第八章多元函數(shù)

第1頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三本章目錄第1節(jié)空間解析幾何簡介第2節(jié)多元函數(shù)的概念第3節(jié)二元函數(shù)的極限與連續(xù)第4節(jié)偏導數(shù)與全微分第5節(jié)多元函數(shù)的微分法第6節(jié)二元函數(shù)的極值第7節(jié)二重積分第2頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第1節(jié)空間解析幾何簡介一、空間直角坐標系在空間取一定點，過點作三條互相垂直的直線、、．并按右手系規(guī)定、、的正方向，即右手握住軸，當右手的四個手指從正向軸以轉(zhuǎn)向正向軸時，大拇指的指向就是軸正方向。再規(guī)定一個單位長度,即建立右側(cè)的空間直角坐標系。第3頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三點稱為坐標原點，三條直線分別稱為軸、軸、軸．每兩條坐標軸確定一個平面，稱為坐標平面．由軸和軸確定的平面稱為平面，同樣的可以定義平面和平面。通常，將平面配置在水平面上，軸放在鉛直的位置，而且由下向上為軸正方向，三個坐標平面將空間分成8部分，稱為8卦限．把坐標平面之上，坐標平面之前，坐標平面之右的卦限稱為第一限．另外,在坐標平面之上的其余三個卦限，按逆時針方向依次稱為第二、第三、第四卦限．在坐標平面之下的四個卦限，在第一卦限下面的卦限稱為第五卦限，其余按逆時針方向依次稱為第六、第七、第八卦限．第4頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三二、空間任意兩點間的距離

給定空間兩點、，過、各作三個平面分別垂直于三個坐標軸．這六個平面構(gòu)成一個以線段為一條對角線的長方體，如右圖所示。由圖可知：過、分別作垂直于軸的平面，相交軸于點和，則，即第5頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三同理可得，和，則于是，求得點與之間的距離公式若點為坐標原點，則得點與坐標原點的距離公式為若點和均位于平面上，則該兩點的距離公式為

第6頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三三、曲面與方程定義8.1若曲面上任意一點的坐標都滿足方程，而不在曲面上的點的坐標都不滿足方程，則方程稱為曲面的方程，而曲面稱為方程的圖形，如右圖所示。第7頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例1一動點與兩定點、的距離相等，求此動點的軌跡方程。解：依題意有由兩點間距離公式得化簡后可得點的軌跡方程為第8頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三

例2求三個坐標平面的方程。解：容易看到平面上任一點的坐標必有，滿足的點也必然在平面上，所以，平面的方程為同理，平面的方程為；平面的方程為。例3求球心為點，半徑為的球面方程。解：設(shè)球面上任一點為，那么有，由兩點間距離公式有第9頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三化簡得球面方程為特別地，當球心為原點時，球面方程為是球面的上半部，如下面左側(cè)圖所示。是球面的下半部，如下面右側(cè)圖所示。

第10頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第2節(jié)多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的定義定義8.2設(shè)是一個非空的元有序數(shù)組的集合，是一個對應(yīng)規(guī)則，使得對于每一個有序數(shù)組，都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則是定義在上的元函數(shù)，記為，變量稱為自變量，稱為因變量，集合稱為函數(shù)第11頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三的定義域，也可以記為。對于，所對應(yīng)的值，記為

或稱為當時，函數(shù)的函數(shù)值。全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記為或。第12頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三特別地，當，為一元函數(shù)，記為；當時，為二元函數(shù)，記為。二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。

例1是以，為自變量，為因變量的二元函數(shù)，則函數(shù)的定義域和值域分別為和例2設(shè)有一個長方體，高為，底則是邊長為的正方形，則其體積為。顯然，對每一個有序數(shù)組，總有唯一確定的與之對應(yīng)，使得。因此，是一個以、為自變量，為因變量的二元函數(shù)。其定義域和值域第13頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三分別為和。二、二元函數(shù)的定義域

二元函數(shù)的定義域在幾何上表示一個平面區(qū)域。所謂平面區(qū)域可以是整個平面或者是平面上由幾條曲線所圍成的部分。圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域，包括部分邊界的區(qū)域稱為半開區(qū)域．若區(qū)域延伸到無窮遠處，則稱為無界區(qū)域；否則稱為有界區(qū)域。有界區(qū)域總可以包含在一個以原點為圓心的相當大的圓域內(nèi)。第14頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三如本節(jié)例2，函數(shù)的定義域是平面的第一象限（不包含坐標軸）部分，為無界開區(qū)域。

函數(shù)的定義域是平面上由直線的右上方確定的無界開區(qū)域，如下圖所示。第15頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)的定義域是平面上由圓圍成的有界閉區(qū)域，如下方左側(cè)圖形所示。函數(shù)的定義域是平面上由圓圍成的有界開區(qū)域，如下方右側(cè)圖形所示。第16頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三三、二元函數(shù)的幾何意義一元函數(shù)通常表示平面上的一條曲線。二元函數(shù)，其定義域是平面上的一個區(qū)域。對于定義域中的任意一點，必有唯一的數(shù)與其對應(yīng)。因此，三元有序數(shù)組就確定了空間中的一個點，所有點的集合就是函數(shù)的圖形，通常是個曲面，如下圖所示。第17頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例3作二元函數(shù)的圖形。解：由兩邊平方得整理后得因此，方程的圖形是以為球心，且以1為半徑的球面。即的圖形為該球面的上半部，如右圖所示。第18頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第3節(jié)二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義8.3若當趨于時，函數(shù)與某常數(shù)無限接近，則稱的極限為，記作或其中。

注意：這里說的當趨于時，以為極限，是指以任何方式趨于時，都趨于。因為平面上由一點到另一點有無數(shù)條路線，因此，當趨于第19頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三時，二元函數(shù)要比一元函數(shù)中趨于復(fù)雜得多。

例1證明證明：由再由和所以，當時，于是，只要取，則當時，第20頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三恒成立，因此。定義8.4設(shè)二元函數(shù)滿足條件：（1）在點的某鄰域內(nèi)有定義；（2）極限存在；（3）則稱函數(shù)在點處連續(xù)，否則稱點是函數(shù)的間斷點。如上面的例題中，函數(shù)在點的極限值等于在這點的函數(shù)值，所以函數(shù)在該點連續(xù)。第21頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三返回本章目錄若函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)。二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算后仍為二元連續(xù)函數(shù)；（2）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則必在上取得最大值和最小值。第22頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第4節(jié)偏導數(shù)與全微分

第23頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三偏導數(shù)的概念定義

設(shè)函數(shù)在的周圍鄰近有定義，當y固定在y0而x有增量Δx時，相應(yīng)地函數(shù)有偏增量若極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處對x的

偏導數(shù)，記作或第24頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三若極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點P0(x0,y0)對y的偏導數(shù)，記作或第25頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三若函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)每一點的偏導數(shù)都存在，則稱函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)偏導數(shù)存在.函數(shù)在點處對自變量x的偏導數(shù)記作對自變量y的偏導數(shù)記作第26頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三討論

偏導數(shù)與一元函數(shù)的導數(shù)有何關(guān)系？例1

已知求并求解

第27頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例2

求函數(shù)的偏導數(shù).

解

第28頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三*偏導數(shù)的經(jīng)濟意義邊際需求設(shè)有甲、乙兩種相關(guān)商品，它們的價格分別為、需求量分別為、需求函數(shù)可表示為則需求量和關(guān)于價格和的偏導數(shù)，表示甲、乙兩種商品的邊際需求.

第29頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三彈性

當價格不變而發(fā)生變化時，需求量和將隨變化而變化，需求量和對價格的彈性分別為稱為甲商品需求量對自身價格的直接價格偏彈

性，稱甲商品需求量對相關(guān)價格的交叉價格偏

彈性.

第30頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例3

已知某商品的需求量是該商品價格和另一相關(guān)商品價格的函數(shù)，求當時需求的直接價格偏彈性及交叉價格偏彈性解當時，且所以第31頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三高階偏導數(shù)定義

若函數(shù)的偏函數(shù)導數(shù)關(guān)于的偏導數(shù)仍然存在，則稱它們的偏導數(shù)是的二階

偏導數(shù)，分別記作第32頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三其中稱為二階混合偏導數(shù).

類似地，可以定義三階、四階、…n階偏導數(shù).二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，而稱為函數(shù)的一階偏導數(shù).

第33頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例4

求的二階偏導數(shù).

解

第34頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三討論：上例中兩個混合偏導數(shù)相等嗎？根據(jù)這個結(jié)果，你有什么猜想？例5

已知求解

第35頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三全微分回憶：一元函數(shù)微分的定義——若函數(shù)在x處的增量可以表示成其中是的高階無窮小，則稱為函數(shù)在x處的微分，記作

即.并且有第36頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三引例

面積z的增量第37頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三（1）是的線性函數(shù)；（2）是比高階的無窮小.

因此，當都較小時，有且有第38頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三微分的定義

若二元函數(shù)在點處的增量可以表示為其中A、B是x、y的函數(shù)，與無關(guān)，是一個比較高階的無窮小，則稱是函數(shù)在點處的全微分，記作即這時，也稱函數(shù)在點處可微.

第39頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三全微分與偏導數(shù)的關(guān)系

若函數(shù)在處可微，則(1)式對任意的都成立.所以當時(此時)，由定義有兩端除以并令取極限，得即同理得若記則第40頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三注意

在一元函數(shù)中，可導與可微是等價的，但這個結(jié)論對二元函數(shù)不成立，即都存在，也不能保證函數(shù)在點可微.不過可以證明：若函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)則在點可微.

第41頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例7

求函數(shù)的全微分.

解

因為所以第42頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三全微分的應(yīng)用若函數(shù)在點可微，則當自變量的增量和很小時，有下述近似計算公式或第43頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例8

計算的近似值.

解設(shè)

所以，得第44頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三小結(jié)：1．偏導數(shù)的概念：第45頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三2．高階偏導數(shù)：3．全微分：第46頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第五節(jié)復(fù)合函數(shù)微分法

與隱函數(shù)微分法

一、復(fù)合函數(shù)求導的鏈式法則二、復(fù)合函數(shù)的全微分二、隱函數(shù)求導公式第47頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三一、復(fù)合函數(shù)求導的鏈式法則定理.若函數(shù)處偏導連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點

t

可導,且有鏈式法則證:設(shè)

t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量有增量△u,△v,第48頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三(全導數(shù)公式)(△t＜0時,根式前加“–”號)第49頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導數(shù)連續(xù)減弱為偏導數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.

說明:若定理中第50頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三推廣:設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.

1)中間變量多于兩個的情形.例如,2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,第51頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三又如,當它們都具有可微條件時,有注意:這里與不同,表示固定

y

對

x

求導,表示固定

v

對

x

求導口訣:分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導第52頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例1設(shè)解第53頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例2解第54頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例3

設(shè)

求全導數(shù)解注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導技巧與常用導數(shù)符號.第55頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例4

設(shè)

f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求解令則第56頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例5

設(shè)二階偏導數(shù)連續(xù),求下列表達式在解已知極坐標系下的形式(1),則第57頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第58頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三

已知注意利用已有公式第59頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三同理可得第60頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論u,v是自變量還是中間變量,其全微分表達

都可微,則復(fù)合函數(shù)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.第61頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三例6

利用全微分形式不變性再解例1.

解所以第62頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三三、隱函數(shù)求導公式隱函數(shù)的求導公式隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)在點的),(yxF)某一,(00yxP鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且0),(00=yxF0),(001yxFy，則方程0),(=yxF在點),(00yxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù))(xfy=，它滿足條件)(00xfy=，并有

yxFFdxdy-=.

第63頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解令則例１驗證方程0122=-+yx在點)1,0(的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值可導、且0=x時1=y的隱函數(shù))(xfy=，并求這函數(shù)的一階和二階導數(shù)在0=x的值.依定理知方程0122=-+yx在點)1,0(的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值可導、且0=x時1=y的函數(shù))(xfy=第64頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三函數(shù)的一階和二階導數(shù)為第65頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解令則第66頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)),,(zyxF在點,(0xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，且,(0xF0),00=zy，0),,(0001zyxFz，則方程,,(yxF0)=z在點),,(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù))，,(yxfz=它滿足條件),(000yxfz=并有

zxFFxz-=??，

zyFFyz-=??.第67頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解令則例3設(shè)04222=-++zzyx，求22xz??.第68頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三思路：解令則第69頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三整理得第70頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三整理得整理得第71頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三第六節(jié)二元函數(shù)的極值二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法一、二元函數(shù)的極值與最值第72頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三1、二元函數(shù)極值的定義一、二元函數(shù)的極值和最值

設(shè)函數(shù)),(yxfz=在點),(00yx的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點),(yx若滿足不等式),(),(00yxfyxf<，則稱函數(shù)在),(00yx有極大值；若滿足不等式),(),(00yxfyxf>則稱函數(shù)在),(00yx有極小值；

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點),(00yx第73頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三(1)(2)(3)例1例２例３處有極小值．在函數(shù))0,0(4322yxz+=處有極大值．在函數(shù))0,0(22yxz+-=處無極值．在函數(shù))0,0(xyz=第74頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三2、二元函數(shù)取得極值的條件證不妨設(shè)定理1（必要條件）設(shè)函數(shù)),(yxfz=在點),(00yx具有偏導數(shù)，且在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：0),(00=yxfx，

0),(00=yxfy.),(yxfz=在點),(00yx處有極大值,則對于),(00yx的某鄰域內(nèi)任意都有<),(yxf),(00yxf,第75頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三推廣

如果三元函數(shù)),,(zyxfu=在點),,(000zyxP具有偏導數(shù)，則它在),,(000zyxP有極值的必要條件為

0),,(000=zyxfx，0),,(000=zyxfy，

0),,(000=zyxfz.說明一元函數(shù)),(0yxf在0xx=處有極大值,必有

0),(00=yxfx;故當0yy=，0xx1時，有<),(0yxf),(00yxf,第76頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：例如,

點)0,0(是函數(shù)xyz=的駐點，但不是極值點.定理2（充分條件）設(shè)函數(shù)),(yxfz=在點),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，第77頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三又

0),(00=yxfx,0),(00=yxfy，

令

Ayxfxx=),(00，

Byxfxy=),(00，Cyxfyy=),(00，則),(yxf在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：（1）02>-BAC時具有極值，

當0<A時有極大值，當0>A時有極小值；（2）02<-BAC時沒有極值；（3）02=-BAC時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．第78頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解例4求函數(shù)的極值先解方程組

求得駐點為將上方程組再分別對yx,求偏導數(shù),

第79頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三在點處，又所以函數(shù)在處有極小值在點處，所以不是極值；在點處，所以不是極值；第80頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三在點處，又所以函數(shù)在處有極大值第81頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三求函數(shù)),(yxfz=極值的一般步驟：第一步

解方程組求出實數(shù)解，得駐點.第二步

對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導數(shù)的值A(chǔ)、B、C.第三步

定出2BAC-的符號，再判定是否是極值.第82頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、二元函數(shù)的最值第83頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解設(shè)水箱的長為寬為則其高應(yīng)為則水箱所用材料的面積求偏導數(shù)得例5

某工廠要用鐵板做成一個體積為

的有蓋長方體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省。

第84頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解這方程組，得

根據(jù)題意可知，水箱所用材料面積得最小值一定存在，并在開區(qū)域內(nèi)取得。又函數(shù)在內(nèi)只有唯一的駐點因此當時，取得最小值。即當水箱的長為寬為高為時，水箱所用的材料最省。第85頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三24-xaax例6

有一寬為24cm的長方體鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽。問怎樣折法才能使段面的面積最大。24第86頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三解設(shè)折起來的邊長為求偏導數(shù)得傾角為則各邊長如圖示，所求面積解方程組得由題義知這就是極大值點第87頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三實例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買磁盤，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為

設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點．二、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法第88頁，共97頁，2023年，2月20日，星期三