2017-2019年高考真題圓錐曲線解答題全集（含詳細(xì)解析）

2017-2019年高考真題圓錐曲線解答題全集（含詳細(xì)解析）

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1.（2019?天津）設(shè)橢圓二+==13>/;>0）的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為己

ab~

知g|Q4|=2|O3|（O為原點(diǎn)）.

（I）求橢圓的離心率；

（II）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為3的直線/與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與X軸和直

4

線/相切，圓心C在直線x=4上，且。C//4P.求橢圓的方程.

2.（2019?天津）設(shè)橢圓5+4=1（4>6>0）的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為8.已知橢圓的短軸

儲(chǔ)b2

長(zhǎng)為4,離心率為白.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線尸5與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在

y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|OF|（O為原點(diǎn)），且。PJ.MN,求直線網(wǎng)的斜率.

3.（2019?新課標(biāo)HI）已知曲線C:y=二元2，。為直線》=-工1上的動(dòng)點(diǎn)，過。作C的兩條切

22

線，切點(diǎn)分別為A,B.

（1）證明：直線AB過定點(diǎn).

（2）若以E（0,|）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.

22

4.（2019?新課標(biāo)H）已知小鳥是橢圓。:二十%=1（。>%>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為。上的

a-b

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若APO鳥為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P,使得尸耳J.PR,且的面積等于16,求。的值和a的取值范圍.

5.（2019?浙江）如圖，已知點(diǎn)F（l,0）為拋物線V=2*（/7>0）的焦點(diǎn).過點(diǎn)廠的直線交拋

物線于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得&4BC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)

Q,且。在點(diǎn)尸的右側(cè).記&4FG,ACQG的面積分別為52.

（I）求〃的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

（II）求號(hào)的最小值及此時(shí)點(diǎn)G點(diǎn)坐標(biāo).

S?

6.(2019?新課標(biāo)H)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與3M的斜率之

積為一L記M的軌跡為曲線C.

2

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,。兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE_Lx軸，垂足為E,連

結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

⑴證明：APQG是直角三角形；

(?)求APQG面積的最大值.

7.(2019?北京)已知拋物線C:x?=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).

(I)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(H)設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)加，N,

直線y=-l分別交直線?！ǎ珻W于點(diǎn)A和點(diǎn)3.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩

個(gè)定點(diǎn).

22

8.(2019?北京)已知橢圓。:=+4=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)4(0,1).

a~b

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，直線/:y=Ax+f(/w±l)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)尸、Q,直線AP與x

軸交于點(diǎn)〃，直線A。與x軸交于點(diǎn)N.若|OM||CW|=2,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

22

9.(2019?江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：T+3=1(a>/>>0)的焦點(diǎn)為

6(-1,0),6(1,0).過寫作x軸的垂線/,在x軸的上方，1與圓巴：(x-l)2+y2=4/交于

點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)。.連結(jié)并延長(zhǎng)交圓且于點(diǎn)5,連結(jié)B入交橢圓C于點(diǎn)E,連

結(jié)。耳.己知。耳=*.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點(diǎn)求的坐標(biāo).

Z

Y1

10.(2019?新課標(biāo)III)已知曲線C:y=],O為直線y=-5上的動(dòng)點(diǎn)，過。作C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,B.

(1)證明：直線AB過定點(diǎn)；

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段他的中點(diǎn)，求四邊形453E的

面積.

11.(2019?新課標(biāo)I)已知拋物線C：V=3x的焦點(diǎn)為斜率為|■的直線/與C的交點(diǎn)為A,

B,與x軸的交點(diǎn)為P.

(1)若|AF|+|8F|=4,求/的方程；

(2)若AP=3P8,求|AB|.

12.(2019?上海)已知拋物線方程V=4x,尸為焦點(diǎn)，尸為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，。為線段

P/7與拋物線的交點(diǎn)，定義：d(P)=f1^.

Q

(1)當(dāng)時(shí)，求d(P)；

(2)證明：存在常數(shù)。，使得2"(P)=|PF|+a；

(3)《，p2,8為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且1621=12/1，判斷“(6)+d(A)與2d(2)的關(guān)

系.

22

13.(2018?全國(guó))雙曲線5=1,耳、鳥為其左右焦點(diǎn)，C是以心為圓心且過原點(diǎn)的

圓.

(1)求C的軌跡方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸在C上運(yùn)動(dòng)，M滿足=求M的軌跡方程.

14.（2018?浙江）如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點(diǎn)，拋物線C:丁=4x上存在

不同的兩點(diǎn)A,3滿足24,的中點(diǎn)均在C上.

（I）設(shè)4?中點(diǎn)為證明：對(duì)7垂直于y軸；

2

（II）若尸是半橢圓Y+匕=l（x<0）上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的取值范圍.

15.（2018?新課標(biāo)HI）已知斜率為上的直線/與橢圓C:工+匕=1交于A,3兩點(diǎn)，線段4?

43

的中點(diǎn)為M（l,m）｛m>0）.

（1）證明：

2

（2）設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且FP+E4+FB=0.證明：|E4|,\FP\,\FB\

成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差.

16.（2018?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，橢圓C過點(diǎn)（"；），焦點(diǎn)阡（-心，0）,

鳥（后，0）,圓。的直徑為月鳥.

（1）求橢圓C及圓。的方程；

（2）設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

/7

②直線/與橢圓。交于A,B兩點(diǎn).若AOA3的面積為?干，求直線/的方程.

17.（2018?新課標(biāo)III）已知斜率為左的直線/與橢圓C:三+工=1交于A,B兩點(diǎn)，線段AB

43

的中點(diǎn)為M（l,m）（m>0）.

（I）證明：k<--；

2

（2）設(shè)尸為C的右焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，且FP+E4+F8=0,證明：2|PPRE4|+|EB|.

18.（2018?上海）設(shè)常數(shù)，>2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（2,0）,直線=

曲線「:V=8x（臉/f,y?O）./與x軸交于點(diǎn)A、與「交于點(diǎn)8.P、。分別是曲線「與

線段上的動(dòng)點(diǎn).

（1）用f表示點(diǎn)B到點(diǎn)F的距離；

（2）設(shè)，=3,|尸。|=2,線段。。的中點(diǎn)在直線EP上，求AAQP的面積；

（3）設(shè)f=8,是否存在以fP、FQ為鄰邊的矩形FPEQ,使得點(diǎn)￡在「上？若存在，求點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

工2V2

19.（2018?天津）設(shè)橢圓二+與=1（。>6>0）的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離

a廳

心率為|A8|=.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)直線/:y=Ax（Z<0）與橢圓交于P,。兩點(diǎn)，1與直線4?交于點(diǎn)“，且點(diǎn)P,M

均在第四象限.若AfiRW的面積是ABPQ面積的2倍，求攵的值.

22

20.（2018?天津）設(shè)橢圓r方+v方=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為已知橢圓的離

心率為半，點(diǎn)A的坐標(biāo)為S,0）,且||A31=6夜.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)直線/:丫=區(qū)（我>0）與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為產(chǎn)，且/與直線A3交于點(diǎn)Q.若

尚=竽豆!140f2(0為原點(diǎn))，求左的值.

21.(2018?北京)已知橢圓M:[+]=l(a>b>0)的離心率為如，焦距為2近.斜率為

ab~3

?的直線/與橢圓/有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B.

(I)求橢圓A7的方程；

(II)若k=l,求|48|的最大值；

(IH)設(shè)尸(-2,0),直線與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓〃的另一個(gè)交點(diǎn)

為￡>.若C,。和點(diǎn)Q(-(,：)共線，求k.

22.(2018?新課標(biāo)I)設(shè)橢圓C:'+y2=i的右焦點(diǎn)為F,過F的直線/與C交于A,B兩

2-

點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：NOMA=NOMB.

23.(2018?北京)已知拋物線C：V=2px經(jīng)過點(diǎn)P(l,2),過點(diǎn)。(0,1)的直線/與拋物線C有

兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B,且直線Q4交y軸于〃，直線P8交)軸于N.

(I)求直線/的斜率的取值范圍；

(H)設(shè)。為原點(diǎn)，QM=2QO,QN=RQO,求證：?+，為定值.

24.(2018?新課標(biāo)II)設(shè)拋物線C:V=4x的焦點(diǎn)為尸，過F且斜率為k(k>0)的直線/與C

交于A,B兩點(diǎn)，|A8|=8.

(1)求/的方程：

(2)求過點(diǎn)A,8且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

25.(2018?新課標(biāo)I)設(shè)拋物線C:y2=2x,點(diǎn)A(2,0),B(-2,0),過點(diǎn)A的直線/與C交

于M,N兩點(diǎn).

(I)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線助0的方程；

(2)證明：NABM=NABN.

26.(2018?上海)已知aeR,雙曲線「與一丁小

(1)若點(diǎn)(2,1)在「上，求「的焦點(diǎn)坐標(biāo)

(2)若〃=1,直線>=代+1與「相交于A、8兩點(diǎn)，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求實(shí)

數(shù)k的值

27.（2018?上海）利用“平行于圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，

某快餐店用兩個(gè)射燈（射燈的光錐為圓錐）在廣告牌上投影出其標(biāo)識(shí)，如圖1所示，圖2

是投影射出的拋物線的平面圖，圖3是一個(gè)射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點(diǎn)。、

A、3在拋物線上，OC是拋物線的對(duì)稱軸，。CJ_A8于C,A8=3米，OC=4.5米

（1）求拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

（2）在圖3中，已知OC平行于圓錐的母線SO,AB、OE是圓錐底面的直徑，求圓錐的

母線與軸的夾角的大?。ň_到0.01。）

圖1圖2圖3

22

28.（2017?全國(guó)）設(shè)橢圓C:=+[=l（a>6>0）的中心為。，左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為A,

a'b'

短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,短軸長(zhǎng)為4,A4所的面積為有-1

（1）求a,b；

（2）設(shè)直線/與。交于尸，。兩點(diǎn)，M（2,2）,四邊形OPMQ為平行四邊形，求/的方程.

29.（2017?上海）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓r《+y2=],A為「的上頂點(diǎn)，P

為「上異于上、下頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，M為x正半軸上的動(dòng)點(diǎn).

（1）若P在第一象限，且|OP|=&,求P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)2?』），若以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求M的橫坐標(biāo)；

55

（3）若,直線A。與「交于另一點(diǎn)C,且AQ=24C,PQ=4PM,求直線AQ

的方程.

比21

30.（2017?天津）設(shè)橢圓:+4=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,離心率為已

a'b'2

知A是拋物線r=2Px（p>0）的焦點(diǎn)，尸到拋物線的準(zhǔn)線/的距離為;.

（7）求橢圓的方程和拋物線的方程;

(〃)設(shè)/上兩點(diǎn)P,。關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于A),直線B。與X軸

相交于點(diǎn)。.若的面積為漁，求直線AP的方程.

2

2

31.(2017?新課標(biāo)H)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：L+V=1上，過M作x軸的垂

2

線，垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=&MW.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)0在直線x=-3上，且0PPQ=1.證明：過點(diǎn)尸且垂直于。。的直線/過C的左

焦點(diǎn)F.

f2

32.(2017?天津)己知橢圓"+v4=13>6>0)的左焦點(diǎn)為尸(-。,0),右頂點(diǎn)為4,點(diǎn)E的

a'b-

序

坐標(biāo)為(0,c),AEE4的面積為一.

2

(/)求橢圓的離心率；

(〃)設(shè)點(diǎn)Q在線段AE上，|F0|--c,延長(zhǎng)線段FQ與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)N在x軸上，

PMHQN,且直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.

⑴求直線EP的斜率；

(〃)求橢圓的方程.

33.(2017?山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:[+與=1(a>6>0)的離心率為立，

a'b-2

焦距為2.

(I)求橢圓E的方程.

A

(II)如圖，動(dòng)直線/:y=&x-苧交橢圓E于4,B兩點(diǎn)，C是橢圓E上的一點(diǎn)，直線OC

的斜率為網(wǎng)，且｛&=曰，M是線段0c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且|MC|:|AB|=2:3,M的

半徑為|MC|,OS,。7"是M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S,T,求NSO7的最大值，

并求取得最大值時(shí)直線/的斜率.

34.（2017?山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:=+4=1（〃>。>0）的離心率為

a~b~

孝，橢圓C截直線y=l所得線段的長(zhǎng)度為2啦.

（I）求橢圓C的方程；

（II）動(dòng)直線/:y=日+皿機(jī)*0）交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于。

的對(duì)稱點(diǎn)，N的半徑為|NO|.設(shè)。為的中點(diǎn)，DF與N分別相切于點(diǎn)E,

35.（2017?北京）己知拋物線C:_/=2px過點(diǎn)尸（1,1）.過點(diǎn)（0，）作直線/與拋物線C交于

不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點(diǎn)A,5,其中。

為原點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）求證：A為線段的中點(diǎn).

22

36.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，橢圓￡二十與=l（a>h>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月，

ab-

居，離心率為_L,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)尸在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)耳

-2

作直線尸石的垂線/1,過點(diǎn)名作直線P居的垂線/?.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/「/?的交點(diǎn)。在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

37.（2017?北京）已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（-2,O）,8（2,0）,焦點(diǎn)在x軸上，離心率

為冬

（I）求橢圓C的方程；

（II）點(diǎn)。為x軸上一點(diǎn)，過。作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過。作40

的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：ASDE與ASDN的面積之比為4:5.

38.（2017?新課標(biāo)m）在直角坐標(biāo)系xQy中，曲線y=d+，nr-2與x軸交于A、8兩點(diǎn)，

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,1）,當(dāng)〃?變化時(shí)，解答下列問題：

（1）能否出現(xiàn)4CL3c的情況？說(shuō)明理由；

（2）證明過A、B、C三點(diǎn)的圓在），軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.

39.（2017?新課標(biāo)I）已知橢圓。:￡+2=13＞。＞0），四點(diǎn)I。/），6（0,1），平），

舄（1,弓）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線/不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,

證明：/過定點(diǎn).

40.（2017?新課標(biāo)I）設(shè)A,3為曲線C:y=工上兩點(diǎn)，A與8的橫坐標(biāo)之和為4.

4

（1）求直線的斜率；

（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線平行，且求直線4?

的方程.

41.(2017?浙江)如圖，已知拋物線d=y，點(diǎn)A(-g,；),S(|,'),拋物線上的點(diǎn)P(x,

y)(—4<x<3),過點(diǎn)5作直線AP的垂線，垂足為。.

(I)求直線AP斜率的取值范圍；

(II)求|「4||尸。|的最大值.

42.(2017?新課標(biāo)IH)已知拋物線Uy?=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線/交C于A,3兩點(diǎn)，圓〃

是以線段4?為直徑的圓.

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線/與圓M的方程.

43.(2017?上海)已知雙曲線直線/:丫=履+皿加片0),/與「交于產(chǎn)、

。兩點(diǎn)，戶為P關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線PQ與y軸交于點(diǎn)N(0,〃)；

(I)若點(diǎn)(2,0)是「的一個(gè)焦點(diǎn)，求「的漸近線方程；

(2)若b=l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0),且NP'=-P'Q,求k的值；

2

(3)若"?=2,求〃關(guān)于b的表達(dá)式.

2017-2019年高考真題圓錐曲線解答題全集（含詳細(xì)解析）

參考答案與試題解析

解答題（共43小題）

1.（2019?天津）設(shè)橢圓二+與=13>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為8.己

arkr

知G|（M|=2|O8|（O為原點(diǎn)）.

（I）求橢圓的離心率；

（II）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)產(chǎn)且斜率為3的直線/與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為尸，圓C同時(shí)與x軸和直

4

線/相切，圓心C在直線x=4上，且OC//AP.求橢圓的方程.

【解答】解：（I）y/3\OA\=2\OB\,即為耳=26,

即a=2c,h=\/3c,

22

可得橢圓方程為r二十v與=1，

4c23c2

設(shè)直線EP的方程為y=：（x+c）,

代入橢圓方程可得7x2+6cx-13c2=0,

解得光=<:或工=-,

7

代入直線PF方程可得丫=主或y=-生（舍去），

214

可得尸（C,主），

2

圓心C在直線x=4上，且。C//AP,可設(shè)C（4,f）,

3c

可得%系’解得‘=2’

即有C（4,2）,可得圓的半徑為2,

由直線尸尸和圓C相切的條件為〃=r,

可得小高產(chǎn)=2,解得

可得。=4,b=2G，

可得橢圓方程為E+《=i.

1612

22

2.（2019?天津）設(shè)橢圓=+二=1（。＞匕＞0）的左焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為3.已知橢圓的短軸

a'b-

長(zhǎng)為4,離心率為害.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)〃為直線與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在

y軸的負(fù)半軸上.若|ON|=|O尸1（0為原點(diǎn)），且OPLMN,求直線總的斜率.

【解答】解：（I）由題意可得26=4,即6=2,e=￡=好，a2-b2=c2,

a5

解得a—垂＞1c=1,

JV2

可得橢圓方程為二+匕=1；

54

（II）B（0,2）,設(shè)依的方程為y="+2,

代入橢圓方程4/+5y2=20,

可得(4+542)/+20履=0,

解得x=或x=0,

4+5公

即有P（-上々8-10A:2

4+5公4+5公

2

y=kx+2f令y=0,可得〃(——,0),

k

又N(0,-l),OP±MN,

行4曰8—10攵21,2廊

可得——-——-=-1，解得％二±—

-20k25

T

可得總的斜率為士等.

j-21

3.（2019?新課標(biāo)m）已知曲線C:y=],方為直線y=-]上的動(dòng)點(diǎn)，過。作C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,B.

（1）證明：直線鉆過定點(diǎn).

（2）若以E（0,j）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段他的中點(diǎn)，求該圓的方程.

【解答】（1）證明：設(shè)>Ag,y),則X；=2yl

1

yiH—

由于y=x,.切線ZM的斜率為百，故-----=Xj

x,-t

整理得：2rxl—2%+1=0.

設(shè)3（w，%），同理可得2/-2y2+1=0.

故直線AB的方程為2tx-2y+\=0.

直線AB過定點(diǎn)（0,；）;

（2）解：由（1）得直線4?的方程y=fx+g.

1

y="+孑

由，,”,可得/-2a-1=0.

廠

尸石

于是玉+W=2f,y+%=，(玉+W)+1=2r+1.

設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則MQ-+g）,

由于EW_LA8,而EM=(r,r-2),AB與向量(1")平行,

.」+(*-2?=0,解得r=0或"±1.

當(dāng)t=0時(shí)，|EM|=2,=4；

當(dāng)「=±1時(shí)，所求圓的方程為f+（y—|）2=2.

2;2

4.（2019?新課標(biāo)II）已知正月是橢圓。：二+4=l（a＞匕＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的

ab「

點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若APO行為等邊三角形，求C的離心率;

(2)如果存在點(diǎn)尸，使得心J.PR,且△6P鳥的面積等于16,求。的值和a的取值范圍.

【解答】解：(1)連接由APOE為等邊三角形可知在△耳產(chǎn)工中，

ZF}PF2=90°,\PF2\=C,|P/"=J5c,于是2?=|尸耳1+1%1=(8+l)c，

故曲線c的離心率6=￡=6-1.

a

(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)：-\y\2c=\6,

2

x十cx—ca

即c|y|=16,①

x24-y2=c2,②

由②③及。2=6+。2得y2=又由①知9=,故匕=4,

CC

??

由②③得f=之(。2-/),所以C?.方，從而/=從+/..2加=32,故a.4夜，

C

當(dāng)人=4,a.4及時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.

所以h=4,a的取值范圍為［4立，+oo).

5.(2019?浙江)如圖，已知點(diǎn)F(l,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn).過點(diǎn)尸的直線交拋

物線于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線上，使得MBC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)

Q,且。在點(diǎn)尸的右側(cè).記入4FG,ACOG的面積分別為S,S2.

(I)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

【解答】解：（I）由拋物線的性質(zhì)可得：R=i,

2

「?p=2,

一.拋物線的準(zhǔn)線方程為無(wú)=-1；

A

（II）設(shè)A（X，yA）?BQ],,%）,C（xc,yc）,重心G（%，Jc）?

令力=2ar^O,則

t2_i

由于直線AB過F,故直線AB的方程為x=--y+1,

2t

X2

代入>2=4,得：2_2(r-l)=0,

t

?*-2)B=~4，即%=~~，,

又見=g(%A+4+%)，兄=3(%+%+%)，重心在X軸上，

2

/.2t-----F=0，

.-.C((--/)2,2(17)),G(2l:2/+2,0),

tt3r

???直線AC的方程為3-2/=2心一/）,得。（產(chǎn)-1,0）,

。在焦點(diǎn)尸的右側(cè)，

4

1I口「11I?2/-2廣+1..0.

￡=]FG||%|"I37""I"

44

S?^\QG\\yc\[f2_1_2/-2r+2||2_2f|r-l

23rt

令m=『-2,則〃2>0,

二當(dāng)，=招時(shí)，今取得最小值為1+日，此時(shí)G（2,0）.

§22

6.（2019?新課標(biāo)II）已知點(diǎn)A（-2,0）,8（2,0）,動(dòng)點(diǎn)滿足直線AW與8”的斜率之

積為記M的軌跡為曲線C.

2

（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在第一象限，PEJ.X軸，垂足為E,連

結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

⑴證明：APQG是直角三角形；

（〃）求APQG面積的最大值.

【解答】解：（1）由題意得上x上=」，

x+2x—22

r22

整理得曲線C的方程：亍+、v=1（懺0）,

曲線C是焦點(diǎn)在X軸上不含長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓;

⑴設(shè)P（%，%）,則。（-/，-%）,

E5，0），G（xc,yc）,

二直線QE的方程為：y=^-（x-Xu）,

2x°

與1+曰=1聯(lián)立消去y,

得（2/2+%?）12—2x^y^x+$2yo'_8叫「=0，

x（）X）-8%）

2代+%?

「一（8f2?。

??人G-C2,2

2工0+y（）

?口=.%f）=當(dāng)/?

4（）/玉）十九

k_打一打

KpG~

%一戈0

）b（4-x：-%2）

一""一）。

-（8-%2）r

0

4%---2%玉2-%3

-

8%--voyo-2Xg-xoyo-

%（4-3天:

2M4-y；-xj）

把與2+2%2=4代入上式,

得k廣%（4_3/2_4+/2）

'「玉’（4-%2-4+2%2）

一%X2x；

2%%2

=-幺，

%，

'1-kgxkPG=—x（—-）=—1,

%y0

PQIPG,

故APQG為直角三角形；

=；?正?x（%-q）

1,、

=5%（%+為）

=gx>](8一-%，%

+%]

2x『+城

1）8-y（：+2X（；+y；

=22嫣+為2

.%廝（4+々；）

2與2+%2

先*0（*0+2%+x（））

2x°+y0

2乂吊（山（）+），（））

2x；+y；

8.%Xo（x（；+）J）

（2與2+%2）52+2%2）

二8（%x；+XoX：）

一20+2%4+5堞%2

8（&+%）

=.%%

2臣+當(dāng)2+1

%X。

令小區(qū)+生,則r..2,

%X。

c8/8

7

ZzH—

t

利用“對(duì)號(hào)”函數(shù)/Q）=2f+1在[2,+oo）的單調(diào)性可知，

t

1Q

/0）..4+]=1?=2時(shí)取等號(hào)），

。816/山I2A/3.

S&PQG，,=—（此時(shí)犬o=y（）=—^―），

2

故面積的最大值為孩.

7.（2019?北京）已知拋物線C:d=-2py經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）.

（I）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

（H）設(shè)。為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線/交拋物線C于兩點(diǎn)加，N,

直線y=-l分別交直線。〃，CW于點(diǎn)A和點(diǎn)3.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩

個(gè)定點(diǎn).

【解答】解：（I）拋物線C:V=-2py經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）.可得4=22，即p=2,

可得拋物線C的方程為d=-4y,準(zhǔn)線方程為y=l：

（II）證明：拋物線丁=一^的焦點(diǎn)為尸（0,-1）,

設(shè)直線方程為丫=履-1,聯(lián)立拋物線方程，可得V+4履-4=0,

設(shè)M（X1,y）,N（X2,y2）,

可得X1+x2=-4k,x（%2=-4,

直線OM的方程為曠=&-即丁=一±工，

/4

直線ON的方程為》=^^,即、=—三工，

x24

可得4(二4，-1),B(4—,-1),

%x2

-Ab

可得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2(1L+1-L)=2*=2〃，

&x2-4

即有4?為直徑的圓心為(2k,-1),

半徑為四1二」也一巴|=2.婀而=2后,

22%w4

可得圓的方程為(x-2k)2+(y+1)2=4(1+公)，

化為x2-4fcc+(y+l)2=4,

由x=。，可得y=l或-3.

則以45為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1),(0,-3).

22

8.(2019?北京)已知橢圓。:=+斗=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)4(0,1).

ab

(I)求橢圓C的方程；

(0)設(shè)。為原點(diǎn)，直線/:y=fcv+r(fH±l)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)尸、Q,直線”與x

軸交于點(diǎn)M,直線A。與x軸交于點(diǎn)N.若［O例||ON|=2,求證：直線/經(jīng)過定點(diǎn).

【解答】解:(I)橢圓C'.—+~^=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)40,1).

a~b~

可得b=c=l,a=\jh2+c2=5/2,

則橢圓方程為^+)，2=1；

(II)證明：y=履+，與橢圓方程%2+2;/=2聯(lián)立,可得(1+2公)/+4依+2--2=0,

設(shè)P(玉，y),Q(X2,y2),

△=16J12?-4(1+2*2)(2?-2)>0,x+x,=--竺r，占々=生二，

1氣1+2公"-\+2!c

好的方程為》=入二1+1,令y=0,可得>=」」，即M(』-,0)；

XIf1-%

A。的方程為y=*Ux+l,令)，=0,可得即N(-^,()).

士］一必1一%

(1-)\)(1-、2)=1+凹必-(X+%)=1+(3+t)(kx-,+t)-(kxy+kx2+2t)

=-)+公*Rj(一邙(If

1+2公

\OM\\ON\=2,即為|」——上一|=2,

1->,1-^2

即有|/一1|=?-1)2，由f*±l,解得r=0,滿足△＞(),

即有直線/方程為丫=依，恒過原點(diǎn)(0,0).

22

9.(2019?江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓。:+斗=1(4＞。＞0)的焦點(diǎn)為

邛-1,0),5(1,0).過鳥作x軸的垂線/,在x軸的上方，1與圓馬：(x-l)2+y2=4/交于

點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)。.連結(jié)4耳并延長(zhǎng)交圓居于點(diǎn)5,連結(jié)B入交橢圓C于點(diǎn)E,連

結(jié)?！?已知。耳=g.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【解答】解：(1)如圖，F(xiàn)2A=F2B,.-.ZF2AB=ZF2BA,

F2A=2a=F2D+DA=F2D+FtD,:.AD=FtD,則NZMf；=,

ZDFtA=ZF2BA,則FtD//BF2,

2

c=\,.-.h2=a2-\,則橢圓方程為J+Tv—=1,

a2a2-l

TT-,zCl"~1mrl”cca2"2+1

取尤=1,得By0=----,貝!JAD=2ci-------=-----?

aaa

又DF.=—9/."+1=—,解得ci=2(a>0).

2a2

22

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為士r+匕v=1；

43

(2)由(1)知，D(l,1),耳(-1,0),

3

o33

??^明BF=k0l,Fh\=一2=—4,則2BK^:4y=、—(x/—1),

得21/-39=0.

解得N=-1或”半(舍).

10.(2019?新課標(biāo)HD已知曲線C:y=],。為直線y=-g上的動(dòng)點(diǎn)，過。作C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A,B.

(1)證明：直線A3過定點(diǎn)；

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線A3相切，且切點(diǎn)為線段A3的中點(diǎn)，求四邊形4)況的

面積.

【解答】解：(1)證明：y=[■的導(dǎo)數(shù)為y'=x,

22

設(shè)切點(diǎn)4公，%),3(工2，%)，即有凹=千，%=妄-，

2

切線ZM的方程為y-y=%(x-xj,y=xtx-^-,

切線DB的方程為y=x2x-^-,

聯(lián)立兩切線方程可得》=1(占+占)，

2

可得y=，即玉&=-1，

直線43的方程為y-冬=比/(彳-玉)，

2xi-x2

r21

即為y----——(A,,4-X2)(X-X1),

可化為y=g(Xi+電)工+；,

可得回恒過定點(diǎn)(0-)；

2

(2)設(shè)直線他的方程為y=fcc+g,

由(1)可得%+工2=2攵，百9二一1,

AS中點(diǎn)H(A]+1),

由H為切點(diǎn)可得E到直線AB的距離即為|E"|,

=次+(%2_2)2,

解得％=0或2=±1,

即有直線AB的方程為y=g或y=±x+；,

由y=g可得|AB|=2,四邊形AD3E的面積為之昭+5乂叨=3*2、(1+2)=3；

由),=±x+g,可得|AB|=>ATT>/^=4衣，

此時(shí)碼,等到直線鉆的距離為

|1--|

￡(0,|)到直線AB的距離為々2-=&,

則四邊形ADBE的面積為SMRK+鼠板,=；x4五x(夜+0)=8；

綜上可得四邊形ADBE的面積為3或8.

11.(2019?新課標(biāo)I)已知拋物線C:丁=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為|的直線/與C的交點(diǎn)為A,

B,與x軸的交點(diǎn)為P.

(1)若|AF|+|8F|=4,求/的方程;

(2)若4P=3PB,求|48|.

【解答】解：(1)設(shè)直線/的方程為y=3(x-f),將其代入拋物線V=3x得:

999

設(shè)4

X電%

9

M

2-4

%+◎

93-

4-

437

由拋物線的定義可得：|AF|+|B/n=%+x,+p=2f+-+±=4,解得r=一，

3212

直線/的方程為＞=3尤-？.

28

(2)若AP=3尸8,則y=—3乂，^(XI-/)=-3X1(A2-Z),化簡(jiǎn)得芯=-3々+今，③

由①②③解得f=l,Xj=3,Xj=-,

3

--1AB1==孚-

12.(2019?上海)已知拋物線方程V