蘇教版-必修三-第二章 統(tǒng)計(jì)-2.4 線(xiàn)性回歸方程 全市獲獎(jiǎng)

《線(xiàn)性回歸方程》素材一、學(xué)法指導(dǎo)利用樣本數(shù)據(jù)的情況估計(jì)總體數(shù)據(jù)的情況，這是統(tǒng)計(jì)的基本思想．線(xiàn)性回歸方程是從樣本中各個(gè)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系入手，來(lái)分析驗(yàn)證樣本中各個(gè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)規(guī)律，進(jìn)而對(duì)總體數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系作出估計(jì)．因此學(xué)好線(xiàn)性回歸方程，要在進(jìn)一步體會(huì)統(tǒng)計(jì)的基本思想和方法的基礎(chǔ)上，還要回憶我們已學(xué)過(guò)的兩個(gè)變量之間存在的函數(shù)關(guān)系（即確定性關(guān)系）．學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)，首先要知道變量相互關(guān)系有兩種：一類(lèi)是確定性的函數(shù)關(guān)系，如正方形的邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系；另一類(lèi)是變量確實(shí)存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有隨機(jī)性的．例如，某位同學(xué)的“物理成績(jī)”與“數(shù)學(xué)成績(jī)”之間的關(guān)系，我們稱(chēng)它們?yōu)橄嚓P(guān)關(guān)系；其次是如何判斷和分析具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)或多個(gè)變量，也就是如何尋找具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量中非確定性關(guān)系的某種確定性．本節(jié)的難點(diǎn)問(wèn)題是建立回歸直線(xiàn)方程的思想方法，其關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看各點(diǎn)與直線(xiàn)的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量x與y之間的關(guān)系，這就是“最小二乘法”的思想．另外還要注意，進(jìn)行回歸分析，通常先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，若能確定兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)性，再去求其線(xiàn)性回歸方程，否則所求方程毫無(wú)意義．二、知識(shí)點(diǎn)概要1．相關(guān)關(guān)系所謂相關(guān)關(guān)系是自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性．對(duì)相關(guān)關(guān)系的理解應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同．因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系是一種非常確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系．而函數(shù)關(guān)系可以看成是兩個(gè)非隨機(jī)變量之間的關(guān)系．因此，不能把相關(guān)關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系．（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，它也可能是伴隨關(guān)系．（3）在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用．變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過(guò)收集大量的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷．2．回歸分析對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析．通俗地講，回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性．3．散點(diǎn)圖我們把一組具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（即樣本點(diǎn)）畫(huà)在坐標(biāo)系內(nèi)，得到的圖形叫做散點(diǎn)圖．利用散點(diǎn)圖可以判斷變量之間有無(wú)相關(guān)關(guān)系，所以判斷兩個(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手．畫(huà)出散點(diǎn)圖，可以作出如下判斷：（1）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即說(shuō)明變量之間具有函數(shù)關(guān)系；（2）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)附近，則說(shuō)明變量之間具有相關(guān)關(guān)系；（3）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近，則變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．4．正相關(guān)、負(fù)相關(guān)線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系又分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．正相關(guān)是指兩個(gè)變量具有相同的變化趨勢(shì)，即從整體上來(lái)看一個(gè)變量會(huì)隨另一個(gè)變量變大而變大．從散點(diǎn)圖可以看出因變量隨自變量的增大而增大，圖中的點(diǎn)分布在左下角到右上角的區(qū)域．負(fù)相關(guān)是指兩個(gè)變量具有相反的變化趨勢(shì)，即從整體上來(lái)看一個(gè)變量會(huì)隨另一個(gè)變量變大而變?。?fù)相關(guān)的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域．由此，我們得出判斷兩個(gè)變量之間到底是不是具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，可以用“數(shù)據(jù)”說(shuō)話(huà)，畫(huà)出散點(diǎn)圖更具有說(shuō)服力．5．回歸直線(xiàn)和回歸直線(xiàn)方程如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線(xiàn)附近，就稱(chēng)這兩變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．這條直線(xiàn)叫做這兩個(gè)變量的回歸直線(xiàn)，回歸直線(xiàn)的方程叫做回歸方程．這里注意，只有散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈條狀集中在某一直線(xiàn)周?chē)臅r(shí)候，才可以說(shuō)兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，才有兩個(gè)變量的正線(xiàn)性相關(guān)和負(fù)線(xiàn)性相關(guān)的概念，才可以用回歸直線(xiàn)來(lái)描述這兩個(gè)變量之間的關(guān)系．（1）求回歸直線(xiàn)方程的思想方法觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近．類(lèi)似圖中的直線(xiàn)可畫(huà)出不止一條，比如可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)得到一條直線(xiàn)，也可以讓畫(huà)出的直線(xiàn)上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等，……，但這些能保證各點(diǎn)與此直線(xiàn)在整體上是最接近的嗎？它們雖然都有一定的道理，卻總讓人感到可靠性不強(qiáng)．那么，其中的哪一條直線(xiàn)最能代表變量x與y之間的關(guān)系呢？實(shí)際上求回歸直線(xiàn)方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看各點(diǎn)與此直線(xiàn)的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量x與y之間的關(guān)系．最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線(xiàn)的特征是直線(xiàn)與這n個(gè)點(diǎn)的離差的平方和最?。?）回歸直線(xiàn)方程的求法根據(jù)最小二乘法的思想和公式，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，可以方便地求出回歸方程．利用計(jì)算機(jī)求回歸方程（Excel軟件）：在Excel的工作表中添加“圖表”得到散點(diǎn)圖后，用鼠標(biāo)選中散點(diǎn)，單擊鼠標(biāo)右鍵，單擊“添加趨勢(shì)線(xiàn)”，在出現(xiàn)的對(duì)話(huà)框中單擊類(lèi)型標(biāo)簽，選擇“線(xiàn)性”，單擊“選項(xiàng)”標(biāo)簽，選中“顯示公式”單選框，最后點(diǎn)擊“確定”即可．利用科學(xué)計(jì)算器求回歸方程：大多科學(xué)計(jì)算器都有回歸計(jì)算（REG模式），但不同的計(jì)算器參數(shù)可能不同，這里不作詳細(xì)介紹．一般在輸入數(shù)據(jù)后按相應(yīng)按鍵可直接得到a和b，這樣就可以寫(xiě)出回歸方程，非常簡(jiǎn)便，同學(xué)們?cè)谑褂们耙欢ㄒ炊?jì)算器的使用說(shuō)明書(shū)．回歸直線(xiàn)方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．應(yīng)用回歸直線(xiàn)方程可以把非確定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成確定性問(wèn)題，把“無(wú)序”變?yōu)椤坝行颉保⑶铱筛鶕?jù)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充．因此，學(xué)過(guò)回歸直線(xiàn)方程以后，應(yīng)能積極應(yīng)用回歸直線(xiàn)方程解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)一步體會(huì)回歸直線(xiàn)的應(yīng)用價(jià)值．（3）相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性檢驗(yàn)給定，只要不全相等，就能求出一條回歸直線(xiàn)，但它有無(wú)意義可是一個(gè)大問(wèn)題．由于根據(jù)散點(diǎn)圖看數(shù)據(jù)點(diǎn)是否大致在一直線(xiàn)附近主觀性太強(qiáng)，為此可以利用樣本相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線(xiàn)性關(guān)系的強(qiáng)弱．樣本相關(guān)系數(shù)： 叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)系數(shù)，用它來(lái)衡量它們之間的線(xiàn)性相關(guān)程度．，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越高；越接近于0，相關(guān)程度越低．統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，相關(guān)變量的相關(guān)系數(shù)：時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；時(shí)，兩變量正相關(guān)很強(qiáng)；或時(shí)，兩變量相關(guān)性一般；時(shí)，兩變量相關(guān)程度很弱．三、特別提示1．相關(guān)關(guān)系的理解．借助實(shí)例（如數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)之間的關(guān)系，糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，吸煙與健康之間的關(guān)系，父母身高與子女身高之間的關(guān)系等）明確相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同，它是一種非確定性的關(guān)系，即一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性．相關(guān)關(guān)系包括正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．2．相關(guān)關(guān)系的研究方法：散點(diǎn)圖法和寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程，其中3．線(xiàn)性回歸思想：把相關(guān)關(guān)系（不確定性關(guān)系）轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系（確定性關(guān)系）．當(dāng)兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系時(shí)，所進(jìn)行的回歸分析又叫線(xiàn)性回歸分析，所求的函數(shù)關(guān)系就是線(xiàn)性回歸方程．4．求線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程前應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)分析，其關(guān)鍵是求，由于計(jì)算量大，因此計(jì)算過(guò)程要注意分層次、按步驟進(jìn)行．四、線(xiàn)性回歸中的相關(guān)系數(shù)線(xiàn)性回歸問(wèn)題在生活中應(yīng)用廣泛，求解回歸直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)該先判斷兩個(gè)變量是否是線(xiàn)性相關(guān)，若相關(guān)再求其直線(xiàn)方程，判斷兩個(gè)變量有無(wú)相關(guān)關(guān)系的一種常用的簡(jiǎn)便方法是繪制散點(diǎn)圖；另外一種方法是量化的檢驗(yàn)法，即相關(guān)系數(shù)法．下面為同學(xué)們介紹相關(guān)系數(shù)法．（一）關(guān)于相關(guān)系數(shù)法統(tǒng)計(jì)中常用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)的強(qiáng)弱，當(dāng)不全為零，yi也不全為零時(shí)，則兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式是：r就叫做變量y與x的相關(guān)系數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)系數(shù)）．說(shuō)明：（1）對(duì)于相關(guān)系數(shù)r，首先值得注意的是它的符號(hào)，當(dāng)r為正數(shù)時(shí)，表示變量x，y正相關(guān)；當(dāng)r為負(fù)數(shù)時(shí)，表示兩個(gè)變量x，y負(fù)相關(guān)；（2）另外注意r的大小，如果，那么正相關(guān)很強(qiáng)；如果，那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；如果或，那么相關(guān)性一般；如果，那么相關(guān)性較弱．下面我們就用相關(guān)系數(shù)法來(lái)分析身邊的問(wèn)題，確定兩個(gè)變量是否相關(guān)，并且求出兩個(gè)變量間的回歸直線(xiàn)．（二）典型例題剖析例1測(cè)得某國(guó)10對(duì)父子身高（單位：英寸）如下：父親身高（）60626465666768707274兒子身高（）6670（1）對(duì)變量y與x進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；（2）如果y與x之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線(xiàn)方程；（3）如果父親的身高為73英寸，估計(jì)兒子身高．解：（1），，，，，，，，所以 ，所以y與x之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．（2）設(shè)回歸直線(xiàn)方程為，則，．故所求的回歸直線(xiàn)方程為．（3）當(dāng)英寸時(shí)，，所以當(dāng)父親身高為73英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為69.9點(diǎn)評(píng)：回歸直線(xiàn)是對(duì)兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的定量描述，利用回歸直線(xiàn)，可以對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，由一個(gè)變量的變化可以推測(cè)出另一個(gè)變量的變化．這是此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)題型．例210名同學(xué)在高一和高二的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤恚?471726876736770657476757170767965776272其中x為高一數(shù)學(xué)成績(jī)，y為高二數(shù)學(xué)成績(jī)．（1）y與x是否具有相關(guān)關(guān)系；（2）如果y與x是相關(guān)關(guān)系，求回歸直線(xiàn)方程．解：（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算得，，，，． ，． ．由于，由知，有很大的把握認(rèn)為x與y之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．（2）y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，設(shè)回歸直線(xiàn)方程為，則， ．所以y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)方程為．點(diǎn)評(píng)：通過(guò)以上兩例可以看出，回歸方程在生活中應(yīng)用廣泛，要明確這類(lèi)問(wèn)題的計(jì)算公式、解題步驟，并會(huì)通過(guò)計(jì)算確定兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系．五、方方面面評(píng)說(shuō)回歸直線(xiàn)方程（一）回歸分析對(duì)于線(xiàn)性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：（1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法．兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提．（2）對(duì)于關(guān)系不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行回歸分析．（3）通過(guò)散點(diǎn)圖的觀察，一般地，若圖中數(shù)據(jù)大致分布在一條直線(xiàn)附近，那么這兩個(gè)變量近似成線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系．（4）求回歸直線(xiàn)方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線(xiàn)性時(shí)，求出的回歸直線(xiàn)方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線(xiàn)方程毫無(wú)意義．（二）回歸直線(xiàn)方程一般地，設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且對(duì)應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，求在整體上與這n個(gè)點(diǎn)最接近的一條直線(xiàn)，記此直線(xiàn)方程為（1）這里在y的上方加記號(hào)“＾”，是為了區(qū)分的實(shí)際值y，表示當(dāng)x取值時(shí)，相應(yīng)的觀察值為，而直線(xiàn)上對(duì)應(yīng)于的縱坐標(biāo)是．（1）式叫做對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程，a，b叫做回歸系數(shù)．（三）求回歸直線(xiàn)方程的思想方法在觀察散點(diǎn)圖特征時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有時(shí)各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，且畫(huà)出不止一條類(lèi)似的直線(xiàn)，而最能代表變量x與y之間關(guān)系的直線(xiàn)的特征，即為n個(gè)離差的平方和最小．設(shè)所求直線(xiàn)方程為，其中a，b是待定系數(shù)，則．于是得到各個(gè)離差．顯然，離差的符號(hào)有正有負(fù)，若將它們相加會(huì)造成相互抵消，故采用n個(gè)離差的平方和，采用最小二乘法可求出使為最小值時(shí)的a和b．，，其中，．（四）求回歸直線(xiàn)方程的一般步驟（1）作出散點(diǎn)圖，判斷散點(diǎn)是否在一條直線(xiàn)附近；（2）如果散點(diǎn)在一條直線(xiàn)附近，用公式求出a，b，并寫(xiě)出回歸直線(xiàn)方程．注：計(jì)算a，b時(shí)由于計(jì)算量較大,所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段（如計(jì)算器或計(jì)算機(jī)），認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤．例在10年期間，某城市居民收入與某種商品的銷(xiāo)售額之間的關(guān)系見(jiàn)下表．第幾年城市居民收入（億元）某商品銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）12345678910（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）如果散點(diǎn)圖中各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，求x與y之間的回歸直線(xiàn)方程；（3）試預(yù)測(cè)居民年收入50億元時(shí)這種商品的銷(xiāo)售額．解題指導(dǎo)：只有散點(diǎn)圖大致表現(xiàn)為線(xiàn)性時(shí)，求回歸直線(xiàn)方程才有實(shí)際