電容器與電場的能量

電容器與電場的能量第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]一無限大各向同性均勻介質(zhì)平板，厚度為

d，相對介電常數(shù)為r，內(nèi)部均勻分布體電荷密度為

0

的自由電荷。求：介質(zhì)板內(nèi)、外的、、。解：帶電體有面對稱，故S以

x=0

處的面為對稱，過場點作正柱形高斯面

S，

設(shè)底面積為

S0S0=0=2DS0垂直于平板。第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二均勻場=0SS0第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二B在一點電荷產(chǎn)生的靜電場中，一塊電介質(zhì)如圖放置，以點電荷所在處為球心作一球形閉合面，則對此球形閉合面：

(A)

高斯定理成立，且可用它求出閉合面上各點的場強。

(B)

高斯定理成立，但不能用它求出閉合面上各點的場強。

(C)

由于電介質(zhì)不對稱分布，高斯定理不成立。

(D)

即使電介質(zhì)對稱分布，高斯定理也不成立。電介質(zhì)q第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]帶電金屬球(R，q)，浸在油中(er)，求球外的場強及金屬球表面處油面上的束縛電荷q′。解：在介質(zhì)內(nèi)作高斯面S

由對稱性(q與q′反號)+++++++++++RrSq′另一種解法見下頁第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二qqRr解：利用的高斯定理高斯面[例]一個帶正電的金屬球，半徑為R，電量為q，浸在油中，油的相對介電常數(shù)為er，求球外的電場分布以及貼近金屬球表面上的束縛電荷q。可見，當(dāng)帶電體周圍充滿電介質(zhì)時，場強減弱為真空時的倍。第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二B一導(dǎo)體球外充滿相對介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)，若測得導(dǎo)體表面附近場強為E，則導(dǎo)體球面上的自由電荷面密度σ

為

(A)

ε0E(B)

ε0εrE(C)

εrE(D)

(ε0εr-

ε0)E

C在空氣平行板電容器中，平行地插上一塊各向同性均勻電介質(zhì)板，如圖所示。當(dāng)電容器充電后，若忽略邊緣效應(yīng)，則電介質(zhì)中的場強與空氣中的場強相比較，應(yīng)有(A)

E＞E0，兩者方向相同。(B)E＝E0，兩者方向相同。(C)E＜E0，兩者方向相同。(D)E＜E0，兩者方向相反。

第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二B一平行板電容器始終與一端電壓一定的電源相聯(lián)。當(dāng)電容器兩極板間為真空時，電場強度為，電位移為，而當(dāng)兩極板間充滿相對介電常數(shù)為

er

的各向同性均勻電介質(zhì)時，電場強度為，電位移為，則(A)

。 (B)

。(C) 。 (D) 。第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]兩平行放置的金屬板間原為真空，分別帶等量異號電荷+s0、-s0，板間電壓為U0，保持板上電荷不變，將板間一半空間充入介質(zhì)(er)，求：板間電壓。解：作高斯面=0=0DSd+s0-s0+s1+s2S++++++---------------++++++第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二+s0++++++++++++DSd-s0+s1+s2S---------------第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]

導(dǎo)體球

(Q)

置于均勻各向同性介質(zhì)中，如圖示求：

場的分布。解：S1)

作高斯面S由對稱性R0R1R2r<R0

導(dǎo)體內(nèi)部E1=0P1

=0R0<r<R1，er1內(nèi)第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二R1<r<R2，er2內(nèi)r>R2P4

=0第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二8.4.1

孤立導(dǎo)體的電容電容只與幾何因素和介質(zhì)有關(guān)固有的容電本領(lǐng)3.單位:1.孤立導(dǎo)體的電勢2.定義8.4電容器、電容(CapacitorsandCapacitance)法拉()微法()皮法()1F

=10-6F1pF=10-12F第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二欲得到1F的電容，孤立導(dǎo)體球的半徑R為多少？[例]求真空中孤立導(dǎo)體球的電容。設(shè)球帶電為Q解：導(dǎo)體球電勢導(dǎo)體球電容介質(zhì)幾何由孤立導(dǎo)體球電容公式知R問題第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二腔內(nèi)導(dǎo)體的表面與殼的內(nèi)表面的形狀及相對位置8.4.2電容器的電容1.電容器：2.電容：由靜電屏蔽可知：導(dǎo)體殼內(nèi)部的場只由腔內(nèi)的電量Q和幾何條件及介質(zhì)決定(相當(dāng)于孤立)內(nèi)表面-QQ電介質(zhì)由兩塊用電介質(zhì)隔開的金屬極板構(gòu)成。它們彼此靠得很近，使兩板間電場不受外部帶電體的影響。電介質(zhì)既起絕緣作用又起增大電容的作用。第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二典型的電容器平行板d球形柱形3.電容器電容的計算設(shè)Q電容的計算R1R2R1R2U第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(1)平行板電容器(忽略邊緣效應(yīng))+++++-----dSS第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(2)圓柱形電容器設(shè)外筒內(nèi)表面和內(nèi)筒外表面分別帶電-Q和+Q，忽略邊緣效應(yīng)。R1R2第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(3)球形電容器令OR1孤立導(dǎo)體球的電容OR1R2第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二串聯(lián)：C1C2各電容器所帶電量相等，總電壓為各電容器電壓之和并聯(lián)：C1C2各電容器電壓相等，總電量Q

為各電容器電量之和UQ-Q-QQ8.4.3電容器的連接一、電容器的串、并聯(lián)第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二二、電容器的兩個主要指標(biāo)：電容、耐壓能力

電介質(zhì)的擊穿在強電場作用下，電介質(zhì)分子中的正負(fù)電荷變成可以自由移動的電荷，電介質(zhì)變?yōu)閷?dǎo)體。擊穿場強：電介質(zhì)材料所能承受的不被擊穿的最大場強。也叫介電強度。電容器是一種常用的電工和電子學(xué)元件。如：在交流電路中電流和電壓的控制；發(fā)射機中振蕩電流產(chǎn)生；接收機中的調(diào)諧；整流電路中的濾波等等。三、電容器的應(yīng)用并聯(lián)時總電容增大，但電容器組的耐壓能力取決于耐壓能力最低的電容；串聯(lián)時總電容減小，但電容器組的耐壓能力提高了。第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例(習(xí)題8-17)]

求平行板電容器的電容。解：1.設(shè)QQs-Q-s2.求E兩極板間：D=s133.求U4.求CABSerldDS右底=sS右底2第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二討論1.兩極板間介質(zhì)充滿l=d2.介質(zhì)為空氣3.C

可視厚度為(d-l)

的空氣平行板電容器和厚度為l

的介質(zhì)平行板電容器的串聯(lián)第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二若把電介質(zhì)板換成金屬板，在縫內(nèi)在金屬板內(nèi)兩板電勢差電介質(zhì)板換成金屬板后，電容增大了，但為了絕緣，仍需放電介質(zhì)。ldSS第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二討論dSrr1r2

S

d1d2極板電介質(zhì)x思考第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(2)

圓柱形電容器設(shè)外筒內(nèi)表面和內(nèi)筒外表面分別帶電–Q和+Q，忽略邊緣效應(yīng)。R1R2第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]圓柱形電容器。半徑為R1、R2，長為l

的圓筒形導(dǎo)體(l>>R1、R2)，其間充有半徑為a、b、長為l

的同軸圓柱形電介質(zhì)(e)，求：C。e123+Q-Q解：設(shè)Q，R1R2ab123由的高斯定理：第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二討論(1)充滿介質(zhì)a=R1，b=R2(2)空氣(3)C

相當(dāng)于三個電容的串聯(lián)第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]神經(jīng)細(xì)胞可以傳遞電信號。如圖所示神經(jīng)細(xì)胞由帶樹突的細(xì)胞體和軸突組成，它連接著人大腳趾的壓力感覺細(xì)胞和脊髓中的神經(jīng)，信號由樹突進(jìn)入細(xì)胞體，再從軸突傳遞出去。這種神經(jīng)細(xì)胞的軸突像一個由薄膜構(gòu)成的細(xì)長管子，半徑為5mm，長度為1m，膜的厚度為8.0nm，膜的相對介電常數(shù)為7。已知軸突膜內(nèi)外側(cè)具有90mV電勢差。求：軸突膜內(nèi)外側(cè)所帶電荷電量是多少？第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二軸突樹突細(xì)胞體解：膜的厚度與軸突半徑相比非常小，所以膜的任一小部分都可看成平面，因此可以把軸突等效成平行板電容器。利用柱形電容器及的高斯定理計算答案相同。第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二電容法在非電量電測法中的應(yīng)用

——電容法測液面高度在被測液體介質(zhì)中放入兩個同軸圓筒形極板。大圓筒內(nèi)半徑為R，小圓筒外半徑為r，圓筒的高度為H，該圓柱形電容器的電容量隨筒內(nèi)液面高度h的變化而改變。試寫出電容量C

與液面高度h的關(guān)系式。e0hH2R2rer第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(3)

球形電容器令OR1孤立導(dǎo)體球的電容OR1R2第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二球形電容器R1abR2(1)充滿介質(zhì)a=R1，b=R2(2)充滿空氣=erC0討論第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二解：(1)由高斯定理[例]半徑為R1的金屬球電量為q，外面同心地放置一內(nèi)外半徑分別為R3和R4的金屬球殼，它本身帶電為Q。兩者之間有一層內(nèi)外半徑分別為R2和R3的電介質(zhì)，相對介電常數(shù)為er。求：

(1)內(nèi)球電勢；

(2)內(nèi)外球電勢差；

(3)把外球殼接地，求該電容器電容。R1R2R3R4第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二內(nèi)球電勢：R1R2R3R4第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二(2)(3)外球接地，外球內(nèi)表面帶電-qR1R2R3R4第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二例計算兩根無限長平行導(dǎo)線間單位長度的電容。導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線軸間距為d，且d>>a。+l

-lad-axxO解：設(shè)無限長導(dǎo)線各帶線電荷密度為±l

的電荷，取坐標(biāo)如圖。由疊加原理求出導(dǎo)線間x

點場強所以單位長度電容第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二例銅球的一半浸在相對介電常數(shù)為er

的油中，球上帶電q，問上下半球各帶電多少？銅球q油er空氣R解：上半球是空氣中孤立導(dǎo)體，其電容C1=2pe0R，下半球是油中孤立導(dǎo)體，其電容

C2=2pe0erR，銅球本身是等勢體，有

U1=U2=U，因此可看成兩個電容器并聯(lián)C=C1+C2，所以第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二例銅球的一半浸在相對介電常數(shù)為er

的油中，球上帶電q，問上下半球各帶電多少？(另解)銅球q油er空氣解：在銅球外緊貼球面取同心高斯球面S，通過S

的的通量利用的高斯定律得由于銅球上下為等勢體，故由對稱性分析知E1=E2，即得在表面小柱體上利用高斯定律D1ΔS=s1ΔS，得D1=s1所以同理DS第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二K+-ab電源C§8.5.1電容器的能量(EnergyStoredinCapacitors)電容器可以儲存能量設(shè)電容器的電壓為U，帶電量為Q，具有的能量為W-dqW

為放電過程中電場力所作的功A電容器具有的能量§8.5靜電場的能量(Electricfieldenergy)第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二CQ?能量的載體是誰電能是定域在電場中的！§8.5.2靜電場的能量、能量密度以平行板電容器為例：單位體積內(nèi)的電能普遍——

電能密度各項同性第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二電場的能量We[例]

導(dǎo)體球(R、Q)的電場能。第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]真空中的均勻帶電的球體，半徑為R，電荷的體密度為r，用電場的能量公式求此體系的靜電能。解：利用高斯定理，可得R第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二核裂變能的估算已知鈾核帶電量為92e，可以近似地認(rèn)為它均勻分布在一個半徑為7.410-15m的球體內(nèi)。(1)

試求出鈾核的靜電勢能。(2)

當(dāng)鈾核對稱裂變后，產(chǎn)生兩個相同的鈀核，各帶電46e，總體積和原來一樣。設(shè)這兩個鈀核也可以看成球體，當(dāng)它們分離很遠(yuǎn)時，它們的總靜電勢能又是多少？這一裂變釋放出的靜電能是多少？(裂變時釋放的“核能”基本上就是靜電能。)(3)

每個鈾核都這樣對稱裂變計算，1kg鈾裂變后釋放出的靜電能是多少？解：(1)

(2)(3)第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二靜電噴漆用的微滴發(fā)生器靜電噴漆、墨水噴射打字機等常用微滴發(fā)生器以產(chǎn)生微滴，在電力作用下噴射到待噴物表面上，靜電斥力要使液滴分裂，但液體表面張力則阻礙液滴分裂。當(dāng)兩種力的作用所引起的能量改變達(dá)到平衡時，液滴半徑將有一穩(wěn)定的最小值。若帶電量為q、半徑為R的帶電球形液滴在靜電斥力的作用下分裂成兩個體積相同、各帶q/2的小液滴，則分裂后兩個小液滴的靜電能之和與分裂前的液滴相比將

(填增加、減小、不變)，另一方面，我們知道液滴的表面能與其表面積的大小成正比，所以液滴分裂為二時表面能將

(填增加、減小、不變)。如果將靜電能與表面能的改變量分別用DWp和DWs

表示的話，那么當(dāng)DWp與DWs的和為

時，液滴將不再分裂，此時液滴的半徑最小。

(答案：減??；增加；零；)第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二解：兩極面間的電場大小為：在電場中取體積元：則在dV中的電場能量為：[例]一圓柱形電容器，兩個極面的半徑分別為R1和R2，兩極面間充滿相對介電常數(shù)為er的電介質(zhì)。求此電容器帶有電量Q時所儲存的電能。R1R2第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二與前面計算結(jié)果同R1R2第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]兩個同心金屬球殼，內(nèi)球殼半徑為R1，外球殼半徑為R2，中間充滿相對介電常數(shù)為er的均勻介質(zhì)，構(gòu)成一個球形電容器。(1)

求該電容器的電容；(2)設(shè)內(nèi)外球殼上分別帶有電荷+Q和-Q，求電容器儲存的能量。解：(1)已知內(nèi)球殼上帶正電荷Q，則兩球殼中間的場強大小為：兩球殼間電勢差

電容(2)電場能量：OR1R2第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二[例]求空氣中平行板電容器兩板間相互作用力。解：設(shè)極板電荷面密度為s，極板面積為S，兩板間距離為d。把兩板間的距離由d緩慢拉大到d+Dd，外力所做的功為：根據(jù)功能原理，外力所做的功等于電容器儲存電能的增量：第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二外力等于兩極板間的吸引力，所以兩極板間相互作用力為：既不是，也不是。第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二例(習(xí)題p61：8-29)

平行板電容器S，d，充電至帶電Q

后與電源斷開，然后用外力緩慢地把兩極板間距離拉開到2d。求：(1)電容器能量的改變；(2)外力所做的功。解：極板拉開過程中電量Q

不變。(1)極板間距為d

時，極板間距為2d

時，電容器能量增量增加(2)電容器極板吸力拉開過程中吸力為恒力，外力也為恒力，做正功能量守恒第51頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)題1.一均勻帶電長直導(dǎo)線，電荷線密度為l，則通過如圖所示球面的電位移通量為

，電場強度通量為

。3.A、B

為兩塊無限大均勻帶電平行薄平板，兩板間和兩板的左右兩側(cè)充滿相對介電常數(shù)為er

的各向同性均勻電介質(zhì)。已知兩板間的場強大小為

E0，兩板外的場強均為

E0/3，方向如圖所示，則A、B

兩板所帶電荷面密度分別為sA=

，sB=

。lR2.如圖所示，在邊長為a

的正方形平面的中垂線上、距中心O

點a/2

處，有一電量為+q

的點電荷。如取平面的正法線方向如圖所示，則通過該平面的電場強度通量FE=

，電位移通量為FD=

。qa/2OABE0E0/3E0/3第52頁，共56頁，2023年，2月20日，星期二4.半徑為R1

和R2

的兩個同軸金屬圓筒，其間充滿著相對介電常數(shù)為er

的均勻介質(zhì)，設(shè)兩筒上單位長度的帶電量分別為+l

和–l。則介質(zhì)中的電位移矢量的大小D=

，電場強度的大小E=

。5.如圖所示，半徑為

R0

的導(dǎo)體

A，帶電

Q，球外套一內(nèi)外半徑為

R1

和

R2的同心球殼

B，設(shè)

r1、r2、r3、r4

分別代表圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ區(qū)域內(nèi)任一點至球心O

的距離，則

(1)若球殼為導(dǎo)體時，各點電位移矢量的大小分別為D1=

；

D2=

；D3