基本支撐體系數(shù)學(xué)資料競(jìng)賽指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽與課外活動(dòng)指導(dǎo)名題名師獲獎(jiǎng)

第一章

數(shù)學(xué)真理的起源

極度幸福的靈魂，是為誰(shuí)而激發(fā)！為了這些真理，去度量閃爍的星空！他們用思想的韁繩，馴服了桀傲的天體。過(guò)去撲朔迷離的天空，現(xiàn)在變得清清楚楚?！獖W維德任何值得一提的文明都探索過(guò)真理。思索的人們盡管不能，但總是試圖去理解復(fù)雜多變的自然現(xiàn)象，去解開(kāi)人類如何定居在這個(gè)地球上的謎題，去弄明白人生的目的，去探索人類的歸宿。在所有早期文明中，這些問(wèn)題的回答都是宗教領(lǐng)袖給出的，并為人們所普遍接受。只有古希臘文明是個(gè)例外。希臘人發(fā)現(xiàn)（人類所作出的最偉大的發(fā)現(xiàn)）了推理的作用。正是古典時(shí)期（公元前600年至前300年間的鼎盛時(shí)期）的希臘人，認(rèn)識(shí)到人類有智慧、有思維（有時(shí)佐以觀察或?qū)嶒?yàn)），能夠發(fā)現(xiàn)真理。是什么導(dǎo)致希臘人作出這個(gè)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問(wèn)題不大好回答。把推理用于人類活動(dòng)和思維的始祖曾生活在愛(ài)奧尼亞——古希臘人在小亞細(xì)亞的一個(gè)定居處。許多歷史學(xué)家試圖依據(jù)政治和社會(huì)環(huán)境對(duì)此作出解釋，比如，愛(ài)奧尼亞人有更大的自主性去無(wú)視統(tǒng)治歐洲希臘文明的宗教信仰。但是，我們所知的在約公元前600年以前的希臘歷史過(guò)于零碎，無(wú)法作出明確的解釋。當(dāng)時(shí)希臘人把推理用于政治體系、倫理道德、法律、教育和其他許多方面。他們的主要的、決定性地影響了后代文明的貢獻(xiàn)是接受了對(duì)推理的最強(qiáng)有力的挑戰(zhàn)，知道了自然界有規(guī)律可言。在作出這個(gè)貢獻(xiàn)以前，希臘人和古代其他文明時(shí)期的人們認(rèn)為自然是混亂、反復(fù)無(wú)常，甚至是恐怖的。自然現(xiàn)象是無(wú)法解釋的，或者是神的意志決定的，只有用祈禱、祭祀和其他宗教儀式來(lái)解脫。其卓越的文明可追溯到公元前3000年的巴比倫人和埃及人，他們確實(shí)注意到了日月運(yùn)動(dòng)的周期現(xiàn)象，并據(jù)此設(shè)立了歷法，但卻沒(méi)有更深入地研究它們。這些極少的偶然的觀察沒(méi)有改變他們對(duì)自然的態(tài)度。希臘人敢于正視自然。他們的精神領(lǐng)袖（如果不是普通民眾）摒棄了傳統(tǒng)觀念、超自然力、迷信、教條和其他思想束縛。他們是最早檢驗(yàn)并試圖理解各種謎一般的復(fù)雜的自然活動(dòng)的人們。他們以思維與似乎瞬息萬(wàn)變的宇宙現(xiàn)象抗?fàn)?，將理性之光灑于其上。他們有著永不滿足的好奇心和勇氣，他們提出和回答了許多人遇到過(guò)、但卻極少人試圖解決，并且只能被具有最高智力水平的人所解決的問(wèn)題。整個(gè)宇宙的運(yùn)轉(zhuǎn)是有計(jì)劃的嗎？植物、動(dòng)物、人類、星系、光和聲，僅僅是物理現(xiàn)象還是一個(gè)完美設(shè)計(jì)的一部分？由于希臘人總夢(mèng)想著提出新見(jiàn)解，所以他們建立了后來(lái)統(tǒng)治整個(gè)西方思想中關(guān)于宇宙的概念。希臘的智者們對(duì)自然采取了一種全新的態(tài)度。這種態(tài)度是理性的、批判的和反宗教的。神學(xué)中上帝按其意愿創(chuàng)造了人和物質(zhì)世界的信仰被摒棄了。智者們終于得出了這樣的觀念：自然是有序的，按完美的設(shè)計(jì)而恒定地運(yùn)行著。從星體的運(yùn)動(dòng)到樹(shù)葉的顫動(dòng)，所有感官能感知的現(xiàn)象都能用一種精確、和諧而理智的形式來(lái)描述。簡(jiǎn)而言之，自然是按理性設(shè)計(jì)的，這種設(shè)計(jì)，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解。希臘人不僅是探索混雜現(xiàn)象的秩序和規(guī)則的勇敢的先驅(qū)，而且也是以才智發(fā)掘出自然現(xiàn)象顯而易見(jiàn)所遵循的基本模式的先驅(qū)。他們敢于詢問(wèn)并且發(fā)現(xiàn)了人類觀測(cè)到的最壯觀的景象的基本規(guī)律：朝升夕落的太陽(yáng)，陰晴圓缺的月亮，光彩奪目的行星，星漢燦爛的夜空，奇妙無(wú)比的日蝕、月蝕。正是公元前6世紀(jì)的愛(ài)奧尼亞哲學(xué)家首先嘗試尋求對(duì)大自然和宇宙運(yùn)行規(guī)律的合理解釋。這一時(shí)期的著名哲學(xué)家們，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克薩哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一個(gè)主旨去解釋宇宙的構(gòu)成。比如泰勒斯認(rèn)為萬(wàn)物都是由氣態(tài)、液態(tài)和固態(tài)的水組成的，他試圖用水的觀點(diǎn)解釋許多現(xiàn)象——這是一個(gè)不無(wú)道理的解釋。因?yàn)樵?、霧、露、雨和雹是水的不同形態(tài)，而水是生命不可缺乏的，它滋潤(rùn)莊稼，養(yǎng)育動(dòng)物?，F(xiàn)在我們知道甚至人體的90％是水。愛(ài)奧尼亞人的自然哲學(xué)是一系列的大膽的觀察，敏銳的猜測(cè)和天賦的直覺(jué)，而不是廣泛而細(xì)致的科學(xué)研究的成果。這些人也許有些過(guò)于急切看到世界的全貌，從而匆匆忙忙得到一些泛泛的結(jié)論。但他們的確拋棄了一些陳腐的神秘觀點(diǎn)，而代之以唯物主義的，對(duì)宇宙的設(shè)計(jì)和運(yùn)行的客觀解釋。他們以理性方法取代了幻想和非批判的觀點(diǎn)，用推理來(lái)論證自己的觀點(diǎn)成立。這些人敢于用思維來(lái)對(duì)待世界，拒絕依賴神靈、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也許能夠維護(hù)或毀滅自然現(xiàn)象的神秘力量?？梢杂冒⒛强怂_哥拉的話來(lái)表述這種理性觀點(diǎn)的精髓：“理性統(tǒng)治著世界?！鞭鸪逝?、神秘主義和對(duì)自然運(yùn)動(dòng)的雜亂無(wú)章的認(rèn)識(shí)，而代之以可理解的規(guī)律的決定性的一步是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。在這里，希臘人展示出一種可以與推理的作用的發(fā)現(xiàn)相媲美的、幾乎同樣富有想象力和獨(dú)創(chuàng)性的洞察力：宇宙是以數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的，借助于數(shù)學(xué)知識(shí)，人類可以充分地認(rèn)識(shí)它。最早提出自然界數(shù)學(xué)模式的是以畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）為領(lǐng)袖的座落于意大利南部的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。雖然他們從盛行的致力于靈魂的凈化和將它從肉體的污濁束縛中解脫出來(lái)的希臘宗教中汲收了靈感和信條，其自然哲學(xué)卻是完全理性的。畢達(dá)哥拉斯派震驚于這樣一個(gè)事實(shí)，即由定性地看各種各樣的現(xiàn)象都表現(xiàn)出相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可推知數(shù)學(xué)性質(zhì)必定為這些現(xiàn)象的本質(zhì)。更精確地，他們從數(shù)和數(shù)的關(guān)系方面發(fā)現(xiàn)了這種本質(zhì)。數(shù)學(xué)是他們解釋自然的第一要素，所有物體都是由物質(zhì)的基本微?；颉按嬖趩卧备鶕?jù)不同的幾何形狀組成的。單元的總量實(shí)際上代表了實(shí)在的物體，數(shù)學(xué)是宇宙的實(shí)體和形式。因而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“萬(wàn)物皆數(shù)也。”因?yàn)閿?shù)是萬(wàn)物之“本”，對(duì)自然現(xiàn)象的解釋只有通過(guò)數(shù)字才能得出。這種早期的畢達(dá)哥拉斯派思想是令人迷惑的。因?yàn)閷?duì)于我們來(lái)說(shuō)，數(shù)字是抽象概念，而事物是實(shí)際存在的。但我們已經(jīng)得到了一種數(shù)字的抽象，而早期的畢達(dá)哥拉斯派并未做到。在他們看來(lái)，數(shù)字是點(diǎn)或微粒。他們提到三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)時(shí)，想到的是點(diǎn)集、晶狀體或點(diǎn)狀物體。如圖—所示。

圖三角形數(shù)

圖正方形數(shù)

圖五邊形數(shù)

圖六邊形數(shù)雖然歷史片斷沒(méi)有提供精確的年代數(shù)據(jù)，這一點(diǎn)卻是無(wú)疑的，即畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)展并完善了自己的認(rèn)識(shí)。他們開(kāi)始把數(shù)字理解為抽象概念，而物體只不過(guò)是數(shù)字的具體化。有了這一后來(lái)的特性，我們可以明白菲洛羅斯(Philolaus)的論述：“如果沒(méi)有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或與別的事物的關(guān)系都不能為人所清楚了解……”你不僅可以在鬼禪的事務(wù)上，而且在人間的一切行動(dòng)和思想上乃至在一切行業(yè)和音樂(lè)上看到數(shù)的力量。例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之所以能把音樂(lè)歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，乃是因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)了下列兩個(gè)事實(shí)：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長(zhǎng)度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根長(zhǎng)的兩倍，就會(huì)產(chǎn)生諧音。換言之，兩個(gè)音相差八度。如兩弦長(zhǎng)為3比2，則發(fā)出另一諧音。這時(shí)短弦發(fā)出的音比長(zhǎng)弦發(fā)出的音高五度。確實(shí)，產(chǎn)生每一種諧音的多根弦的長(zhǎng)度都成整數(shù)比。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也搞出了一個(gè)著名的音階。我們雖然不打算講許多希臘時(shí)代的音樂(lè)，但要指出許多希臘數(shù)學(xué)家包括歐幾里得和托勒密，都寫(xiě)過(guò)這方面的著作，特別是關(guān)于諧音的配合，而且還制定過(guò)音階。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把行星運(yùn)動(dòng)歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系。他們認(rèn)為物體在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)出聲音，這也許是從繩端吊一東西擺動(dòng)時(shí)發(fā)出聲音這一方面引起的特例。他們還認(rèn)為運(yùn)動(dòng)得快的物體比運(yùn)動(dòng)得慢的物體發(fā)出更高的音。根據(jù)他們的關(guān)系，離地球越遠(yuǎn)的星，運(yùn)動(dòng)得越快，因此行星發(fā)出的聲音（我們因?yàn)閺某鍪乐掌鹁吐?tīng)?wèi)T了，所以覺(jué)察不出來(lái)）因其與地球的距離而異而成諧音。但因這“天籟之音”也像所有諧音一樣可以推為數(shù)的關(guān)系，所以行星運(yùn)動(dòng)也是這樣。自然界的其他形形色色特性也可“歸結(jié)”為數(shù)。1、2、3、4這四個(gè)數(shù)，叫四象，是特別受重視的。據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的誓詞即是：“謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長(zhǎng)流不息的自然的根源包含于其中?！彼麄冋J(rèn)為自然是由四元性組成的，點(diǎn)、線、面和立體。后來(lái)柏拉圖強(qiáng)調(diào)的則是四種物質(zhì)元素，土、氣、火、水。四象的四個(gè)數(shù)字之和為10，所以十是個(gè)理想數(shù)，其代表宇宙。為了填滿這個(gè)數(shù)字，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一側(cè)的反地球。我們看不到中心地球和反地球，因?yàn)槲覀兯幼〉哪遣糠值厍蚴潜吵鼈兊?。我們?cè)谶@里不打算詳細(xì)敘述細(xì)節(jié)，關(guān)鍵一點(diǎn)是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將天文學(xué)建筑在數(shù)的關(guān)系之上。由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將天文學(xué)和音樂(lè)“歸結(jié)”為數(shù)，這兩門學(xué)科就同算術(shù)和幾何發(fā)生了聯(lián)系。這四門學(xué)科都被人看成是數(shù)學(xué)學(xué)科，甚至一直到中世紀(jì)，仍被包括在學(xué)校課程中，當(dāng)時(shí)號(hào)稱“四大學(xué)科”。亞里士多德在《形而上學(xué)》一書(shū)中，總結(jié)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)數(shù)的現(xiàn)實(shí)世界的認(rèn)識(shí)：他們似乎察覺(jué)到了存在的以及將要形成的事物在數(shù)方面的共性，而不僅僅表現(xiàn)在火、土和水上（這樣或那樣數(shù)字的修正是合法的，另一種是精神和推理，再一種則是機(jī)會(huì)——同樣幾乎所有的其他事物都可用數(shù)字表達(dá)）；又因?yàn)橐綦A的修正和比例可用數(shù)字表示；還由于其他事物在本質(zhì)上都能用數(shù)字來(lái)模式化，數(shù)字似乎是整個(gè)自然界的先驅(qū)。他們認(rèn)為所有事物里都含有數(shù)的成分，整個(gè)太空就是一個(gè)音階或一個(gè)數(shù)字。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的自然哲學(xué)很難與實(shí)際相吻合。美學(xué)考慮和對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)系的窮追不舍相混合，當(dāng)然會(huì)導(dǎo)致超越實(shí)際觀察的論斷。畢派也未使物理科學(xué)的任一分支向前發(fā)展，可以公正地稱其理論為膚淺的。但或是憑運(yùn)氣或是憑天生的直覺(jué)，畢派的確言中了后來(lái)兩條證明是極為重要的信條：第一是自然界是按數(shù)學(xué)原理構(gòu)成的；第二是數(shù)學(xué)關(guān)系決定、統(tǒng)一并顯示了自然的秩序。實(shí)際上現(xiàn)代科學(xué)也堅(jiān)持畢派對(duì)數(shù)學(xué)的強(qiáng)調(diào)，雖然，正如我們將看到的，現(xiàn)代理論是畢派理論的更為高級(jí)的形式。畢派之后的哲學(xué)家更加關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)和基本的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)。留基伯(Leuccipus)和德謨克里特(Democritus)由于更加清晰地確定了原子論而聞名于世。他們的共同哲學(xué)觀點(diǎn)是：世界是由無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)單的、永恒的原子組成的。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個(gè)物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。雖然幾何上的量，如直線段，是無(wú)限可分的，原子卻是終極的，不可再分的質(zhì)點(diǎn)。形狀、大小等只是原子的特性，其他性質(zhì)如味、熱則非原子所固有而來(lái)自觀察者，所以感性認(rèn)識(shí)不可靠，因它隨觀察者而異。原子論者也和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一樣，認(rèn)為隱藏在自然界不斷變化著的萬(wàn)象之下的真實(shí)性是可用數(shù)字來(lái)表示的，而且認(rèn)為這個(gè)世界上所發(fā)生的一切是由數(shù)字規(guī)律嚴(yán)格確定了的。繼畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之后，傳播這種主張最有影響的，當(dāng)屬由柏拉圖領(lǐng)導(dǎo)的柏拉圖學(xué)派。柏拉圖接受了一些畢派思想，他控制了公元前4世紀(jì)這一重要時(shí)期希臘人的思想。他是雅典柏拉圖學(xué)園的創(chuàng)立者，這個(gè)學(xué)園是一個(gè)吸引了當(dāng)時(shí)一流思想家的中心，存在了九百年之久。也許在柏拉圖的對(duì)話《愛(ài)好者》中，其對(duì)于宇宙的合理性的信仰表現(xiàn)得最為出色。（普洛塔庫(kù)斯簡(jiǎn)稱普，蘇格拉底簡(jiǎn)稱蘇）普：什么問(wèn)題？蘇：他們所說(shuō)的宇宙是不可推理、雜亂無(wú)序的，抑或像我們前人所認(rèn)為的是由極高的才華和智慧所控制和有序化的。普：迷茫的蘇格拉底，這兩種論點(diǎn)截然相反，你剛才的話我認(rèn)為褻瀆了神明，但是一個(gè)觀點(diǎn)，即思維統(tǒng)治萬(wàn)物，卻是極富有價(jià)值的。我別無(wú)它求。后來(lái)畢派和柏拉圖學(xué)派在物質(zhì)世界和理想世界之間產(chǎn)生了尖銳的分歧。物質(zhì)世界的事物及聯(lián)系是不完美、變化和衰落的，因而不能代表終極真理。但有一個(gè)絕對(duì)而不變的真理的理想世界，這些真理正是哲學(xué)家們所關(guān)注的。對(duì)于物質(zhì)世界我們只可能有觀點(diǎn)，可見(jiàn)、可感知的世界只是理想世界的一個(gè)模糊迷離、不完美的拷貝?！笆挛锸撬枷朐诮?jīng)驗(yàn)屏幕上的投影?！庇捎诂F(xiàn)實(shí)可在感覺(jué)和實(shí)物中找到，因而柏拉圖認(rèn)為一匹馬、一間屋或者一個(gè)完美的女子并不真的存在?，F(xiàn)實(shí)只存在于馬、房屋、女子的廣為接受的形式或觀念之中。永恒的知識(shí)只能從純粹理想的形式中獲得，這些思想實(shí)際上是永恒不變的。關(guān)于它們的知識(shí)是穩(wěn)固而堅(jiān)不可摧的。柏拉圖堅(jiān)持認(rèn)為只有從理想世界的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)在性和可知性，無(wú)疑這個(gè)世界是數(shù)學(xué)化的。普魯塔克（Plutarch）道出了柏拉圖的名言：“上帝終究要將世界幾何化?！痹凇豆埠蛧?guó)》一書(shū)中，柏拉圖認(rèn)為“幾何學(xué)所要求的知識(shí)是永恒的，而不是轉(zhuǎn)瞬即逝或反復(fù)無(wú)常的?！睌?shù)學(xué)定律不僅是現(xiàn)實(shí)的本質(zhì)，而且永恒不變。數(shù)字關(guān)系也是現(xiàn)實(shí)的一部分，實(shí)際事物不過(guò)是數(shù)字的模擬體。早期畢派認(rèn)為數(shù)字是事物內(nèi)在固有的，而柏拉圖認(rèn)為數(shù)字超越了事物。柏拉圖比畢派前進(jìn)了一步，他不僅希望用數(shù)學(xué)來(lái)理解自然界，而且要用數(shù)學(xué)來(lái)取代自然界本身。他相信，對(duì)物質(zhì)世界僅用少量決定性的幾步推理，即能得到基本的真理。按此觀點(diǎn)將只有數(shù)學(xué)存在，數(shù)學(xué)將取代物理研究。普魯塔克在他的《馬塞魯斯的生平》一書(shū)中提及歐多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)（柏拉圖同時(shí)代的名人）運(yùn)用實(shí)際論據(jù)來(lái)“證明”數(shù)學(xué)結(jié)果。但柏拉圖義憤地貶斥這種證明為幾何學(xué)的墮落；指責(zé)他們利用感性知識(shí)來(lái)取代純粹的推理。柏拉圖對(duì)于天文學(xué)的觀點(diǎn)顯示了他正在探索這門科學(xué)的立場(chǎng)。他認(rèn)為，這門學(xué)科研究的不是可見(jiàn)的天體的運(yùn)動(dòng)。天空中星體的排列和明顯可見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)的確奇妙美麗，但僅有對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀察和解釋遠(yuǎn)稱不上真正的天文學(xué)。在接觸這門真正的科學(xué)之前，我們必須拋開(kāi)“天體”，因?yàn)檎嬲奶煳膶W(xué)探求的是數(shù)學(xué)化宇宙中星體的運(yùn)動(dòng)定律，而可見(jiàn)的天體只是其不完美的表現(xiàn)形式。他鼓動(dòng)人們獻(xiàn)身于理論天文學(xué)，因?yàn)槠鋯?wèn)題取悅于人的心智而不是視覺(jué)，其對(duì)象由人的心智就能感受到而不是憑眼睛所看見(jiàn)。天空中呈現(xiàn)出的各種圖形只可用作探索更深層真理的輔助圖表。我們必須把天文學(xué)看成幾何學(xué)一樣，僅僅是由可見(jiàn)事物揭示的一系列問(wèn)題。柏拉圖對(duì)航海、歷法和計(jì)時(shí)中的天文學(xué)的使用并不感興趣。亞里士多德雖然是柏拉圖的學(xué)生并從老師那兒繼承了許多思想，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界以及數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系的探究卻有著不同的看法。他批評(píng)柏拉圖的冥世思想以及把科學(xué)歸結(jié)為數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)。亞里士多德是個(gè)物理學(xué)家，他相信物質(zhì)的東西是實(shí)在的主體的源泉。物理學(xué)乃至一般的科學(xué)必須研究現(xiàn)實(shí)世界并從中獲取真理。真正的知識(shí)是從感性的經(jīng)驗(yàn)通過(guò)直觀和抽象而獲得的，這種抽象不能獨(dú)立于人的思維而存在。亞里士多德的確強(qiáng)調(diào)從實(shí)物中抽象出的普適的一般的性質(zhì)。為了獲得這些性質(zhì)，他認(rèn)為我們應(yīng)“從可知和可觀察的事物出發(fā)，向著本質(zhì)上可為人們認(rèn)識(shí)的逐漸清晰的事物前進(jìn)?！彼槿∥矬w的明顯的感性特征，使之具體化并上升為獨(dú)立的精神上的概念。在亞里士多德關(guān)于事物的分類方案中，把數(shù)字?jǐn)[在什么地位呢？物理科學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)，數(shù)學(xué)則從描述形式上的特征（如形狀和數(shù)量）這方面來(lái)幫助研究。它也為物質(zhì)現(xiàn)象中觀察到的事實(shí)提供解釋。例如幾何說(shuō)明光學(xué)和天文學(xué)提供的事實(shí)，算術(shù)上的比例關(guān)系能說(shuō)明產(chǎn)生諧音的理由。但數(shù)學(xué)概念和原理肯定是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來(lái)的，正因?yàn)槿绱?，它們也可用于現(xiàn)實(shí)世界。思維使我們可以從感性認(rèn)識(shí)獲得實(shí)物的理想化特征，這種抽象必然是真實(shí)的。對(duì)于鑄造和構(gòu)成了希臘思維世界的哲學(xué)家的短暫回顧也許有助于說(shuō)明為什么他們?yōu)榱肆私?、欣賞更深層次的內(nèi)涵，都重視對(duì)實(shí)質(zhì)的探討。而且，從畢達(dá)哥拉斯開(kāi)始，所有哲學(xué)家都認(rèn)為世界是依照數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的。在這個(gè)經(jīng)典時(shí)期末期，上述觀點(diǎn)已經(jīng)確立，并且開(kāi)始了對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探求。雖然這個(gè)觀點(diǎn)并未影響后世所有的數(shù)學(xué)家，但一旦為人接受，它就作用于大多數(shù)偉大數(shù)學(xué)家的思維，甚至影響了那些尚未接觸過(guò)它的人。希臘人這一重要思想的最大勝利是他們認(rèn)為宇宙是按可為人類思維所能發(fā)掘的數(shù)學(xué)規(guī)律運(yùn)行的。于是希臘人決定尋求真理，特別是關(guān)于自然的數(shù)學(xué)化設(shè)計(jì)的真理。人們?cè)鯓訉で笳胬聿⒆C明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。這個(gè)方案在從公元前600年到公元前300年這段時(shí)期逐漸發(fā)展，它是何時(shí)由何人最先提出尚無(wú)定論，但到公元前300年，它已經(jīng)相當(dāng)完善了。從廣義的、使用數(shù)字和幾何圖形這方面來(lái)看，數(shù)學(xué)早于古典時(shí)期希臘人的研究幾千年就開(kāi)始形成了。廣義來(lái)講數(shù)學(xué)包括了許多已經(jīng)消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比倫文明）的貢獻(xiàn)。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學(xué)并不是一個(gè)獨(dú)立體系，它沒(méi)有形成一套方法，僅為了直接而實(shí)用的目的被研究。它是一種工具，是一系列相互無(wú)關(guān)的、簡(jiǎn)單的、幫助人們解決日常問(wèn)題的規(guī)則，如推算日歷、農(nóng)業(yè)和商業(yè)往來(lái)。這些規(guī)則是由試探、錯(cuò)誤、經(jīng)驗(yàn)和簡(jiǎn)單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。這些文明中的數(shù)學(xué)的最優(yōu)之處在于，它顯示了思維的某些活力和堅(jiān)韌，盡管不嚴(yán)格，成就也遠(yuǎn)非輝煌。這類數(shù)學(xué)的特點(diǎn)可用經(jīng)驗(yàn)主義一言蔽之。巴比倫人和埃及人的經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)為希臘人的研究工作揭開(kāi)序幕。雖然希臘文明沒(méi)有完全脫離外界影響——希臘思想家們?cè)诎＜昂桶捅葌愑螝v學(xué)習(xí)——盡管現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)必須經(jīng)受希臘的理性氛圍的熏陶，希臘人的創(chuàng)造與他們所吸收的知識(shí)卻有天壤之別。希臘人已決心探索數(shù)學(xué)真理，他們不能把工作建筑在前人（有名的埃及人和巴比倫人）粗糙的、經(jīng)驗(yàn)主義的、有限的、零散的，在很多情況下是不精確的成果之上。數(shù)學(xué)原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實(shí)，必然是一個(gè)真理體系。數(shù)學(xué)推理旨在推導(dǎo)出關(guān)于自然現(xiàn)象，如天體運(yùn)動(dòng)的真理，必然得出不容置疑的結(jié)論。怎樣達(dá)到這些目的？數(shù)學(xué)的本原應(yīng)是處理抽象對(duì)象。對(duì)于創(chuàng)造了希臘數(shù)學(xué)的哲學(xué)家來(lái)說(shuō)，嚴(yán)格的真理只適用于永恒不變的實(shí)體以及關(guān)系。幸運(yùn)的是，人類由對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)得到的認(rèn)識(shí)可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實(shí)和思想的真實(shí)載體。青睞抽象還有一個(gè)原因，欲使數(shù)學(xué)更強(qiáng)有力，就必須在一個(gè)抽象概念中包涵它所表示實(shí)物的本質(zhì)特征。從而數(shù)學(xué)上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊界和光線的路徑。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)上的直線沒(méi)有粗細(xì)、顏色、分子結(jié)構(gòu)和繃緊度之分。希臘人明確地指出數(shù)學(xué)是處理抽象事物的。柏拉圖在《共和國(guó)》中提及幾何學(xué)家：你是否也知道，他們雖利用可見(jiàn)的形象并拿來(lái)進(jìn)行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫(huà)的圖形，而是絕對(duì)正方形及絕對(duì)直徑……。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。因而數(shù)學(xué)首先處理點(diǎn)、線和整數(shù)等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來(lái)定義，而基本概念正如亞里士多德所說(shuō)應(yīng)該是不可定義的，否則就沒(méi)有起始點(diǎn)。希臘人的精明之處表現(xiàn)在，他們要求被定義的概念應(yīng)有現(xiàn)實(shí)的對(duì)應(yīng)物體，或是論證得到或是構(gòu)造得到。因而人們無(wú)法定義三等分角并證明有關(guān)它的定理，它可能并不存在。實(shí)際上，由于希臘人無(wú)法在他們自己提出的作圖條件下三等分角，他們就沒(méi)有引入這個(gè)概念。為了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念，希臘人從自明的、無(wú)人懷疑的公理入手。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。正如我們前面提到過(guò)的，他認(rèn)為存在一個(gè)真理的客觀世界。人在出世前有過(guò)精神世界的經(jīng)歷，只要激發(fā)一下就可以回憶起以前的經(jīng)歷從而認(rèn)識(shí)到幾何學(xué)公理是真理，這并不需要實(shí)踐。但亞里士多德并不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為公理是可理解的原理，符合思維而沒(méi)有什么可懷疑的。亞里士多德在《后驗(yàn)分析》中指出，我們憑著絕對(duì)可靠的直覺(jué)認(rèn)識(shí)到公理是真理，而且，我們必須以這些公理作為推導(dǎo)的基礎(chǔ)。相反，如果使用了一些并未證明是真理的事實(shí)，下一步推理就需要證明這些事實(shí)，而這一過(guò)程是無(wú)限循環(huán)的，那么這就變成了永無(wú)止境的回退。他又區(qū)分了公理和公設(shè)，公理對(duì)所有思想領(lǐng)域皆真，包括“等量加等量還是等量”這樣的命題。公設(shè)則適用于專業(yè)學(xué)科，如幾何學(xué)。從而有，“兩點(diǎn)決定一條唯一的直線”。亞里士多德也的確指出公設(shè)無(wú)需一望便知其為真，但應(yīng)被其所推出的結(jié)果所支持。然而這種不證自得的真理是數(shù)學(xué)家所需要的。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。有多種推理方法，比如，歸納、類比和演繹，其中只有一種能夠證明結(jié)論的正確性。由一千只蘋(píng)果都是紅的而得出蘋(píng)果都是紅的這個(gè)結(jié)論，是歸納，不一定可靠。類似的，由于約翰的兄弟已從大學(xué)畢業(yè)，而約翰受教于同樣的老師，所以也應(yīng)該能從大學(xué)畢業(yè)，這是由類比推出的推理，當(dāng)然也是不可靠的。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會(huì)死這樣的結(jié)論。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個(gè)命題不可能既真又假）及排中律（一個(gè)命題必須為真或假）。他和世人都毫無(wú)疑問(wèn)地承認(rèn)這些推理原理用于任一前提時(shí)，推導(dǎo)出的結(jié)果和前提一樣可靠。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。值得一提的是，后面我們將要討論的，亞里士多德從已為數(shù)學(xué)家所應(yīng)用的推理方法中抽象出了演繹邏輯法。雖然幾乎所有希臘哲學(xué)家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點(diǎn)卻有些不同。他雖然不否定演繹證明，卻認(rèn)為沒(méi)必要。因?yàn)閿?shù)學(xué)公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認(rèn)他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在《西艾泰德斯》一書(shū)中的比喻來(lái)說(shuō)，定理，就像關(guān)在鳥(niǎo)籠中的鳥(niǎo)。它們呆在那里，你只須伸手進(jìn)去抓住它們。學(xué)習(xí)就是一個(gè)收集的過(guò)程。在柏拉圖的對(duì)話《梅農(nóng)》里，通過(guò)巧妙地詢問(wèn)一個(gè)年輕奴隸，蘇格拉底證實(shí)了同底等高的正方形面積是等腰三角形面積的兩倍。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒(méi)有受過(guò)幾何學(xué)訓(xùn)練的奴隸也可以在適當(dāng)?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?lái)。認(rèn)識(shí)到人們是多么堅(jiān)定相信演繹推理是很重要的。假設(shè)一位科學(xué)家在不同地區(qū)測(cè)量了一百個(gè)形狀大小不同的三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和在實(shí)驗(yàn)精度允許范圍內(nèi)都是180°，他當(dāng)然可以下結(jié)論，任何三角形的內(nèi)角和都是180°。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學(xué)上不會(huì)被認(rèn)可。同樣，只要你高興，你可以檢驗(yàn)任意多的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和，但這種檢驗(yàn)也不是演繹證明，因而結(jié)果也不是數(shù)學(xué)定理。那么看來(lái)，演繹證明是一種很嚴(yán)格的要求。但是，希臘的數(shù)學(xué)家們，他們（主要是哲學(xué)家）堅(jiān)持一定要用演繹推理，因?yàn)檫@樣可以得到真理，永恒的真理。哲學(xué)家們偏愛(ài)演繹推理還有一個(gè)原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識(shí)。為了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有為而生之，從可接受的基本原理進(jìn)行演繹推理要比用歸納或類比，更加可行。古希臘人喜愛(ài)演繹法的另一個(gè)原因應(yīng)歸結(jié)于他們的社會(huì)構(gòu)成。富有階層進(jìn)行哲學(xué)、數(shù)學(xué)和藝術(shù)活動(dòng)，這些人不干體力勞動(dòng)。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務(wù)勞動(dòng)，甚至從事最重要的職業(yè)。受過(guò)教育的自由人不動(dòng)手，很少進(jìn)行商貿(mào)活動(dòng)。柏拉圖認(rèn)為商貿(mào)活動(dòng)，對(duì)于自由人來(lái)說(shuō)是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。亞里士多德認(rèn)為在理想條件下公民（與奴隸相對(duì)）不應(yīng)從事任何商業(yè)。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個(gè)部落）中，用商務(wù)來(lái)褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔(dān)任公職。對(duì)于這種階層里的思想家，是不用實(shí)驗(yàn)和觀察的，因此也無(wú)法從中獲得科學(xué)或數(shù)學(xué)結(jié)論。雖然希臘人堅(jiān)持運(yùn)用演繹推理的原因很多，但還有一個(gè)問(wèn)題，即：是哪個(gè)哲學(xué)家或哲學(xué)派別首先提出這個(gè)要求的。遺憾的是，我們對(duì)于蘇格拉底時(shí)代以前的哲學(xué)家們的學(xué)說(shuō)和著作的認(rèn)識(shí)是零碎的，盡管眾說(shuō)紛紜，卻無(wú)定論。到了亞里士多德時(shí)代，對(duì)演繹推理的要求已經(jīng)確定，因?yàn)樗U明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。希臘人欲得到宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律，他們?cè)谶@方面成就如何呢？由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的精華有幸傳給了我們。在時(shí)間上他們屬于希臘文化的第二個(gè)重要時(shí)期，亞歷山大里亞時(shí)期（公元前300年—公元600年）。在公元前4世紀(jì)，馬其頓的菲利浦王著手征服波斯人，后者控制了近東，是歐洲希臘人的世敵。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。亞歷山大擊敗了波斯人，把擴(kuò)大的希臘帝國(guó)的文化中心遷到了一個(gè)他謙虛地以自己名字命名的新城市。亞歷山大死于公元前323年，但他發(fā)展新中心的計(jì)劃由其在埃及接受了托勒密王號(hào)的后繼者繼續(xù)?？梢钥隙W幾里得約于公元前300年生活在亞歷山大里亞，在那里教育學(xué)生，雖然他自己也許是在柏拉圖學(xué)院完成了學(xué)業(yè)。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個(gè)人生活的全部。歐幾里得著作具有系統(tǒng)、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發(fā)現(xiàn)的匯合，他們的主要著作《幾何原本》給出了空間和空間中圖形的規(guī)律。歐幾里得的《原本》是他對(duì)空間幾何的全部貢獻(xiàn)。歐幾里得從一本已失傳的書(shū)中接收了圓錐曲線的理論，在亞歷山大里亞學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小亞細(xì)亞拍加人阿波羅紐斯，繼續(xù)其關(guān)于拋物線、橢圓和雙曲線的研究，并寫(xiě)出了這方面的經(jīng)典著作《圓錐曲線》。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對(duì)純幾何學(xué)知識(shí)增添了幾本著作《論球和圓柱》，論《劈錐曲面體與球體》，《拋物線的求積》。他都是用歐多克斯（Eudoxus）提出的方法來(lái)計(jì)算復(fù)雜的面積和體積，后來(lái)被稱作窮竭法?，F(xiàn)在這些問(wèn)題可用微積分來(lái)解決。希臘人對(duì)空間和空間圖形的研究，作出了一個(gè)重要貢獻(xiàn)——三角學(xué)。這一學(xué)科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前125年。三角學(xué)由梅內(nèi)勞斯（Mene－laus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的描述。他的主要著作《數(shù)學(xué)匯編》，阿拉伯人稱之為《大匯編》，知名度更廣。三角學(xué)研究三角形邊、角的量化關(guān)系。希臘人主要關(guān)注球面上的三角形，其邊是由大圓（圓心在球心）弧組成的。因?yàn)樵谙ＥD天文學(xué)中，行星和恒星沿大圓運(yùn)行，所以他們的三角學(xué)，主要應(yīng)用于行星和恒星的運(yùn)動(dòng)。同一理論加以改變，又可用于平面上的三角形，這正是我們現(xiàn)在學(xué)校里所學(xué)的那種三角學(xué)形式。三角學(xué)的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識(shí)。希臘人怎樣在這些領(lǐng)域內(nèi)工作的，我們將在后面討論（見(jiàn)第五章）。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)從模糊的、經(jīng)驗(yàn)的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。然而，歐幾里得、阿波羅紐斯和阿基米得的經(jīng)典著作（托勒密的《大匯編》是個(gè)例外）所涉及到的空間及空間圖形的性質(zhì)卻囿于視野之內(nèi)，對(duì)其中所蘊(yùn)含的更廣泛意義卻少有提示。這些著作似乎和揭示自然的真理無(wú)關(guān)，實(shí)際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學(xué)。在這方面，希臘數(shù)學(xué)課本與現(xiàn)代數(shù)學(xué)課本和文獻(xiàn)沒(méi)有什么兩樣。這些書(shū)的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數(shù)學(xué)成果，而省略了這些工作的動(dòng)機(jī)，定理的來(lái)源和提示及其應(yīng)用。因而許多研究古希臘科學(xué)的人都認(rèn)為，古希臘這一時(shí)期的數(shù)學(xué)家主要是為了數(shù)學(xué)本身而探索數(shù)學(xué)，他們指出并證實(shí)了這個(gè)論斷，并提及歐幾里得的《原本》及阿波羅紐斯的《圓錐曲線》這兩部當(dāng)時(shí)最著名的著作。然而，就像僅憑二項(xiàng)展開(kāi)式定理就得出牛頓是一個(gè)純粹數(shù)學(xué)家的結(jié)論，他們僅憑這兩部著作就得了這個(gè)論斷，視野未必過(guò)于狹窄。真正的目的是探索自然。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學(xué)的真理也是非常重要的。很清楚，對(duì)于希臘人，幾何學(xué)原理是宇宙的整體結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，空間是其中的基本組成部分。因而關(guān)于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學(xué)實(shí)際上是一門更大的宇宙科學(xué)的一部分。比如，當(dāng)天文學(xué)數(shù)學(xué)化時(shí)（在柏拉圖時(shí)代出現(xiàn)），球體上的幾何學(xué)研究就著手進(jìn)行了。實(shí)際上，希臘語(yǔ)中的球一詞，對(duì)畢達(dá)哥拉斯派的人來(lái)說(shuō)，就意味著天文學(xué)。歐幾里得的《現(xiàn)象》就是專門討論用于天文學(xué)的球面幾何學(xué)的。有了這些證據(jù)和對(duì)更近代的數(shù)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r更充分的了解，我們也許可以肯定這一點(diǎn)，即科學(xué)探討必然會(huì)引起數(shù)學(xué)問(wèn)題，而數(shù)學(xué)是探索自然的一部分。我們不必專門去研究這些，只須檢驗(yàn)希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰(shuí)。物理科學(xué)中最偉大的成就是在天文學(xué)上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學(xué)觀測(cè)，但卻強(qiáng)調(diào)說(shuō)他們沒(méi)有建立或統(tǒng)一理論，沒(méi)有對(duì)看上去無(wú)規(guī)律的行星運(yùn)動(dòng)作出解釋。歐多克斯（柏拉圖學(xué)園里的一名學(xué)生，其純粹幾何學(xué)工作包括在歐幾里得《原本》的第五篇和第十二篇中）著手解決“整理外觀”的問(wèn)題。他的解答是歷史上第一個(gè)相當(dāng)完備的天文學(xué)理論。我們描述歐多克斯的理論，只是為了表明它是完全徹底的數(shù)學(xué)化理論，并且涉及到天體的相互作用。這些球體，除了那個(gè)固定的恒星外，都不是物質(zhì)實(shí)體，而是數(shù)學(xué)的構(gòu)想。他也不想嘗試去描述引起球體轉(zhuǎn)動(dòng)的力，他的理論在思想上是極先進(jìn)的，因?yàn)樵诮裉欤茖W(xué)的目的就是為了尋求數(shù)學(xué)描述而不是物理解釋。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學(xué)家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的《大匯編》一書(shū)里。阿波羅紐斯關(guān)于天文學(xué)的著作現(xiàn)已失傳。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的《大匯編》（第十二篇）中廣為引用。他作為一個(gè)天文學(xué)家是如此著名以致獲得了艾普西?。ㄏＥD字母ε的讀音）的雅號(hào)，因?yàn)樗麑?duì)月球運(yùn)動(dòng)做了許多研究工作，而ε是月球的記號(hào)。關(guān)于喜帕恰斯的工作我們只知道一點(diǎn)，他的工作也同樣地被《大匯編》引用。現(xiàn)在我們所承認(rèn)的托勒密天文學(xué)的基本方案在歐多克斯和阿波羅紐斯時(shí)代的希臘天文學(xué)就已形成。在這種方案中，行星P以S為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而S本身以地球E為中心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。S運(yùn)動(dòng)的圓叫從圓，P運(yùn)動(dòng)的圓叫周轉(zhuǎn)圓。對(duì)某些行星來(lái)說(shuō)，點(diǎn)S就是太陽(yáng)，但在其他情形下則只不過(guò)是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個(gè)點(diǎn)。P與S的運(yùn)動(dòng)方向可能相符，可能相反，太陽(yáng)和月球的情況就屬于后一種。托勒密也將這套方案加以變化來(lái)描述某些行星運(yùn)動(dòng)。通過(guò)適當(dāng)選取周轉(zhuǎn)圓和從圓的半徑以及天體在周轉(zhuǎn)圓上的和周轉(zhuǎn)圓心在從圓上的運(yùn)動(dòng)速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運(yùn)動(dòng)與那時(shí)的觀測(cè)結(jié)果十分吻合。從喜帕恰斯時(shí)代起，人們就能預(yù)報(bào)月蝕，誤差不超過(guò)一兩小時(shí)，但對(duì)日蝕的預(yù)報(bào)卻不那么準(zhǔn)。這種預(yù)報(bào)之所以可能，是托勒密運(yùn)用了他稱之為專門為天文學(xué)而發(fā)明的三角學(xué)。

圖從探求真理的觀點(diǎn)來(lái)看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認(rèn)識(shí)到他的理論只是符合觀測(cè)結(jié)果的方便的數(shù)學(xué)化描述，而不一定是自然的真正設(shè)計(jì)。對(duì)于某些行星，他有幾種可供選擇的方案，他選擇了數(shù)學(xué)上較簡(jiǎn)單的那個(gè)。托勒密在他的著作《大匯編》的第十三篇中說(shuō)，在天文學(xué)上，人們應(yīng)尋求盡可能簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。但托勒密的數(shù)學(xué)模型，被基督教接受為真理。托勒密的理論提供了第一個(gè)相當(dāng)完整的證據(jù)，說(shuō)明自然是一致的而且具有不變的規(guī)律，而且也是希臘人對(duì)柏拉圖提出的合理解釋表觀天體運(yùn)動(dòng)這一問(wèn)題的最后解答。在整個(gè)希臘時(shí)期沒(méi)有任何一部著作能像《大匯編》那樣對(duì)宇宙的看法有如此深遠(yuǎn)的影響，并且除了歐幾里得的《原本》以外，沒(méi)有任何別的著作能獲得這樣毋庸置疑的威信。對(duì)希臘天文學(xué)的這一簡(jiǎn)短敘述，自然不足以顯示即令只是在這里所提到的幾位希臘學(xué)者工作的深度和廣度，并且還略去了其他許多貢獻(xiàn)。希臘天文學(xué)博大精深，并且應(yīng)用了大量數(shù)學(xué)，而且，幾乎每一位希臘數(shù)學(xué)家，包括大師歐幾里得和阿基米得，都研究過(guò)天文學(xué)。希臘人關(guān)于實(shí)在的真理的成果并不局限于空間和天文學(xué)的數(shù)學(xué)，他們還創(chuàng)建了力學(xué)。力學(xué)研究可作為質(zhì)點(diǎn)處理的物體及經(jīng)過(guò)外延后的物體的運(yùn)動(dòng)，還有引起運(yùn)動(dòng)的力。在《物理學(xué)》一書(shū)中，亞里士多德把標(biāo)志希臘力學(xué)頂峰的運(yùn)動(dòng)定理歸納到一起。和他的所有物理學(xué)一樣，他的力學(xué)也是建立在一些理性的，似乎是自明的原理之上，與觀測(cè)結(jié)果完全吻合。雖然這一理論支配世界幾近兩千年，但我們不打算重述，因其為牛頓力學(xué)取而代之。關(guān)于亞里士多德運(yùn)動(dòng)理論值得一提的是阿基米得關(guān)于物體重心的工作和杠桿定律。所有這些，都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的重要作用，從而更加證實(shí)了數(shù)學(xué)是洞察自然設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。繼天文學(xué)和力學(xué)之后，光學(xué)成為人們最經(jīng)久探索的學(xué)科。這門數(shù)學(xué)學(xué)科也是希臘人創(chuàng)建的。從畢達(dá)哥拉斯派開(kāi)始，幾乎所有的希臘哲學(xué)家都致力于光、像和色的性質(zhì)的探索。我們關(guān)心的卻是這些方面的數(shù)學(xué)成就。第一項(xiàng)成就是西西里島阿格里真坦的伊姆班道克斯(EmpedoclesofAgrigentum)先驗(yàn)地提出的光以有限速度行進(jìn)的說(shuō)法。光學(xué)的第一批系統(tǒng)性著作是歐幾里得的《光學(xué)》和《鏡面反射》?！豆鈱W(xué)》研究視像問(wèn)題以及怎樣從視像確定物體的大小?！剁R面反射》描述從平面鏡、凸透鏡和凹透鏡反射出來(lái)的光的習(xí)性以及它對(duì)我們視覺(jué)的影響。這書(shū)也像《光學(xué)》一樣，是從實(shí)際上就是公設(shè)的一些定義出發(fā)的。定理1（現(xiàn)代教科書(shū)上是一條公理）稱為反射定律，是幾何光學(xué)的一條基本定理。這定理說(shuō)從A點(diǎn)出發(fā)的入射光線與鏡面所成角A等于反射光線與鏡面所成角B（見(jiàn)圖）。歐幾里得還證明了光線照射在凸透鏡或凹透鏡面上的規(guī)律（見(jiàn)圖）。在切點(diǎn)處，他以切線來(lái)代替鏡面。這兩本書(shū)在內(nèi)容及編排上都是用數(shù)學(xué)來(lái)處理的，像歐幾里得的《原本》一樣，定義、公理和定理貫穿始終。從反射律出發(fā)，數(shù)學(xué)家和工程師海倫（Heron）推出一個(gè)重要結(jié)論。如果P和Q是圖中直線ST同側(cè)的任意兩點(diǎn)，則從點(diǎn)P到直線再到點(diǎn)

Q的一切路徑中，以通過(guò)直線上點(diǎn)

R使線段

PR和QR與直線的夾角相等的那條路徑為最短，而這恰好就是光線所經(jīng)過(guò)的路徑。所以，光線從P出發(fā)經(jīng)過(guò)鏡面再到Q是采取最短路程的。很明顯，自然界是很了解幾何且運(yùn)用自如的。這個(gè)命題出現(xiàn)在海倫的《鏡面反射》一書(shū)中，那也是講述凹透鏡、凸透鏡和反射鏡的組合的。

圖

圖有不少著作是論述光線在各種形狀鏡面上的反射的，其中有阿基米得所著而現(xiàn)已失傳的《鏡面反射》以及迪奧克斯和阿波羅紐斯