4)0

解：原不等式化為：(x+1)(x-1)(x-4)0

如圖，由數(shù)軸標(biāo)根法可得原不等式解集為(-，-1)(1，4)

10.三角不等式的解法

依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，先求出在同一周期內(nèi)的解集，然后寫(xiě)出通值。

例13：解不等式：sinx-12

解：sinx-12在[0，2]內(nèi)的解是：76x116

故原不等式的解集為[2k+76，2k+116](kz)。

11.含有字母系數(shù)不等式的解法

在解不等式過(guò)程中，還經(jīng)常遇到含有字母系數(shù)的一些不等式，此時(shí)，肯定要留意字母系數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)論，以保證解題的完備性。

例14：解不等式23x-2x解：原不等式變形為22x(22x-1)(22x-1)(22x-a)0

原不等式等價(jià)于22x-1022x-a0或22x-1022x-a0

①當(dāng)a0時(shí)，x0;

②當(dāng)0③當(dāng)a=1時(shí)，無(wú)解