第8章VaR模型學(xué)習(xí)課件

金融工程與風(fēng)險管理第8章VaR模型（2）第一頁，共五十二頁。18.1基本分布形式金融市場的風(fēng)險因子并不完全滿足正態(tài)分布，以正態(tài)分布假設(shè)來計算風(fēng)險就可能低估風(fēng)險對中國股市的實證研究：2000.1.4~2006.5.9年日回報率樣本偏度是0.75，峰度是8.91。由于大多數(shù)的金融資產(chǎn)具有明顯的重尾性，故必須尋找其他分布形式來描述，主要有t分布，GED分布和g&h分布第二頁，共五十二頁。2第三頁，共五十二頁。3第四頁，共五十二頁。48.1.1學(xué)生t分布W.S.Gossett(1908)discoveredthedistributionthroughhisworkattheGuinnessbrewery.Atthattime,Guinnessdidnotallowitsstafftopublish,soGossettusedthepseudonymStudent.第五頁，共五十二頁。5比較正態(tài)分布與t分布Matlab程序：x=-5:0.1:5;y=tpdf(x,5);z=normpdf(x,0,1);plot(x,y,'-',x,z,'-.')第六頁，共五十二頁。6t分布參數(shù)的極大似然估計連續(xù)分布的MLE當(dāng)X的分布是連續(xù)的，其概率密度函數(shù)為f(x,θ),其中θ為未知參數(shù)?，F(xiàn)在從該總體中獲得容量為n的樣本觀測值x1,x2,…,xn,則在X1=x1，X2=x2，Xn=xn時候聯(lián)合概率密度函數(shù)值，即為似然函數(shù)對于不同的θ，同一組樣本觀察值的似然函數(shù)也是不同的，那么通過選擇一個θ使得第七頁，共五十二頁。7t分布參數(shù)的極大似然估計通常為了求導(dǎo)方便，常對似然函數(shù)取對數(shù)，即對數(shù)似然函數(shù)上式即為似然方程，解該方程即可得到參數(shù)θ。第八頁，共五十二頁。8t分布參數(shù)的極大似然估計Matlab函數(shù)：phat=mle(data，‘distribution’，‘dist’)對于t分布，phat=mle(data,'distribution','t')下面以上證指數(shù)2000~2006的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行輸入數(shù)據(jù)：szzs-日對數(shù)回報率估計參數(shù)：phat=mle(szzs,'distribution','t')結(jié)果：phat=-0.00010.00943.7904第九頁，共五十二頁。9t分布的分位數(shù)計算X=tinv(P,V)computestheinverseofStudent‘stcdfwithparameterVforthecorrespondingprobabilitiesinp。函數(shù)：X=tinv(P,V)X=tinv(0.99,9.701492)，X=2.7795X=tinv(0.99,inf)，X=2.3263第十頁，共五十二頁。10基于t分布的VaR基于t分布MLE，日標(biāo)準(zhǔn)差為0.0094自由度為3.7904，99%分為數(shù)置信度的分位數(shù)X=tinv(0.99,3.7904)，X=3.8641基于正態(tài)分布得到的VaR為0.0307，顯然低估風(fēng)險第十一頁，共五十二頁。118.1.2廣義誤差分布在JPMorgan的Riskmetric操作文件中提供GED（GeneralizedErrorDistribution）分布來擬合重尾分布。第十二頁，共五十二頁。12第十三頁，共五十二頁。13第十四頁，共五十二頁。14RiskMetric-正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)的RiskMetric模型的估計是基于正態(tài)分布的回憶：維納過程第十五頁，共五十二頁。15指數(shù)移動平均指數(shù)移動平均對時間序列中的數(shù)據(jù)不采取等權(quán)重，他根據(jù)歷史數(shù)據(jù)距離當(dāng)前時間的遠(yuǎn)近，分別賦予不同的權(quán)重，距離現(xiàn)在越近，賦予的權(quán)重越大。第十六頁，共五十二頁。16第十七頁，共五十二頁。17RiskMetric-GED

[ExpReturn,ExpCovariance]=ewstats(RetSeries,DecayFactor,WindowLength)計算步驟：1、用MLE估計GED分布的參數(shù)V2、計算分位數(shù)和衰減因子λ3、通過EMAW計算方差，得到標(biāo)準(zhǔn)差，4、計算VaR第十八頁，共五十二頁。188.1.3g&h分布g&h分布首先由Tukey提出，隨后Hoaglin、Martinez等、MacGillivary等進(jìn)一步完善了該分布的統(tǒng)計特性。Mills和Brdrinath等應(yīng)用g&h分布估計了股票以及股票指數(shù)的回報，Tian探索了該分布對期權(quán)定價的適用性。研究表明，g&h分布由于考慮了峰度和偏度，以及分布具有非線性的特征，故能更好地擬合資產(chǎn)回報的波動。第十九頁，共五十二頁。19g&h分布g&h分布的本質(zhì)是兩個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的非線性變換。若隨機(jī)變量Z~N(0,1),則可以定義滿足g&h分布族的隨機(jī)變量等式右邊的第1項稱為g分布，g表偏度參數(shù)第2項稱為h分布，h表峰度參數(shù)第二十頁，共五十二頁。20若引入位置參數(shù)A和刻度參數(shù)（Scalingfactor）B，則可以構(gòu)成一個完整的g&h分布函數(shù)

第二十一頁，共五十二頁。21g&h分布t分布，Weibull分布，Logistic分布、柯西（Cauchy）分布等都可以通過設(shè)置不同的參數(shù)值從該分布的變換得到由此可見，該分布具有非常好的柔性，對于金融資產(chǎn)特有的尖峰重尾分布形態(tài)，g&h分布也能較為準(zhǔn)確地擬合。第二十二頁，共五十二頁。22g&h分布的幾個重要性質(zhì)1g&h分布與（標(biāo)準(zhǔn)）正態(tài)分布之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。

2.若A＝0，則有

這說明改變偏度參數(shù)g的符號，僅改變偏度的方向，而不改變偏度的絕對值。第二十三頁，共五十二頁。233位置參數(shù)A可以通過估計樣本的中位數(shù)得到。4第二十四頁，共五十二頁。24補(bǔ)充證明第二十五頁，共五十二頁。25由性質(zhì)4和性質(zhì)1可知，對于不同的正態(tài)分布分位數(shù)zc則有不同的gc與之對應(yīng)，故可以由計算得到{gc}序列，并由該序列對序列進(jìn)行“非線性分位數(shù)回歸”得到參數(shù)g的最大似然估計方程上式表示與之間可能存在非線性關(guān)系。

由方程得到的系數(shù)，就可以由于正態(tài)分布的分位數(shù)估計參數(shù)g。第二十六頁，共五十二頁。265.對于給定的g，則參數(shù)B和參數(shù)h滿足如下等式給定g值第二十七頁，共五十二頁。27得到截距（從而得到刻度參數(shù)B）和峰度參數(shù)h

一元回歸方程由此，我們就可以將g&h分布的四個參數(shù)全部估計出來，估計的關(guān)鍵是樣本序列要求得其在不同置信水平下的分位數(shù)，將其與正態(tài)分布建立函數(shù)關(guān)系，故稱為“分位數(shù)回歸法”。第二十八頁，共五十二頁。28基于g&h分布的VaR根據(jù)VaR的定義，它是資產(chǎn)的損益在某個置信水平（如99％）的下分位數(shù)，在g&h分布的下由Y序列直接給出了分布的形式，故其分位數(shù)就是VaR所對應(yīng)的值，這類似于歷史模擬法和蒙特卡洛模擬中直接由分布計算VaR。第二十九頁，共五十二頁。29實證分析：流動性風(fēng)險本文收集了鄭百文（600898）1996年12月17日到2000年8月21日共888個交易日的價差數(shù)據(jù)，全部數(shù)據(jù)來自CSMAR數(shù)據(jù)庫。鄭百文長期業(yè)績不佳，2001年2月19日，鄭百文向上交所申請停牌，因此，該股票的投資者面臨著流動性風(fēng)險，這里由價差估計流動性VaR鄭百文創(chuàng)下上市公司凈虧2.54億元的最高紀(jì)錄，1999年，鄭百文一年虧損達(dá)9.8億元，再創(chuàng)深滬股市虧損之最，1999年12月鄭百文欠建行20多億元債務(wù)。第三十頁，共五十二頁。30價差的回報分布不滿足正態(tài)分布，因此，若用正態(tài)分布來估計VaR，則存在較大的誤差，故采用g&h分布來計算VaR

第三十一頁，共五十二頁。31參數(shù)估計1.由樣本內(nèi)數(shù)據(jù)計算得到中位數(shù)A=-0.008673；然后，計算對應(yīng)于各個置信水平下鄭百文對數(shù)回報的分位數(shù)1－c下分位數(shù)y1－cc上分位數(shù)yc1/4(0.25)－0.0253500.750.0107771/8(0.125)－0.0405730.8750.0249871/16(0.0625)－0.0525840.93750.0416381/32(0.0313)－0.0727560.96870.0562061/64(0.0156)－0.0890600.98440.0821491/128(0.0078)－0.0994210.99220.1028951/256(0.0039)－0.1221090.99610.1212671/512(0.00195)－0.2592660.998050.1287751/1024(0.00098)－0.2918870.999020.1394480.0007－0.3094150.999300.142529第三十二頁，共五十二頁。32回報樣本的分布越趨向于尾部（c越大或者1-c越?。?，則分位數(shù)的選取越為緊密，因為尾部的數(shù)據(jù)可能存在跳躍性，只有更加緊密的分位數(shù)選取，才能保證對尾部分布刻畫的準(zhǔn)確性。2、利用分位數(shù)回歸方程得到g的估計方程偏度參數(shù)g的回歸結(jié)果系數(shù)回歸值標(biāo)準(zhǔn)差t統(tǒng)計量P值a00.3798720.0972833.9047940.0114a1-0.3945010.133573-2.9534370.0318a20.1451830.0517832.8036620.0378a3-0.0199770.007371-2.7101760.0423a40.0008800.0003452.5481680.0514R20.918187回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差0.058363對數(shù)似然統(tǒng)計量17.68712F統(tǒng)計量14.02881第三十三頁，共五十二頁。33各個參數(shù)的t統(tǒng)計量，除a4顯著性水平接近于5％，其他參數(shù)都在5％以上顯著，可決系數(shù)R2超過90％，表明回歸方程“解釋”變差占總變差的比例較大，可以認(rèn)為，回歸結(jié)果具有較好的擬合優(yōu)度例如：在95%置信水平下，Z=1.96，則由上述方程即可得到g=0.02715。第三十四頁，共五十二頁。343、估計參數(shù)B和h。首先由方程計算出序列然后對序列進(jìn)行線性回歸系數(shù)回歸值標(biāo)準(zhǔn)差t統(tǒng)計量P值Ln(B)-3.6985650.035862-103.13380.0000h0.1965970.01147317.135470.0000R20.973477回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差0.059300對數(shù)似然統(tǒng)計量15.17779F統(tǒng)計量293.6243峰度參數(shù)h和Ln(B)的回歸結(jié)果第三十五頁，共五十二頁。35由此得到B＝0.0247，h＝0.1966。4、計算95%置信水平，持有期1天的VaR第三十六頁，共五十二頁。368.2GARCH模型GARCH是廣義自回歸條件異方差（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroscedasticity）的縮寫。異方差意思是時變的方差，它表明價格或回報波動的簇集效應(yīng)，自回歸是指GARCH模型假設(shè)條件異方差具有自相關(guān)性，故以自回歸的方法來估計。GARCH模型可以假設(shè)為正態(tài)分布，t分布等分布形式。值得注意的是，在GARCH-正態(tài)模型中，由于條件異方差允許回報序列存在更多的異常值，所以，由該模型估計的回報序列的無條件分布具有尖峰重尾性，從而改善了無條件正態(tài)分布無法描述回報序列重尾性的問題。在解析法下，GARCH模型常用于估計股票回報的波動。第三十七頁，共五十二頁。37第三十八頁，共五十二頁。38第三十九頁，共五十二頁。39GARCH(1,1)-正態(tài)分布第四十頁，共五十二頁。40ARCH模型最簡單的ARCH模型就是一個常數(shù)項和前一刻關(guān)于預(yù)測誤差的信息。預(yù)測誤差是由于非預(yù)期的因素引起的，而不可預(yù)期就是我們通常意義上的風(fēng)險。如果把過去的誤差當(dāng)作“失誤”，方差就是我從過去的失誤中得到了多少的教訓(xùn)。此外，我們有理由認(rèn)為滯后1期是不夠的，可以滯后n期，但會帶來參數(shù)估計的問題，這就是GARCH產(chǎn)生的原因。第四十一頁，共五十二頁。41GARCH(1,1)-正態(tài)分布的極大似然估計GARCH的極大似然估計是從誤差項來定義的第四十二頁，共五十二頁。42對數(shù)似然函數(shù)為第四十三頁，共五十二頁。43GARCH模型是在Engle（1982）提出ARCH模型的基礎(chǔ)上由其學(xué)生Bollerslev（1986），它區(qū)別于傳統(tǒng)模型的之處假設(shè)金融資產(chǎn)的波動率是當(dāng)前信息條件下的方差，而不是對整個樣本都假設(shè)為相同而恒定的方差。傳統(tǒng)的方差是“均方差”，而實際上是時變方差如利率，變化特別大（誤差較大）的時段往往緊跟著變化比較小的時段。在金融學(xué)意義上，ARCH（GARCH）模型通過過去p期的非預(yù)期回報的平方移動平均來捕捉回報序列的條件異方差。如果今天之前的第m期，無論市場朝哪個方向作了大幅度的運(yùn)動，都會使得今天的條件方差增加，這意味著今天的市場更有可能進(jìn)行大幅度的波動。由此就造成了“波動的簇集效應(yīng)”，而這卻十分精確地刻畫了股票市場的特征。第四十四頁，共五十二頁。44基于GARCH的VaR模型第四十五頁，共五十二頁。45Eviews計算VaR的程序設(shè)定回歸方程eq1equationeq1回歸方程為GARCH（1，1），均值方程的常數(shù)為c，無滯后項。eq1.archszzscshoweq1.output通過回歸后的GARCH模型計算條件方差eq1.makegarchgarch1seriesstd=garch1^0.5計算持有期為1天的VaRseriesvar=std*@qnorm(0.99)第四十六頁，共五十二頁。46第四十七頁，共五十二頁。478.3后驗測試后驗測試（Basktesting）是檢驗VaR模型的計算結(jié)果對實際損失的覆蓋程度。計算溢出天數(shù)（ExceptionDay）：在95%置信水平下，在100個交易日中標(biāo)準(zhǔn)的溢出天數(shù)應(yīng)該是5天，小于5則高估（Overestimated）風(fēng)險，大于5則低估（Underestimated）風(fēng)險第四十八頁，共五十二頁。488.3后驗測試GARCH-NGARCH-TEGARCH-GED95%(5%)99%(1%)95%(5%)99%(1%)95%(5%)99%(1%)E962687149817e6.4%1.73%5.8%0.93%6.53%1.13%臨界值是1.96，表明以正態(tài)分布來估計參數(shù)，導(dǎo)致VaR嚴(yán)重低估風(fēng)險，以至于模型被拒絕。第四十九頁，共五十二頁