課外拓展系列代數(shù)式初一數(shù)學(xué)

代數(shù)式風(fēng)子編輯(biānjí)第一頁(yè)，共21頁(yè)。1分類(lèi)(fēnlèi)代數(shù)式有理式無(wú)理式被開(kāi)方數(shù)是否含有(hányǒu)字母整式(zhěnɡshì)分式分母中是否含有字母單項(xiàng)式式子中是否有加減運(yùn)算多項(xiàng)式第二頁(yè)，共21頁(yè)。2概念(gàiniàn)代數(shù)式：由數(shù)、表示數(shù)的字母和運(yùn)算符號(hào)組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式。運(yùn)算符號(hào)指加、減、乘、除乘方和開(kāi)方等。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也稱(chēng)為(chēnɡwéi)代數(shù)式。用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計(jì)算后所得的結(jié)果叫代數(shù)式的值。案例(ànlì)：1、x-32、〔a+b〕23、x4、105、3x6、a2+ab+b2第三頁(yè)，共21頁(yè)。3概念(gàiniàn)代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式：1、代數(shù)式中數(shù)和表示數(shù)的字母相乘，或字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以(kěyǐ)省略不寫(xiě)，或用“●〞來(lái)代替。數(shù)和字母相乘，在省略乘號(hào)時(shí)，要把數(shù)字寫(xiě)在字母的前面。如n×2寫(xiě)成2n，不要寫(xiě)成n2。2、一般按英文字母順序來(lái)書(shū)寫(xiě)，y×x×2=2xy3、帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，假設(shè)要省略乘號(hào)，須把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。4、當(dāng)數(shù)字因數(shù)是1或-1時(shí)，通常省略不寫(xiě)。5、代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)。6、寫(xiě)代數(shù)式的答案時(shí)，假設(shè)是乘、除關(guān)系，單位名稱(chēng)直接寫(xiě)在式子后面；假設(shè)是加減關(guān)系時(shí)，必須把式子用括號(hào)括起來(lái)。第四頁(yè)，共21頁(yè)。4習(xí)題(xítí)用代數(shù)式表示：1、1〕x的2倍與3的和；2〕a、b、c的平均數(shù)；

2、一輛汽車(chē)以80km/h的速度行駛，從A城到B城需t〔h〕。如果該車(chē)的行駛速度增加(zēngjiā)v〔km/h〕，那么從A城到B城需多少時(shí)間？3、甲數(shù)比乙數(shù)的2倍少1。設(shè)乙數(shù)為x，用關(guān)于x的代數(shù)式表示甲數(shù)。4、大米單價(jià)為每千克a元，食油的單價(jià)為每千克b元。買(mǎi)10千克大米、2千克食油共需多少元？5、當(dāng)x分別取以下值式，求代數(shù)式4-3x的值：1〕x=12〕x=4/33〕x=-5/66、當(dāng)a=3，b=-2/3時(shí)，求以下代數(shù)式的值：1〕2ab2〕a2+2ab+b2第五頁(yè)，共21頁(yè)。5整式(zhěnɡshì)及合并同類(lèi)項(xiàng)整式(zhěnɡshì)單項(xiàng)式〔由數(shù)與字母或字母與字母相乘(xiānɡchénɡ)組成的代數(shù)式〕多項(xiàng)式〔由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式〕系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)；單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和；項(xiàng)：在多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式；常數(shù)項(xiàng)：不含字母的項(xiàng)。同類(lèi)項(xiàng)：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同。與字母順序無(wú)關(guān)，與系數(shù)無(wú)關(guān)。合并同類(lèi)項(xiàng)的法那么：同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。多項(xiàng)式排列：1、變更項(xiàng)的位置時(shí)，一定要連同符號(hào)一起移動(dòng)；2、確定排列的字母；3、確定按升序還是降序排列。第六頁(yè)，共21頁(yè)。6習(xí)題(xítí)1、區(qū)分整式類(lèi)型(lèixíng)及系數(shù)，并指出是幾次多項(xiàng)式？書(shū)本P.98’2、合并以下多項(xiàng)式的同類(lèi)項(xiàng)1〕2a2b-3a-3a2b+2a2〕6xy-10x2-5yx+7x23〕3ab-4a+2ab-5a-1第七頁(yè)，共21頁(yè)。7整式(zhěnɡshì)的加減代數(shù)式運(yùn)算的去括號(hào)法那么：括號(hào)前是“+〞號(hào)，把括號(hào)和它前面的“+〞號(hào)去掉(qùdiào)，括號(hào)里各項(xiàng)都不變；括號(hào)前是“-〞號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-〞去掉(qùdiào)，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。比方：+〔a+b-c〕=a+b-c-〔a+b-c〕=-a-b+c練習(xí)(liànxí)：化簡(jiǎn)下面代數(shù)式：2〔a2-ab〕-〔2a2-3ab〕2〔a2-1〕-(a2-2a-2)第八頁(yè)，共21頁(yè)。8拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—重要事項(xiàng)1、標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)；2、與整式相對(duì)應(yīng)的是分式，整式中的除式或分母(fēnmǔ)不含有字母；3、整式的加減運(yùn)算可歸結(jié)為去括號(hào)和合并同類(lèi)項(xiàng)；4、乘法與除法互為逆運(yùn)算，乘方運(yùn)算是乘法運(yùn)算的延伸與拓展；5、常用的乘法公式如下：1〕平方差公式：〔a+b〕〔a-b〕=a2-b22〕完全平方公式：〔a±b〕2=a2±2ab+b23〕立方和〔差〕公式：a3+b3=〔a+b〕〔a2-ab+b2〕a3-b3=〔a-b〕〔a2+ab+b2〕4〕和〔差〕立方公式：〔a±b〕3=a3±3a2b+3ab2±b35、在整式運(yùn)算中，要著重注意運(yùn)算順序和運(yùn)算符號(hào)。舉一反三(jǔyīfǎnsān):(a+b+c)2=?〔a2-b2〕2=?第九頁(yè)，共21頁(yè)。9拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例1：設(shè)有理數(shù)a、b滿(mǎn)足(mǎnzú)a=-2b+4，問(wèn)6a-3b與8a+b-1哪個(gè)大？大多少？【分析】這題是兩個(gè)代數(shù)式比較大小。比較大小，我們一般可以采用減法(jiǎnfǎ)。解：〔6a-3b〕-〔8a+b-1〕=6a-3b-8a-b+1=-2a-4b+1=-2〔a+2b〕+1=-2×4+1=-7所以，8a+b-1比較大，且大7。第十頁(yè)，共21頁(yè)。10拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例2：化簡(jiǎn)以下(yǐxià)各式：1〕(2x-3y)2(2x+3y)-(3y-2x)(3y+2x)22〕(x3+x2+x+1)(x3-x2+x-1)-(x3+x2+x+2)(x3-x2+x-2)【分析】化簡(jiǎn)代數(shù)式，需要先觀(guān)察代數(shù)式的規(guī)律，在運(yùn)用相應(yīng)的方法(fāngfǎ)。代數(shù)式1〕兩個(gè)單項(xiàng)式中，有相同的組成元素(2x-3y)(2x+3y)，而相同局部又符合平方差公式；代數(shù)式2〕中，兩個(gè)單項(xiàng)式局部相同，因此用字母來(lái)替代相同局部。解：1〕原式=(2x-3y)(2x+3y)[(2x-3y)-(2x+3y)]=(4x2-9y2)×〔-6y〕=54y3-24x2y2〕設(shè)x3+x2+x+1=A，x3--x2+x-1=B，那么：原式=AB-(A+1)(B-1)=AB-(AB-A+B-1)=A-B+1=2x2+3第十一頁(yè)，共21頁(yè)。11拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例3：|x+y-9|與〔2x-y+3〕2互為相反數(shù)，求x-2y的值？【分析】此題涉及兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1〕非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有|a|、a2、a的算術(shù)平方根；2〕兩個(gè)相反數(shù)相加和為0。解：因?yàn)閨x+y-9|+〔2x-y+3〕2=0所以，有：x+y-9=02x-y+3=0兩式相減，得：x-2y=-12備注：如果幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，那么(nàme)每個(gè)非負(fù)數(shù)必定都等于零。第十二頁(yè)，共21頁(yè)。12拓展(tuòzhǎn)訓(xùn)練—案例題例4：a=m+1/2，b=m-1/2，c=m+1/2，求a2+2b2+c2-ab-3bc的值?！痉治觥扛鶕?jù)變量值，求代數(shù)式的值，最直接的方法就是代入法，此題最直接的做法就是把a(bǔ)、b、c的值分別代入代數(shù)式中求值。但是觀(guān)察代數(shù)式，我們可以先進(jìn)行化簡(jiǎn)，使代數(shù)式簡(jiǎn)化。代數(shù)式的變量越多，往往越麻煩，那么我們觀(guān)察條件，發(fā)現(xiàn)a=c，因此先減少代數(shù)式的變量，再化簡(jiǎn)，這樣可以更加簡(jiǎn)單。解：方法一：直接代入法〔動(dòng)手(dòngshǒu)試試〕方法二：化簡(jiǎn)代數(shù)式〔動(dòng)手(dòngshǒu)試試〕方法三：因?yàn)閍=c所以，有：原式=a2+2b2+a2-ab-3ab=2a2+2b2-4ab=2〔a-b〕2=2第十三頁(yè)，共21頁(yè)。13拓展(tuòzhǎn)訓(xùn)練—案例題例5：x-y=m，y-z=n，試求多項(xiàng)式x2+y2+z2-xy-yz-zx的值?！痉治觥坎豢紤]系數(shù)，代數(shù)式中存在x2、y2、xy，那么我們首先應(yīng)該考慮到用完全平方(píngfāng)公式。因此，可以嘗試對(duì)原式按照完全平方(píngfāng)公式格式進(jìn)行變形。變形后，會(huì)發(fā)現(xiàn)條件不夠，那么需要從條件去推導(dǎo)。解：因?yàn)閤-y=m，y-z=n，所以?xún)墒较嗉佑衳-z=m+n

原式=[(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+x2)+(z2-2xz+x2)]

=[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]

=(m2+n2+2mn+m2+n2)

=m2+mn+n2在此題的解題過(guò)程(guòchéng)中，用到了添項(xiàng)、配湊與配方等方法技巧，這些方法在恒等變形中非常重要，不僅要牢牢掌握，還要能靈活應(yīng)用。第十四頁(yè)，共21頁(yè)。14拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例6：x2-4x+1=0，求x4-5x3+6x2-5x的值?！痉治觥?〕由可得x2=4x-1，因此可以對(duì)代數(shù)式進(jìn)行不斷(bùduàn)的降次，以簡(jiǎn)化代數(shù)式。這個(gè)方法比較繁瑣。2〕把代數(shù)式配成A(x2-4x〕形式，以到達(dá)快速降次；3〕使代數(shù)式變成A〔x2-4x+1〕+B形式，我們可以采用多項(xiàng)式的豎式除法。解：方法一〔x2=4x-1〕：原式=〔4x-1〕2-5x〔4x-1〕+6〔4x-1〕-5x方法二〔x2-4x=-1〕：原式=x2〔x2-4x〕-x〔x2-4x〕+2〔x2-4x〕+3x方法三〔多項(xiàng)式豎式除法〕：原式除以x2-4x+1，商為x2-x+1，余式為-1，那么有：原式=〔x2-4x+1〕〔x2-x+1〕-1第十五頁(yè)，共21頁(yè)。15拓展(tuòzhǎn)訓(xùn)練—案例題例7：假設(shè)(jiǎshè)且xy+yz+zx=99，求2x2+12y2+9z2的值?！痉治觥恳阎獥l件按正比例時(shí)，一般可以設(shè)解：設(shè)，則有x=3k，y=k，z=2k

代入xy+yz+zx=99，得：3k2+2k2+6k2=99

即：k2=9

所以，有：

原式=18k2+12k2+36k2=66k2=594

第十六頁(yè)，共21頁(yè)。16拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例8：多項(xiàng)式x3-3x2+5x+a能被多項(xiàng)式x2-x+3整除(zhěngchú)，求常熟a的值?！痉治觥拷鉀Q此題有兩條思路：1〕利用豎式除法，其余式中應(yīng)含有a的代數(shù)式，使其為0，可得a的值。2〕可根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等的定義，利用待定系數(shù)法求解(qiújiě)。待定系數(shù)法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，必須牢牢掌握?！卜椒ㄒ蛔约簢L試〕解：方法二：〔待定系數(shù)法〕原式=〔x2-x+3〕〔x+m〕………….思考為什么是x+m=x3+〔m-1)x2+〔3-m〕x+3m對(duì)照兩個(gè)多項(xiàng)式，得：m-1=-33-m=53m=a解得：m=-2，故a=-6第十七頁(yè)，共21頁(yè)。17拓展訓(xùn)練(xùnliàn)—案例題例9：a2+b2=2，c2+d2=2，ac=bd，求證(qiúzhèng)a2+c2=2，ab=cd【分析】在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，在沒(méi)有太多明確思路時(shí)，往往需要去嘗試(chángshì)。此題條件與需求證的多項(xiàng)式，存在某種關(guān)系。因此，我們需要找到能夠交換位置的方法。證明：∵(a2+b2-2)2+(c2+d2-2)2+2(ac-bd)2=a4+b4+c4+d4+2a2b2+2c2d2+2a2c2+2b2d2-4a2-4b2-4c2-4d2-4abcd+8=(a2+c2-2)2+(b2+d2-2)2+2(ab-cd)2=0∴a2+c2-2=0，b2+d2-2=0，ab-cd=0∴a2+c2=2，b2+d2=2，ab=cd第十八頁(yè)，共21頁(yè)。18拓展(tuòzhǎn)訓(xùn)練—案例題例10：求證：不管(