隨機(jī)過程第五章sjgc

電子科技大學(xué)§5.4平穩(wěn)過程的譜分析簡(jiǎn)介

付氏變換在應(yīng)用和理論中是一種有效的分析方法,特別在電路分析中用付氏變換確立了時(shí)域和頻域間的關(guān)系.

現(xiàn)用付氏變換來研究平穩(wěn)過程.一、確定函數(shù)的功率譜密度電子科技大學(xué)

設(shè)x(t)是定義在時(shí)間軸上的確定函數(shù)(信號(hào)),

滿足

則x(t)的付氏變換存在,或稱x(t)具有頻譜:電子科技大學(xué)Parseval(巴塞瓦爾)公式成立：x(t)在R上的總能量電子科技大學(xué)且巴塞瓦爾公式為

二、平穩(wěn)過程的功率譜密度電子科技大學(xué)存在,且有巴塞瓦爾等式

成立.上式兩邊求均值再取極限,左端為

電子科技大學(xué)稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率.

若(4)中的積分與求均值可交換順序,則平均功率等于過程的均方值

(3′)式右端為電子科技大學(xué)稱為平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度(功率譜,譜密度).

從頻率角度描述平穩(wěn)過程統(tǒng)計(jì)規(guī)律的主要數(shù)字特征.注巴塞瓦爾等式可表示為稱為平穩(wěn)過程的平均功率譜表示式.電子科技大學(xué)三、平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的譜分解

研究平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度間的關(guān)系.定理5.4.1

(維納—辛欽)設(shè){X(t),t∈T}是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，E[X(t)]=0,當(dāng)其相關(guān)函數(shù)R(τ)滿足

有電子科技大學(xué)

平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度構(gòu)成一對(duì)Fourier變換.(6)式稱為相關(guān)函數(shù)的譜分解式.注

推論1{X(t),t∈R}是平穩(wěn)過程,則其譜密度S(ω)

滿足電子科技大學(xué)1)S(ω)為實(shí)值非負(fù)函數(shù)，即2)又若{X(t),t∈R}是實(shí)過程,則S(ω)是偶函數(shù).證2)實(shí)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù),由(5)式可得電子科技大學(xué)推論2若{X(t),t∈R}為實(shí)平穩(wěn)過程,則因R(τ)與S(ω)均為偶函數(shù).注

由付氏變換性質(zhì),可得譜密度及相關(guān)函數(shù)的關(guān)系及性質(zhì),參見P130~P132.電子科技大學(xué)EX.1

設(shè)平穩(wěn)過程的功率譜密度為

解電子科技大學(xué)EX.2

設(shè)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為求其功率譜密度.電子科技大學(xué)

四、譜密度的數(shù)學(xué)討論

以上是從工程的角度，將確定函數(shù)的譜密度概念引入平穩(wěn)過程,得到了相關(guān)函數(shù)的譜展式,現(xiàn)從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)一步討論.

引理（波赫納Bochner-辛欽Khintchine定理）函數(shù)ψ(t)為特征函數(shù)的充分必要條件是ψ(t)在R是一致連續(xù)，非負(fù)定且ψ(0)=1.電子科技大學(xué)定理5.4.2(維納—辛欽)均方連續(xù)平穩(wěn)過程{X(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)RX(τ)可表示為

其中F(ω)是R上的非負(fù)有界,單調(diào)不減,右連續(xù)函數(shù),且FX(-∞)=0，F(xiàn)X(+∞)=2pRX(0).

證若RX(0)=0,則RX(τ)≡0，取FX(ω)≡0即可.

電子科技大學(xué)若RX(0)>0，令

由過程的均方連續(xù)性及平穩(wěn)性推知.

根據(jù)由波赫納－辛欽定理，f(τ)一定是某一隨機(jī)變量(或分布函數(shù))的特征函數(shù)，存在分布函數(shù)G(ω),使

電子科技大學(xué)令FX(ω)=2πRX(0)G(ω)即為定理所求.

注稱為平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的譜展式.

定義5.4.1

稱FX(ω)為過程{X(t),t∈T}的譜函數(shù)，若存在SX

(ω)，使電子科技大學(xué)稱SX(ω)為過程的譜密度.

利用特征函數(shù)和分布函數(shù)之間的關(guān)系,可證得定理5.4.1(維納—辛欽).定理5.4.3

設(shè){X(t),t∈R}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程