高等數學高斯公式通量與散度

第六節(jié)Green公式(gōngshì)Gauss公式(gōngshì)推廣(tuīguǎng)一、高斯公式*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件三、通量與散度機動目錄上頁下頁返回結束高斯公式通量與散度第十章第一頁，共30頁。1一、高斯(ɡāosī)(Gauss)公式定理1.設空間閉區(qū)域由分片(fēnpiàn)光滑的閉曲上有連續(xù)(liánxù)的一階偏導數,下面先證:函數P,Q,R在面所圍成,的方向取外側,那么有(Gauss公式)高斯目錄上頁下頁返回結束第二頁，共30頁。2證明(zhèngmíng):設為XY型區(qū)域(qūyù),那么(nàme)定理1目錄上頁下頁返回結束第三頁，共30頁。3所以(suǒyǐ)假設不是(bùshi)XY–型區(qū)域,那么(nàme)可引進輔助面將其分割成假設干個XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側面積分正負抵消,在輔助面類似可證三式相加,即得所證Gauss公式：定理1目錄上頁下頁返回結束第四頁，共30頁。4使用(shǐyòng)Guass公式時應注意:第五頁，共30頁。5Gauss公式(gōngshì)的實質表達(biǎodá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.由兩類曲面積分之間的關系知高斯公式的另一種(yīzhǒnɡ)形式：第六頁，共30頁。6例1.用Gauss公式(gōngshì)計算其中(qízhōng)為柱面閉域的整個邊界曲面(qūmiàn)的外側.解:這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標)及平面z=0,z=3

所圍空間思考:假設改為內側,結果有何變化?假設為圓柱側面(取外側),如何計算?機動目錄上頁下頁返回結束第七頁，共30頁。7例2.利用(lìyòng)Gauss公式計算積分其中(qízhōng)為錐面解:作輔助(fǔzhù)面取上側介于z=0及z=h之間局部的下側.所圍區(qū)域為,那么機動目錄上頁下頁返回結束第八頁，共30頁。8利用(lìyòng)重心公式,注意機動目錄上頁下頁返回(fǎnhuí)結束第九頁，共30頁。9例3.設為曲面(qūmiàn)取上側,求解:

作取下側的輔助(fǔzhù)面用柱坐標(zuòbiāo)用極坐標機動目錄上頁下頁返回結束第十頁，共30頁。10在閉區(qū)域(qūyù)上具有一階和二階連續(xù)偏導數(dǎoshù),證明格林(Green)第一公式例4.設函數(hánshù)其中是整個邊界面的外側.分析:高斯公式機動目錄上頁下頁返回結束第十一頁，共30頁。11證:令由高斯(ɡāosī)公式得移項(yíxiànɡ)即得所證公式.(見P171)機動目錄上頁下頁返回(fǎnhuí)結束第十二頁，共30頁。12*二、沿任意閉曲面的曲面積(miànjī)分為零的條件1.連通(liántōng)區(qū)域的類型設有空間(kōngjiān)區(qū)域G,假設G內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,那么稱G為空間二維單連通域;假設G內任一閉曲線總可以張一片全屬于G的曲面,那么稱G為空間一維單連通域.例如,球面所圍區(qū)域環(huán)面所圍區(qū)域立方體中挖去一個小球所成的區(qū)域不是二維單連通區(qū)域.既是一維也是二維單連通區(qū)域;是二維但不是一維單連通區(qū)域;是一維但機動目錄上頁下頁返回結束第十三頁，共30頁。132.閉曲面積(miànjī)分為零的充要條件定理(dìnglǐ)2.在空間(kōngjiān)二維單連通域G內具有連續(xù)一階偏導數,為G內任一閉曲面,那么①證:“充分性〞.根據高斯公式可知②是①的充分條件.的充要條件是:②“必要性〞.用反證法.①成立,機動目錄上頁下頁返回結束第十四頁，共30頁。14因P,Q,R在G內具有連續(xù)(liánxù)一階偏導數,那么(nàme)存在鄰域那么由高斯(ɡāosī)公式得與①矛盾,故假設不真.因此條件②是必要的.取外側,機動目錄上頁下頁返回結束第十五頁，共30頁。15三、通量與散度引例(yǐnlì).設穩(wěn)定流動的不可壓縮(yāsuō)流體的密度為1,速度(sùdù)場為理意義可知,設為場中任一有向曲面,單位時間通過曲面的流量為那么由對坐標的曲面積分的物由兩類曲面積分的關系,流量還可表示為機動目錄上頁下頁返回結束第十六頁，共30頁。16假設(jiǎshè)為方向向外的閉曲面,當>0時,說明流入的流體(liútǐ)質量少于當<0時,說明流入的流體質量(zhìliàng)多于流出的,那么單位時間通過的流量為當=0時,說明流入與流出的流體質量相等.流出的,說明內有泉;說明內有洞;根據高斯公式,流量也可表為機動目錄上頁下頁返回結束③第十七頁，共30頁。17方向向外的任一閉曲面(qūmiàn),記所圍域為,設是包含(bāohán)點M且為了揭示場內任意(rènyì)點M處的特性,在③式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點M那么有此式反響了流速場在點M的特點:其值為正,負或0,分別反映在該點有流體涌出,吸入,或沒有任何變化.機動目錄上頁下頁返回結束第十八頁，共30頁。18定義(dìngyì):設有向量場其中(qízhōng)P,Q,R具有連續(xù)一階偏導數,是場內的一片(yīpiàn)有向那么稱曲面,其單位法向量n,為向量場A通過有向曲面的通量(流量).在場中點M(x,y,z)處稱為向量場A在點M的散度.記作divergence機動目錄上頁下頁返回結束第十九頁，共30頁。19說明(shuōmíng)該點處有正源,說明(shuōmíng)該點處有負源,說明(shuōmíng)該點處無源,散度絕對值的大小反映了源的強度.若向量場A處處有,則稱A為無源場.例如,勻速場故它是無源場.P16目錄上頁下頁返回結束說明:由引例可知,散度是通量對體積的變化率,且第二十頁，共30頁。20*例5.置于原點,電量(diànliàng)為q的點電荷產生的場強為解:

計算結果與僅原點有點電荷的事實(shìshí)相符.機動目錄(mùlù)上頁下頁返回結束第二十一頁，共30頁。21內容(nèiróng)小結1.高斯公式(gōngshì)及其應用公式(gōngshì):應用:(1)計算曲面積分(非閉曲面時注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:機動目錄上頁下頁返回結束第二十二頁，共30頁。222.通量與散度設向量場P,Q,R,在域G內有一階連續(xù)(liánxù)偏導數(dǎoshù),那么(nàme)向量場通過有向曲面的通量為G內任意點處的散度為機動目錄上頁下頁返回結束第二十三頁，共30頁。23練習題第二十四頁，共30頁。24第二十五頁，共30頁。25第二十六頁，共30頁。26練習題答案(dáàn)第二十七頁，共30頁。27思考(sīkǎo)與練習所圍立體(lìtǐ),判斷以下(yǐxià)演算是否正確?(1)(2)為機動目錄上頁下頁返回結束第二十八頁，共30頁。28高斯(ɡāosī)(1777–1855)德國數學家、天文學家和物理學家(wùlǐxuéjiā),是與阿基米德,牛頓(niúdùn)并列的偉大數學家,他的數學成就普及各個領域,