高中數(shù)學(xué)思想與邏輯：11種數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)與例題講解

中學(xué)數(shù)學(xué)思想與邏輯：11種數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)與例題講解中學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化化歸思想與邏輯劃分思想例題講解

在轉(zhuǎn)化過程中，應(yīng)遵循三個原則：

1、熟識化原則，即將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟識的問題;

2、簡潔化原則，即將困難問題轉(zhuǎn)化為簡潔問題;

3、直觀化原則，即將抽象總是詳細(xì)化.

策略一：正向向逆向轉(zhuǎn)化

一個命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辨證統(tǒng)一，解題時，假如從下面入手思維受阻，不妨從它的正面動身，逆向思維，往往會另有捷徑.

例1：四面體的頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不共面的取法共有__________種.

A、150B、147C、144D、141

分析：本題正面入手，狀況困難，若從反面去考慮，先求四點共面的取法總數(shù)再用補(bǔ)集思想，就簡潔多了.

10個點中任取4個點取法有種，其中面ABC內(nèi)的6個點中任取4點都共面有種，同理其余3個面內(nèi)也有種，又，每條棱與相對棱中點共面也有6種，各棱中點4點共面的有3種，不共面取法有種，應(yīng)選(D).

策略二：局部向整體的轉(zhuǎn)化

從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較困難的數(shù)學(xué)問題卻須要從總體上去把握事物，不糾纏細(xì)微環(huán)節(jié)，從系統(tǒng)中去分析問題，不單打獨斗.

例2：一個四面體全部棱長都是，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為()

A、B、C、D、

分析：若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過程冗長，簡潔出錯，但把正四面體補(bǔ)形成正方體，那么正四面體，正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為，應(yīng)選(A).

策略三：未知向已知轉(zhuǎn)化

又稱類比轉(zhuǎn)化，它是一種培育學(xué)問遷移實力的重要學(xué)習(xí)方法，解題中，若能抓住題目中已知關(guān)鍵信息，鎖定相像性，奇妙進(jìn)行類比轉(zhuǎn)換，答案就會應(yīng)運而生.

例3：在等差數(shù)列中，若，則有等式

(成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，，則有等式_________成立.

分析：等差數(shù)列中，，必有，故有類比等比數(shù)列，因為，故成立.

二、邏輯劃分思想

例題1、已知集合A=，B=，若BA，求實數(shù)a取值的集合.

解A=：分兩種狀況探討

(1)B=￠，此時a=0;

(2)B為一元集合，B=，此時又分兩種狀況探討：

(i)B={-1}，則=-1，a=-1

(ii)B={1}，則=1，a=1.(二級分類)

綜合上述所求集合為.

例題2、設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2x+2，對于滿意1x4的一切x值都有f(x)0，求實數(shù)a的取值范圍.

例題3、已知，試比較的大小.

于是可以知道解本題必需分類探討，其劃分點為.

小結(jié)：分類探討的一般步驟：

(1)明確探討對象及對象的范圍P.(即對哪一個參數(shù)進(jìn)行探討);

(2)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，將P進(jìn)行合理分類，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏，不越級探討.;

(3)逐類探討，獲得階段性結(jié)果.(化整為零，各個擊破);

(4)歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.(主元求并，副元分類作答).

十一種數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)與詳解

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)相識;基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地進(jìn)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培育，數(shù)學(xué)的實力才會有一個大幅度的提高。駕馭數(shù)學(xué)思想，就是駕馭數(shù)學(xué)的精髓。

1、函數(shù)方程思想

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解。有時，還須要函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的等等;不等式問題也與方程是近親，親密相關(guān)。列方程、解方程和探討方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時須要重點考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行探討。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變更”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們嫻熟駕馭的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的詳細(xì)特性。在解決問題中，擅長挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題視察、分析、推斷比較深化、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題、集合問題、數(shù)列問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

函數(shù)學(xué)問涉及的學(xué)問點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有確定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題;有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析;含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系;實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等學(xué)問解答;等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。

2、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無形，少直觀，形多數(shù)，難入微”，利用“數(shù)形結(jié)合”可使所要探討的問題化難為易，化繁為簡。把代數(shù)和幾何相結(jié)合，例如對幾何問題用代數(shù)方法解答，對代數(shù)問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求根號((a-1)^2+(b-1)^2)+根號(a^2+(b-1)^2)+根號((a-1)^2+b^2)+根號(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐標(biāo)系中，把它轉(zhuǎn)化成一個點到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四點的距離，就可以求出它的最小值。

3、分類探討思想

當(dāng)一個問題因為某種量或圖形的狀況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時，須要對這個量或圖形的各種狀況進(jìn)行分類探討。比如解不等式|a-1|4的時候，就要分類探討a的取值狀況。

4、方程思想

當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行探討以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉(zhuǎn)化成一個二次方程的判別式。

5、整體思想

從問題的整體性質(zhì)動身，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)覺問題的整體結(jié)構(gòu)特征，擅長用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在解數(shù)學(xué)問題中的詳細(xì)運用。

6、化歸思想

在于將未知的，生疏的，困難的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的，熟識的，簡潔的問題。三角函數(shù)，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數(shù)學(xué)的尺規(guī)作圖等數(shù)學(xué)理論無不滲透著轉(zhuǎn)化的思想。常見的轉(zhuǎn)化方式有：一般特別轉(zhuǎn)化，等價轉(zhuǎn)化，困難簡潔轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，聯(lián)想轉(zhuǎn)化，類比轉(zhuǎn)化等。

轉(zhuǎn)化思想亦可在狹義上稱為化歸思想?；瘹w思想就是將待解決的或者難以解決的問題A經(jīng)過某種轉(zhuǎn)化手段，轉(zhuǎn)化為有固定解決模式的或者簡潔解決的問題B，通過解決問題B來解決問題A的方法。

7、隱含條件思想

沒有明文表述出來，但是依據(jù)已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規(guī)或者真理。例如一個等腰三角形，一條線段垂直于底邊，那么這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。

8、類比思想

把兩個(或兩類)不同的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行比較，假如發(fā)覺它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

9、建模思想

為了更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性地描述一個實際現(xiàn)象，人們接受一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。運用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時候我們須要做一些試驗，但這些試驗往往用抽象出來了的數(shù)學(xué)模型作為實際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的試驗，試驗本身也是實際操作的一種理論替代。

10、歸納推理思想

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理稱為歸納推理(簡稱歸納)，簡言之，歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理

另外，還有概率統(tǒng)計思想等數(shù)學(xué)思想，例如概率統(tǒng)計思想是指通過概率統(tǒng)計解決一些實際問題，如摸獎的中獎率、某次考試的綜合分析等等。另外，還可以用概率方法解決一些面積問題。

我來舉例子~~圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補(bǔ)成三角形常見。

證相像，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，找尋線段很關(guān)鍵。

干脆證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最便利。

要想證明是切線，半徑垂線細(xì)致辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓

假如遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。

若是添上連心線，切點確定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

協(xié)助線，是虛線，畫圖留意勿變更。

假如圖形較分散，