云南省玉溪市元江第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．2．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則≥的概率是（）A． B． C． D．4．若cos(α+π4)=1A．718 B．23 C．4-5．設(shè)，則的值為（）A． B．1 C．0 D．-16．在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或7．已知直線（t為參數(shù)）與圓相交于B、C兩點(diǎn)，則的值為（）A． B． C． D．8．命題“?n∈N*,f(n)∈NA．?n∈N*B．?n∈N*C．?n0D．?n09．已知集合，，則從到的映射滿足，則這樣的映射共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)10．函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）A． B． C．和 D．11．已知6個(gè)高爾夫球中有2個(gè)不合格，每次任取1個(gè)，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（）A． B． C． D．12．已知的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（）A．5 B．10 C．20 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從正方體六個(gè)面的對角線中任取兩條作為一對，這對對角線所成的角為的概率為________14．已知函數(shù)為偶函數(shù)，對任意滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．15．已知向量滿足，，，若對每一確定的，最大值和最小值分別為，則對任意，的最小值是_____.16．某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù).規(guī)定該份保單任一年內(nèi)如果事件發(fā)生，則該公司要賠償元，假若在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為保證公司收益不低于的，公司應(yīng)要求該份保單的顧客繳納的保險(xiǎn)金最少為____________元.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班級進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn).為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.分?jǐn)?shù)甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計(jì)附：，其中.臨界值表0.100.050.0252.7063.8415.024（2）現(xiàn)從上述40人中，學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核.在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢園C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到F2(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)F1N?(3)當(dāng)|F2N19．（12分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面面圓周上的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，求的最小值．22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)分別對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】對于A，為奇函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意；對于B,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)遞減的函數(shù)，故B滿足題意；對于C,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為周期函數(shù)，故C不滿足題意；對于D,為偶函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，故D不滿足題意；故答案選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì).2、D【解析】

利用奇函數(shù)性質(zhì)，將a轉(zhuǎn)化成，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小，先比較自變量的大小，再根據(jù)增函數(shù)，即可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，為奇函數(shù)，則，又由，又由在上是增函數(shù)，則有，故選：D.【點(diǎn)睛】比較指數(shù)值或?qū)?shù)值時(shí)可以跟1或0進(jìn)行比較再排列出大小順序.3、D【解析】

先解不等式，確定解集的范圍，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型計(jì)算概率.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?【點(diǎn)睛】幾何概型中長度模型（區(qū)間長度）的概率計(jì)算：.4、C【解析】分析：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin(π4+α)詳解：因?yàn)閏os(則0<π4+α<則sin[(故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及兩角差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，其中熟記三角恒等變換的公式是化簡求值的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.5、C【解析】

首先采用賦值法，令，代入求值，通分后即得結(jié)果.【詳解】令，,，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，涉及系數(shù)和的時(shí)候可以采用賦值法求和，本題意在考查化歸轉(zhuǎn)化和計(jì)算求解能力，屬于中檔題型.6、D【解析】

先把曲線，的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和一般方程，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為直線和半圓有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合討論a的范圍即得解.【詳解】因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為即故曲線的直角坐標(biāo)方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與半圓相切，或者截距當(dāng)直線與半圓相切時(shí)由于為上半圓，故綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化方法，然后聯(lián)立方程組，通過弦長公式，即可得出結(jié)論．【詳解】曲線（為參數(shù)），化為普通方程，將代入，可得，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．8、D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知命題“?n∈N*,fn∈N故選D.考點(diǎn)：命題的否定9、B【解析】分析：根據(jù)映射的定義，結(jié)合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有兩種不同情況，進(jìn)而根據(jù)分步乘法原理得到答案詳解：：若f（3）=3，則f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故這樣的映射的個(gè)數(shù)是2×2=4個(gè)，故選：B．點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是映射的定義，分步乘法原理，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】

判斷函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，故函數(shù)在有唯一零點(diǎn).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，然后即可求出答案.【詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是條件概率，較簡單.12、B【解析】

首先根據(jù)二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為．答案選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

正方體的面對角線共有12條，能夠數(shù)出每一條對角線和另外的8條構(gòu)成8對直線所成角為60°，得共有12×8對對角線所成角為60°，并且容易看出有一半是重復(fù)的，得正方體的所有對角線中，所成角是60°的有48對，根據(jù)古典概型概率公式求解即可．【詳解】如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與上平面A1B1C1D1中一條對角線A1C1成60°的直線有：A1D，B1C，A1B，D1C，BC1，AD1，C1D，B1A共八對直線，總共12條對角線；∴共有12×8＝96對面對角線所成角為60°，而有一半是重復(fù)的；∴從正方體六個(gè)面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有48對．而正方體的面對角線共有12條，所以概率為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正方體面對角線的關(guān)系，考查了古典概型的概率問題，而對于本題知道96對直線中有一半是重復(fù)的是求解本題的關(guān)鍵．14、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)及解析式滿足的條件，可知的對稱軸和周期，并由時(shí)的解析式，畫出函數(shù)圖像；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得時(shí)的解析式，即可求得的臨界值，進(jìn)而確定的取值范圍.【詳解】函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，由可得函數(shù)為偶函數(shù)，對任意滿足，則函數(shù)圖像關(guān)于對稱，函數(shù)為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知，根據(jù)函數(shù)關(guān)于軸對稱可知，若在時(shí)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足至少有個(gè)零點(diǎn)，即在時(shí)至少有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與相切時(shí)，滿足有兩個(gè)交點(diǎn)；則，設(shè)切點(diǎn)為，則，解方程可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所以滿足條件的的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的交點(diǎn)情況，數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.15、【解析】

分別令、、，根據(jù)已知條件判斷出A、B、C三點(diǎn)的位置關(guān)系，及的幾何意義，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)椋粤睿樽鴺?biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)必在單位圓上因?yàn)?，所以令，則點(diǎn)必在線段的中垂線上令，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以線段為直徑的圓上所以可得就是圓的直徑顯然，當(dāng)點(diǎn)在線段的中點(diǎn)時(shí)，取最小值故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的運(yùn)算及圓中的最值問題，屬于較難題，解題的關(guān)鍵是找出每個(gè)式子的幾何意義.16、【解析】

用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，由題意可計(jì)算出的期望．【詳解】設(shè)顧客繳納的保險(xiǎn)金為元，用表示收益額，設(shè)顧客繳納保險(xiǎn)費(fèi)為元，則的取值為和，，則，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用離散型隨機(jī)變量的期望解決實(shí)際問題，解題關(guān)鍵是正確理解題意與期望的意義．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）填表見解析；能在犯錯(cuò)概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”（2）詳見解析【解析】

（1）先由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，再由列聯(lián)表求出的觀測值，然后結(jié)合臨界值表即可得解；（2）先確定的可能取值，再求對應(yīng)的概率，列出分布列，然后求出其期望即可得解.【詳解】解：（1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表為：甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)良91625成績不優(yōu)良11415總計(jì)202040根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測值為，∴在犯錯(cuò)概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.（2）由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2，3.；；；.∴的分布列為0123所以.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)及列聯(lián)表，重點(diǎn)考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，屬中檔題.18、（1）x28+【解析】

(1)根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得a-c=2t-t=22-2，求解(2)可設(shè)N(22cosθ,2sinθ)(3)向量F1M與向量F2N平行，不妨設(shè)λF1M=F2N，設(shè)M(【詳解】(1)點(diǎn)F1、F2分別是橢圓C：x22t∵橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F2的距離的最小值為22-2解得t=2，∴橢圓的方程為x2(2)由(1)可得F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0可設(shè)N(22∴F1N∵F1N解得cosθ=0，sinθ=1，∴△F1N(3)∵向量F1M與向量F2∵|F2N|-|F設(shè)M(x1,∴λ(x1+2)=x∵x22∴[λx∴4λ(λ+1)x1=(1-3λ)(λ+1)∴y12∴|F1M|=λ+12λ，∴(λ-1)?λ+12∴x1=1λ-3=-8∴kF1M=23-0-83∴直線F2N的方程為y-0=-(x-2)，即為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，向量的運(yùn)算，直線斜率，屬于難題．19、（1）詳見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)可得,由圓的性質(zhì)可得,即可證明平面;（2）先判斷當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)的位置.過底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關(guān)系解三角形即可求得,進(jìn)而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長線上,結(jié)合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【詳解】（1）證明:因?yàn)槭菆A柱的母線,平面所以又因?yàn)槭菆A柱的底面直徑所以,即又因?yàn)樗云矫妫?）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),底面積最大,所以到的距離最大,此時(shí)為設(shè)底面圓的圓心為,連接則,又因?yàn)樗云矫嬉驗(yàn)?所以取中點(diǎn),則過O作,垂足為則,所以為中點(diǎn)連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中,,,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長線上,如下圖所示:因?yàn)?,,,在中,由余弦定理可知?jiǎng)t所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】試題分析：（1），即，，解得；（2）是真命題