巧用拼圖實驗 讓數(shù)學(xué)思維 論文

巧用拼圖實驗讓數(shù)學(xué)思維“看得見”——以滬科版七年級下冊“整式乘法與因式分解”為例數(shù)學(xué)源于生活，但較為抽象，學(xué)生只有在經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的“再創(chuàng)造“后，才能將知識內(nèi)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力。但學(xué)生往往不會靈活運用所學(xué)知識，思維流于表面，部分原因在于教師在教學(xué)時重結(jié)果、輕過程，重練習(xí)、輕探究。本文以“整式乘法與因式分解”為例，通過拼圖實驗，探究拼圖與整式乘法、因式分解之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和推理能力。1內(nèi)容分析

本文通過拼圖實現(xiàn)整式乘法與因式分解的互相轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生通過動手操作，探索發(fā)現(xiàn)和驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，該內(nèi)容源自于教材卻是對教材內(nèi)容的拓展延伸。在拼圖過程中經(jīng)歷從具體問題抽象出數(shù)學(xué)問題--建立模型--綜合運用模型解決問題的過程，獲得研究方法與經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念和數(shù)形結(jié)合思想,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2教學(xué)過程

實驗工具：A型紙(邊長為a的正方形)、B型紙片(邊長為b的正方形)、C型紙片(長為a、寬為b的長方形)各若干(a>b)。2.1以“拼”助“算”，回顧公式

問題1：用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼成如圖1的正方形。用不同的方法表示整體圖形的面積。生1：大正方形面積可以看成是邊長為(a+b)的正方形，它的面積是(a+b)2；也可以看成是小紙片的面積和a2+2ab+b2。因此，可得整式乘法(a+b)2=a2+2ab+b2,以及因式分解a2+2ab+b2=(a+b)2baaabbab圖1圖2 問題2:用一張B型紙片如圖2所示放置在一張A型紙片上，請用不同方法表示陰影部分面積。 生2：陰影部分面積可以看成是大正方形面積與小正方形面積之差，即a2-b2。生3：可以將陰影部分剪拼成如圖3的長為(a+b)，寬為(a-b)的長方形，面積為(a+b)(a-b)。因此，可得到整式乘法(a+b)(a-b)=a2-b2，和因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a 。baa ba-bb圖3教學(xué)說明：借助幾何直觀，學(xué)生用不同方法計算同一圖形面積，以“拼”助“算”，由“形”到“數(shù)”，學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在這個過程中，了解公式的幾何背景，區(qū)別因式分解和整式乘法。2.2拼圖操作，數(shù)形結(jié)合

問題3：用一張用1張A型紙片、2張B型紙片、3張C型紙片拼成一個長方形。并計算它的面積。生4：A型紙片與C型紙片有共同的邊a，可以相互連接，所以我將兩張C型紙片分別放在了A型紙片的右側(cè)與上側(cè)，發(fā)現(xiàn)右上角缺了一個邊長為b的正方形，正好放置一個B型紙片。這樣還剩下一個B型紙片和C型紙片，它們有共同的邊b，連接后直接放置在右側(cè)就可以了。ba babbaba b baa圖4 師：很好，拼圖的關(guān)鍵就是不同圖形相互連接的邊要長度相同。 因此，可得到整式乘法(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2，和因式分解a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)。教學(xué)說明：問題1、2都是熟悉的完全平方公式和平方差公式，學(xué)生并不能很好的發(fā)散思維，問題3只提供了紙片數(shù)量，需要拼成長方形，學(xué)生在不斷試錯中發(fā)現(xiàn)拼圖的關(guān)鍵。 問題4：用若干張A型、B型紙片、C型紙片拼成一個長為(a+3b)，寬為(a+b)的長方形。 生5：雖然不知道具體A型和B型的紙片數(shù)量，但是與上一個拼圖相比，寬不變，長增加了a，只需要在右側(cè)再增加一個B型紙片與C型紙片即可。aba b b b圖5因此，可得到整式乘法(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2. 問題5：用若干張A型、B型、C型紙片拼成一個面積為a2+6ab+5b2的長方形。師：你能不拼圖知道分別需要多少張A型、B型、C型紙片嗎？并將a2+6ab+5b2進(jìn)行因式分解嗎？ 生6：分別需要1張A型、5張B型、6張C型紙片，因式分解的結(jié)果是(a+5b)(a+b).根據(jù)上面三個問題的拼圖結(jié)果，我發(fā)現(xiàn)A型紙片數(shù)量與a2相同，B型紙片數(shù)量與b2系數(shù)相同，C型紙片數(shù)量與ab系數(shù)相同，因此可以得出需要紙片數(shù)量。同時a2

+3ab+2b2、a2+4ab+3b2、a2+6ab+5b2中，ab的系數(shù)都比b2的系數(shù)大1，矩形的長增加b時，就需要增加一個B型和C型紙片，始終保證C型紙片比B型紙片多一個。因此，可得到因式分解a2+6ab+5b2=(a+5b)(a+b).教學(xué)說明：問題4、5通過有規(guī)律的拼圖實驗，學(xué)生注意到不同紙片數(shù)量與系數(shù)之間的關(guān)系，后面展開進(jìn)一步探索實驗就順理成章，促使學(xué)生思考拼圖中數(shù)學(xué)本質(zhì)。2.3以“數(shù)“助”形“，提煉方法

問題6：有一張A型紙片，B型、C型紙片各10張，請選取合適的紙片數(shù)量拼成長方形（要求無重疊無縫隙），你能拼成多少種不同的長方形？ （學(xué)生小組實驗，并記錄結(jié)果，總結(jié)方法）

小組1：結(jié)合之前的拼圖經(jīng)驗，在拼圖時要關(guān)注系數(shù)與拼圖數(shù)量的關(guān)系。設(shè)拼出的長方形長為(a+mb)寬為(a+nb),則長方形面積為(a+mb)(a+nb),展開后的結(jié)果為a2+(m+n)ab+mnb2,觀察ab和b2的系數(shù)，只要它們小于等于10就可以了，因此找到以下14種情況如下表：序號mnm+nmn等式①1121(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2②2132(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2③3143(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2④4154(a+4b)(a+b)=a2+5ab+4b2⑤5165(a+5b)(a+b)=a2+6ab+5b2⑥6176(a+6b)(a+b)=a2+7ab+6b2⑦7187(a+7b)(a+b)=a2+8ab+7b2⑧8198(a+8b)(a+b)=a2+9ab+8b2⑨91109(a+9b)(a+b)=a2+10ab+9⑩2244(a+2b)(a+2b)=a2+4ab+4?3256(a+3b)(a+2b)=a2+5ab+6?4268(a+4b)(a+2b)=a2+6ab+8?52710(a+5b)(a+2b)=a2+7ab+1?3369(a+3b)(a+3b)=a2+6ab+9教學(xué)說明：問題6不需要學(xué)生動手拼圖，借助多項式系數(shù)與紙片數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系得到結(jié)果，問題中限制了紙片數(shù)量，這樣也就限制了系數(shù)的大小，可以讓學(xué)生有邏輯的列出所有結(jié)果，并對等式(a+mb)(a+nb)=a2+(m+n)ab+mnb2有了更深的理解。充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生從“學(xué)會“到”會學(xué)“。三教學(xué)反思

3.1數(shù)學(xué)實驗的主體性

整式乘法與因式分解是互逆運算，是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的恒等變形之一，學(xué)生易形成程序化的運算過程，但真正明白算理難度較大，容易混淆兩種運算?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維；學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、推理、驗證等活動過程。“因此，學(xué)生的主動參與是本節(jié)課的關(guān)鍵。教師精心設(shè)計實驗，學(xué)生獨立思考、合作交流，所有學(xué)生都積極參與其中，實現(xiàn)學(xué)生想操作、可操作，成為活動的主人。在拼圖過程中，學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，直觀感受數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)幾何直觀、計算和推理能力的提升。3.2數(shù)學(xué)思維的深刻性

新課標(biāo)指出：“在解決問題過程中，能進(jìn)行有條理的思考，能對結(jié)論的合理性作出有說服力的說明?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識并解決數(shù)學(xué)問題的過程是一個思維活動的過程，教師在日常教學(xué)過程中需注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維深