蘇教版-必修二-第二章 平面解析幾何初步-2.2 圓與方程 一等獎

《圓的方程》學案一、知識網絡圓的標準方程圓的標準方程概念單位圓圓的標準方程的簡單運用二、學習目標1．認識圓的標準方程并掌握推導圓的方程的思想方法；2．掌握圓的標準方程，并能根據方程寫出圓心的坐標和圓的半徑；3．能根據所給條件，通過求半徑和圓心的方法求圓的標準方程．三、學習過程（一）自學評價1．以為圓心，為半徑的圓的標準方程：．2．圓心在原點，半徑為時，圓的方程則為：；3．單位圓：圓心在原點且半徑為１的圓；其方程為：．注意：交代一個圓時要同時交代其圓心與半徑．（二）精典范例例1：分別說出下列圓方程所表示圓的圓心與半徑：（1）；（2）（3）（4）（5）【解】（如下表）方程圓心半徑點評：本題考察了對圓的標準方程的認識，根據圓的標準方程，可以寫出相應的圓的圓心與半徑．例2：（1）寫出圓心為，半徑長為的圓的方程，并判斷點，是否在這個圓上；（2）求圓心是，且經過原點的圓的方程．分析：通過圓心，半徑可以寫出圓的標準方程．【解】（1）∵圓心為，半徑長為，∴該圓的標準方程為：．把點代入方程的左邊，＝右邊，即點的坐標適合方程，∴點是這個圓上的點；把點的坐標代入方程的左邊，．即點坐標不適合圓的方程，∴點不在這個圓上．（2）法一：∵圓的經過坐標原點，∴圓的半徑為：，因此所求的圓的方程為：，即．法二：∵圓心為，∴設圓的方程為，∵原點在圓上即原點的坐標滿足圓方程，即，所以，∴所求圓的標準方程為：．點評：本題鞏固了對圓的標準方程的認識，第二小題的解題關鍵在于求出半徑，這里提供了兩種方法．例3：（1）求以點為圓心，并且和軸相切的圓的方程；（2）已知兩點，，求以線段為直徑的圓的方程．分析：（1）已知與圓心坐標和該圓與軸相切即可求出半徑．（２）根據為直徑可以得到相應的圓心與半徑．【解】（1）∵圓與軸相切∴該圓的半徑即為圓心到軸的距離；所以圓的標準方程為：．（2）∵為直徑，∴的中點為該圓的圓心即，又因為，所以，∴圓的標準方程為：．點評:本題的解題關鍵在于由已知條件求出相應的圓心與半徑．對圓的標準方程的有一個加深認識的作用．例４：已知隧道的截面是半徑為的圓的半圓，車輛只能在道路中心線的一側行駛，車輛寬度為，高為的貨車能不能駛入這個隧道？分析：建立直角坐標系，由圖象可以分析，關鍵在于寫出半圓的方程，對應求出當時的值，比較得出結論．【解】以某一截面半圓的圓心為原點，半圓的直徑所在的直線為軸，建立直角坐標系，如圖所示，那么半圓的方程為：將代入得，即離中心線處，隧道的高度低于貨車的高度，因此，該貨車不能駛入這個隧道．點評：本題的解題關鍵在于建立直角坐標系，用解析法研究問題．思考：假設貨車的最大的寬度為，那么貨車要駛入高隧道，限高為多少？解：將代入得，即限高為．追蹤訓練一1．寫出下列各圓的方程：（1）圓心在原點，半徑為；（2）經過點，圓心為．【解】（1）；（2）．2．求以點為圓心，并且和軸相切的圓的方程．【解】由題意：半徑，所以圓的方程為：．3．圓的內接正方形相對的兩個頂點為，，求該圓的方程．【解】由題意可得為直徑，所以的中點為該圓的圓心即又因為∴，∴圓的標準方程為：．4．求過兩點，，且圓心在直線上的圓的標準方程．【解】設圓心坐標為，圓半徑為，則圓方程為，∵圓心在直線上，∴①又∵圓過兩點，，∴②且③由①、②、③得：，∴圓方程為．思維點拔：由圓的標