積分求導(dǎo)順序可換

積分求導(dǎo)順序可換第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分的連續(xù)性、可微性與可積性。下面只對(duì)無窮限積分討論，無界函數(shù)的情況可類似處理。第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二設(shè)是定義在無界區(qū)域上,若對(duì)每一個(gè)固定的,反常積分都收斂,則它的值是在區(qū)間上取值的函數(shù),表為稱為定義在上的含參量的無窮限反常積分,或簡(jiǎn)稱為含參量反常積分.第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)于含參量反常積分和函數(shù)則稱含參量反常積分在上一致收斂于.第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

一致收斂的柯西準(zhǔn)則:含參量反常積分在上一致收斂的充要第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

一致收斂的充要條件;含參量反常積分在上一致收斂的充要條件是:對(duì)任一趨于的遞增數(shù)列(其中),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂.第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

魏爾斯特拉斯M判別法:設(shè)有函數(shù),使得第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因?yàn)槭諗?，所以由廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則，有且收斂，則關(guān)于第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二從而所以關(guān)于一致收斂。第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若一致收斂。證明因?yàn)槭諗?，所以由廣義積分一致收斂的柯西準(zhǔn)則，有且收斂，則關(guān)于第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二從而所以關(guān)于一致收斂。第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1在內(nèi)一致收斂解因?yàn)槎e分收斂，所以在內(nèi)一致收斂第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

狄利克雷判別法;第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

阿貝耳判別法:第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、一致收斂積分的性質(zhì)1.連續(xù)性定理因?yàn)樵趦?nèi)一致收斂，所以證明因此，當(dāng)時(shí)，設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則一元函數(shù)在上連續(xù)。第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二又在上連續(xù)，所以作為的函數(shù)在連續(xù)，于是從而，當(dāng)時(shí)，有定理證畢。第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.積分順序交換定理設(shè)在上連續(xù)，關(guān)于在上一致收斂，則在可積，并且第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3.積分號(hào)下求導(dǎo)的定理設(shè)在上連續(xù)，收斂，關(guān)于在上一致收斂，則在可導(dǎo)，且第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明因?yàn)樵谶B續(xù)，由連續(xù)性定理在連續(xù)，

沿區(qū)間積分，由積分順序交換定理，得到在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得定理證畢。第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

連續(xù)性即:第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

可微性可微性定理表明在定理?xiàng)l件下,求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算可以交換.即第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

可積性第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二含參量反常積分在上一致收斂.證明反常積分在上一致收斂.第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明含參量反常積分在上一致收斂.在上一致收斂.第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明含參量反常積分在上一致收斂.含參量反常積分在上一致收斂.第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4證明證（1）用分段處理的方法.

第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二因?yàn)?/p>

第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例4計(jì)算積分

解

第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5利用積分號(hào)下求導(dǎo)求積分

解因?yàn)?/p>

因?yàn)?/p>

故

第30頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由數(shù)學(xué)歸納法易證于是

第31頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例6計(jì)算積分

解

令

第32頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在第二項(xiàng)積分中令

得故

第33頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期二(2),含參量反常積分一致收斂的定義;(1),含參量反常積分的定義;(3),含參量反常積分一致收斂的判別;