第五章生存金

第五章生存金第1頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三生存年金生存年金的定義：以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型分類初付年金/延付年金連續(xù)年金/離散年金定期年金/終身年金非延期年金/延期年金第2頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三生存年金與確定性年金的關(guān)系確定性年金支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金）生存年金與確定性年金的聯(lián)系都是間隔一段時間支付一次的系列付款生存年金與確定性年金的區(qū)別確定性年金的支付期數(shù)確定生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險人生存為條件）第3頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三生存年金的用途被保險人保費交付常使用生存年金的方式某些場合保險人保險理賠的保險金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險傷殘保險撫恤保險失業(yè)保險第4頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)某人x歲時開始投保，為方便通常記為(x)，在經(jīng)過n年后如果仍存活將得到金額為k的生存保險金，(x)存活n年的概率為。也就是說(x)在n年末能夠得到k金額的概率為，這樣n年末得到給付金的期望值為·

。這一值在投保時的現(xiàn)值便為。我們把這一現(xiàn)值稱為k金額的n年純粹生存保險現(xiàn)值。第5頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三定義現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險。單位元數(shù)的n年期生存保險的躉繳純保費為在生存年金研究中習(xí)慣用表示該保險的精算現(xiàn)值第6頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

式中，稱為轉(zhuǎn)換函數(shù)；是1元n年純粹生存保險現(xiàn)值又稱為1元n年純粹生存保險的躉繳凈保費。這一公式表明，現(xiàn)在x歲的人每人存入入到n年末在復(fù)利率i的作用下生成的金額正好滿足到n年末仍存活的人每人1元給付。因此為保證n年末存活者得到每人1元保險金，在投保時必須一次性繳付元。這正是前面第8頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三把稱為躉繳凈保費的原因。人繳付后，在n年內(nèi)必然有一部分人在死亡率作用下死去，從而不可能在n年末領(lǐng)到保險金，他們當(dāng)初購買保險的支出被尚存者分享。保險中把這種尚存者分享期內(nèi)死亡者利益的情況稱為生存者利益或簡稱為“生者利”。與是利率下的折現(xiàn)因子、是利率下的累積因子類似，可以看作是在利率和生者利下的折現(xiàn)因子，可以看作是利率和生者利下的累積因子。第9頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及意義

年齡xx+tx+n現(xiàn)時值11S1第10頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.1n年期滿一次性支付的生存年金

一、（x）在n年期滿生存所得的1單位的精算現(xiàn)值二、替換函數(shù)

第11頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.2.1期末付終身生存年金

終身生存年金的保險期沒有限制，只要被保險人存活，每隔一定時期保險人就必須給付一定金額與被保險人。假設(shè)某人從x歲開始投保，記為(x)，第一次給付在第一年年末，以后每隔一年以被保險人存活為條件給付。假設(shè)每年給付額為1元，此時，這一生存年金現(xiàn)值以表示，用圖4—1表示。第12頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

顯然，是保險期分別為1年、2年、3年等一系列1元純粹生存保險現(xiàn)值之和。即

公式(4．46)的求和上限實際為w-x-1，w-1是生命表最大年齡。為方便通常寫為。第13頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第14頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三期末付n年定期生存年金

n年定期生存年金的年金給付期最大為n，因此它相當(dāng)于終身生存年金的一部分。以表示對(x)的每年1元期末付n年定期生存年金現(xiàn)值。第15頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第16頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三n年延期的m年定期期末付生存年金

這是延期年金與定期年金的合并，即延期n年后進入年金實付期，并在最多給付m年后結(jié)束給付。以表示1元給付的這一年金現(xiàn)值，則第17頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.2.2期初付終身生存年金1第18頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三期初付n年定期生存年金第20頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三n年延期期初付生存年金第21頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)

一、期初付生存年金1、終身生存年金:

其中2、n年定期生存年金：第22頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金3．延付n年的終身生存年金：4．延付n年的m年定期生存年金：

第23頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)二、期末生存年金1．終身生存年金：2．n年定期生存年金：第24頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金3．延付n年的終身生存年金：4．延付n年的m年定期生存年金：第25頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金三、生存年金的精算終值：1．2、第26頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.1設(shè)對60歲的人每年年末給付養(yǎng)老金10000元，直到死亡，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）解：第27頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.2

某人現(xiàn)年35午，欲購買一份10年起每年年初給付1000元的生存年金，求該年金的精算現(xiàn)值（i=6%）解：第28頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：1.試分別計算一現(xiàn)年60歲者購買期末及期初付金額1000元的終身生存年金的精算現(xiàn)值（i=6%）2.某人現(xiàn)年50歲，以10000元購買于51歲開始給付的終身生存年金，試求其每年所得的年金額（i=6%3.年齡為55歲者，購買下列生存年金，每年給付年金額為3500元，試分別求其應(yīng)繳的躉繳純保費:(1)期初付和期末付15年定期生存年金；（2）期初付和期末付終身生存年金；（3）在60歲時開始支付的終身生存年金；（4）在60歲時開始支付的15年定期生存年金（i=6%）第29頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三幾種變額年金5.5.1遞增的終身生存年金第30頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

可見，可以看成終身生存年金、延付1年的終身生存年金、延付2年的終身生存年金等的組合。第31頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.5.2遞增的n年定期生存年金第32頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.5.3n年定期遞增的終身生存年金

第33頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.5.4遞減的n年定期生存年金

這一年金可以看成每年給付1元的定期n年,n-1年,n-2年…1年等年金的組合。因此第34頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金小結(jié)四、變額生存年金1、遞增年金，其中

第36頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金第37頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金2、遞減年金

第38頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.2每年支付一次的生存年金第39頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.3每年支付m次的生存年金

一、期末付年金1、終身生存年金：2、延付n年的終身生存年金：3、n年定期生存年金：第40頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.5每年支付m次的生存年金二、期初付年金1．終身生存年金：2．延付n年的終身生存年金：3．n年定期生存年金：第41頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

每半年、一季或一個月結(jié)付一次、一年給付多次的生存年金，其現(xiàn)值和終值的計算方法與前面討論的每年給付一次的情況相同。但由于生命表不直接提供非整數(shù)年齡的存活概率和死亡概率，因此，需要用到一些近似的換算方法。對(x)的每年給付1元，一年給付m次的期末付終身生存年金，其現(xiàn)值以表示。顯然這一年金每次給付額為，以圖4—3表示。一年內(nèi)m次給付的生存年金

近似計算第42頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三非整數(shù)年齡的轉(zhuǎn)換函數(shù)值可以在一定假設(shè)下近似計算，最簡單的近似方法是在兩個整數(shù)年齡間線形插值第43頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第44頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三上面年金在期首給付時，以表示其現(xiàn)值：第45頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

對(x)延期n年的每年給付1元，一年給付m次的期末付生存年金，現(xiàn)值以表示：第46頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三5.5.5一年內(nèi)m次給付的遞增年金

一年多次給付的遞增年金有兩種不同的情況，第一種是年內(nèi)各次給付額相等，變額發(fā)生在不同年齡上。對(x)的第一年給付1元，以后每年增加給付1元，各年的給付額通過m次等額給付實現(xiàn)的期末付終身生存年金，其現(xiàn)值以表示，見圖第49頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三這一年金可以分解為一系列一年m次給付的延期年金之和第50頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第二種每年m次給付的遞增年金是給付額隨給付的延續(xù)不斷遞增的年金。對(x)的第一年末給付，第二年末給付等，每年給付額通過m次遞增給付實現(xiàn)，則第一個給付額為，第二個年給付額為等。每個年遞增，這一年金現(xiàn)值用表示，見圖4—8第51頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第52頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三水平給付的一般公式在年齡y歲時提供給付額為R的年金在年齡x歲時的精算值為：X<y，精算現(xiàn)值X>y，精算終值第53頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三在年齡y歲、y+1歲、y+2歲、……z-1歲分別提供R的生存年金，以x歲的精算現(xiàn)值為：X是計算精算值對應(yīng)的年齡Y是年金第一次給付對應(yīng)的年齡Z是年金最后一次給付一年以后對就的年齡第54頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三一年給付m次的水平年金的一般公式P92—P94X是計算精算值對應(yīng)的年齡Y是年金第一次給付對應(yīng)的年齡Z是年金最后一次給付以后年以后對就的年齡第55頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三簡介連續(xù)生存年金的定義在保障時期那，以被保險人存活為條件，連續(xù)支付年金的保險連續(xù)生存年金的種類終身連續(xù)生存年金/定期連續(xù)生存年金連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計方法綜合支付技巧：考慮年金在死亡或到期而結(jié)束時的總值當(dāng)期支付技巧：考慮未來連續(xù)支付的現(xiàn)時值之和§5.4連續(xù)給付的生存年金

第56頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三

連續(xù)遞增年金

上面討論的一年多次給付的遞增年金，當(dāng)給付次數(shù)m趨于無窮大時，成為連續(xù)遞增年金。對年內(nèi)各次給付額相等的遞增年金，當(dāng)m趨于無窮大時的連續(xù)年金以表示：第57頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三第58頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三對年內(nèi)各次給付額遞增的年金，當(dāng)m趨于無窮大時的連續(xù)年金以表示第59頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.4連續(xù)給付的生存年金

1．2．3．第60頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三§5.5完全期末生存年金和比例期初生存年金第61頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計一

——綜合支付技巧步驟一：計算到死亡發(fā)生時間T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和步驟二：計算這個年金現(xiàn)值關(guān)于時間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值，第62頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式第63頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計二

——當(dāng)期支付技巧步驟一：計算時間T所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值步驟二：計算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時間積分，得到期望年金現(xiàn)值第64頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及理解第65頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.2在死亡力為常數(shù)0.04，利息力為常數(shù)0.06的假定下，求（1）（2）的標(biāo)準(zhǔn)差（3）超過的概率。第66頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.2答案綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧第67頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.2答案第68頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.2答案第69頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.3在DeMoivre假定下，計算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差第70頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.3答案第71頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.3答案第72頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計綜合支付技巧當(dāng)期支付技巧第73頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三相關(guān)公式及理解第74頁，共85頁，2023年，2月20日，星期三例5.4（