彈性力學(xué)第四章平面問題的極坐標(biāo)解答

彈性力學(xué)第四章平面問題的極坐標(biāo)解答第1頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量xyo由徑向線和圓弧線圍成的圓形，扇形等彈性體，適合用極坐標(biāo)求解。與直角坐標(biāo)的區(qū)別：坐標(biāo)的量綱不同。坐標(biāo)的方向不同。與直角坐標(biāo)的相同處：應(yīng)力與體力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相同。切應(yīng)力互等。第2頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的平衡方程（1）xyo第3頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的平衡方程（2）xyo第4頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程（1）

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假定只有徑向位移第5頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程（2）

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假定只有環(huán)向位移第6頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程（3）

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純徑向位移下的線應(yīng)變很小，導(dǎo)致P’C與P’B’的差別可以忽略，因此：第7頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一xyoPAP’A’BB’C極坐標(biāo)中的幾何方程（4）

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純徑向位移下的切應(yīng)變?cè)趦H有徑向位移的情況下，段PA沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，因此：第8頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程（5）

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純環(huán)向位移下的線應(yīng)變DD’很小，導(dǎo)致P’’A’’與PA的差別可以忽略，因此：第9頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一B’’P’’A’’xyoPAB極坐標(biāo)中的幾何方程（6）

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純環(huán)向位移下的切應(yīng)變DD’第10頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的幾何方程（7）將純環(huán)向與純徑向位移的結(jié)果相加得極坐標(biāo)中的幾何方程：第11頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的物理方程極坐標(biāo)中的物理方程與直角坐標(biāo)中的物理方程形式一樣，只需將直角坐標(biāo)x

和y換成和即可，如平面應(yīng)力問題的物理方程為：換為換為對(duì)于平面應(yīng)變問題：第12頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（1）為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，可以將直角坐標(biāo)的公式直接變換到極坐標(biāo)中來，為此，我們需要如下關(guān)系式：第13頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（2）建立直角坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系：第14頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（3）證明以上應(yīng)力分量滿足平衡方程。第15頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程（4）代入直角坐標(biāo)中的相容方程：將環(huán)向正應(yīng)力與徑向正應(yīng)力相加：得到極坐標(biāo)中的相容方程：注：當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問題需要滿足相容方程，應(yīng)力邊界條件以及位移單值條件。第16頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（1）應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA設(shè)A中斜邊上的面積為ds,則由A中徑向上的力平衡，得到：第17頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（2）應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA簡(jiǎn)化后得到：第18頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（3）應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA由A中環(huán)向上的力平衡，得到：第19頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（4）應(yīng)力分量在直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換需要建立兩者之間的關(guān)系。xyoBA由B中環(huán)向上的力平衡，得到：第20頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式（5）整理結(jié)果如下：第21頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（1）所謂軸對(duì)稱，是指物體的形狀或某物理量是繞一軸對(duì)稱的，凡通過對(duì)稱軸的任何面都是對(duì)稱面。因此，軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量只與徑向坐標(biāo)有關(guān)而與環(huán)向坐標(biāo)無關(guān)，而應(yīng)力函數(shù)只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)，即：簡(jiǎn)化相容方程：第22頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（2）軸對(duì)稱問題的拉普拉斯算子可以寫成：代入相容方程：得到：第23頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（3）積分四次得到應(yīng)力函數(shù)：第24頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力（4）軸對(duì)稱問題的應(yīng)力分量函數(shù)：第25頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（1）由物理方程可由應(yīng)力分量得到應(yīng)變分量：第26頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（2）由幾何方程可由應(yīng)變分量得到位移分量：第27頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（3）第28頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（4）將以上得到的環(huán)向徑向位移代入切應(yīng)變的幾何方程：得到：第29頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（4）分離變量以便求得未知函數(shù)的形式：第30頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（5）第31頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移（6）代入得到第32頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一軸對(duì)稱問題小結(jié)以上是軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量和位移分量的一般表達(dá)式，適用任何軸對(duì)稱應(yīng)力問題。其中，待定系數(shù)將由應(yīng)力邊界條件，位移邊界條件和位移單值條件確定。若位移邊界條件也是軸對(duì)稱的，則位移也是軸對(duì)稱的。第33頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）q1q2邊界條件：第34頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）q1q2兩個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，不能求解A，B，C。因此，需引入位移單值條件：該項(xiàng)必須為零，否則在環(huán)上同一點(diǎn)有兩個(gè)不同的位移，故B=0第35頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）q1q2因此，得到圓筒受均勻壓力的拉梅（G.Lame,1795—1870，法國(guó)）解答：第36頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Γ?）q1q2若只有內(nèi)壓力，則徑向正應(yīng)力為壓應(yīng)力，而環(huán)向正應(yīng)力為拉應(yīng)力。另外，若R無窮大，即在無限大薄板中有一圓孔，或在無限大彈性體中有一孔道，則：注：遠(yuǎn)離孔口處應(yīng)力很小，可以不計(jì)。第37頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（1）設(shè)有圓筒，埋在無限大彈性體中，受有均布?jí)毫，圓筒和無限大彈性體的彈性常數(shù)分別為E，μ和E’，μ’。圓筒內(nèi)外徑分別為r和R。無限大彈性體可看成是內(nèi)徑為R而外徑為無限大的圓筒。q第38頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（2）圓筒無限大彈性體軸對(duì)稱問題環(huán)向位移的一般解答：圓筒無限大彈性體第39頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（3）由應(yīng)力邊界條件得：1.圓筒內(nèi)壁：2.無限大彈性體離圓筒無限遠(yuǎn)處：3.接觸面：第40頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（4）由位移邊界條件得：4.接觸面：平面應(yīng)力狀態(tài)下軸對(duì)稱問題的徑向位移解答：平面應(yīng)變狀態(tài)下軸對(duì)稱問題的徑向位移解答：0第41頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（5）徑向位移解答：4.接觸面：n第42頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一壓力隧洞（6）應(yīng)力分量的最終解答：小結(jié)：該問題是最簡(jiǎn)單的接觸問題，屬于完全接觸問題。在接觸面上，兩彈性體的正應(yīng)力與切應(yīng)力相等，法向與切向位移也相等。光滑接觸屬于非完全接觸，在接觸面上，兩彈性體的正應(yīng)力與法向位移相等，而切向位移不相等。此外，還有摩擦滑移接觸，在法向上，正應(yīng)力及位移相等，在切向上，則達(dá)到極限滑移狀態(tài)而產(chǎn)生移動(dòng)，此時(shí)兩彈性體的切應(yīng)力都等于極限摩擦力。第43頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（1）本節(jié)研究小孔口問題，即孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體尺寸，并且孔邊距彈性體邊界也較遠(yuǎn)。xy孔口附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口較遠(yuǎn)處的應(yīng)力，這種現(xiàn)象叫孔口應(yīng)力集中。第44頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（2）

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四邊受拉力qxyAqqq以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于圓孔半徑r的長(zhǎng)度R作一個(gè)大圓，如虛線所示。則直角坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)問題。由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式：在虛線上的任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)應(yīng)力分量為：在虛線圓上：第45頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（3）

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四邊受拉力qxyAqqqq0-q第46頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（4）

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四邊受拉力q0-qR遠(yuǎn)大于r,則r/R=0

矩形薄板在離開邊界較遠(yuǎn)處有圓孔，在四邊受均布拉力的引力分量函數(shù)：第47頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（5）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)換公式：外邊界上的邊界條件內(nèi)邊界上的邊界條件第48頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（6）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq不能將邊界條件代入上式，因?yàn)樯鲜絻H適用于軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量，而本問題不是軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)（如徑向正應(yīng)力是環(huán)向坐標(biāo)的函數(shù)）。第49頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（7）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq第50頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（8）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq代入相容方程第51頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（9）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq第52頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（10）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq代入第53頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（11）

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左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力qxyAqqq左右兩邊受拉力，上下兩邊受壓力，離邊界較遠(yuǎn)處有圓孔的應(yīng)力分量函數(shù)：第54頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（12）

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載荷的組合q1q2q1q2A(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1+q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2(q1-q2)/2（q1-q2）/2左右兩邊受一種拉力，上下兩邊受另一種拉力的薄板，可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。第55頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（12）

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載荷的組合qqAq/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2左右兩邊受拉力，上下兩邊不受拉力的薄板，可認(rèn)為是以下兩種載荷的組合。第56頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一圓孔孔口應(yīng)力集中（13）

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載荷的組合Aq/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2q/2第57頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一qq圓孔孔口應(yīng)力集中（14）

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載荷的組合注：另外兩個(gè)應(yīng)力分量在孔邊為零。xyA第58頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一qq圓孔孔口應(yīng)力集中（15）

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載荷的組合xyA注：孔邊應(yīng)力是均勻應(yīng)力的三倍第59頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一qq圓孔孔口應(yīng)力集中（15）

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載荷的組合xyA第60頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一小孔口問題小結(jié)（1）小孔口問題的特點(diǎn)：1.集中性，孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于較遠(yuǎn)處的應(yīng)力。2.局部性，孔口附近的應(yīng)力擾動(dòng)主要發(fā)生在距孔邊1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)。在此區(qū)域外，由于開孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)一般小于5%，可以忽略不計(jì)。注：圓孔的應(yīng)力集中程度較低，有凹尖角的孔口應(yīng)力集中程度較高，因此，在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)盡量避免有凹尖角的孔口。第61頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一小孔口問題小結(jié)（2）如有任意形狀的薄板，受有任意面力，而在距邊界較遠(yuǎn)處有一小圓孔，那么只要有了無孔時(shí)的應(yīng)力解答，也就可以計(jì)算孔邊的應(yīng)力，其過程如下：1.求出無孔時(shí)相應(yīng)于圓孔中心的應(yīng)力分量，2.由平面中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，求得兩個(gè)主應(yīng)力的方向和大小。3.將兩個(gè)主應(yīng)力認(rèn)為是在兩個(gè)方向上的均布載荷，則根據(jù)上面的疊加法可求得孔邊應(yīng)力。第62頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（1）設(shè)有半面體受集中力，如右圖所示。其中F為單位厚度上所受的力，量綱為MT2。abcFρ用半逆解法求解：由于應(yīng)力分量是,,ρ,F的函數(shù)，而應(yīng)力分量的量綱為L(zhǎng)-1MT-2，F(xiàn)的量綱為MT-2，角度的量綱為一，因此各應(yīng)力分量只能取FNρ-1的形式，其中N為量綱一的量。又因?yàn)閼?yīng)力函數(shù)中ρ的冪次比應(yīng)力分量高兩階，因此假定：o第63頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（2）abcFρ代入極坐標(biāo)中的相容方程：得到：o第64頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（3）abcFρ代入：xy應(yīng)力函數(shù)中的常數(shù)以及關(guān)于坐標(biāo)的一次項(xiàng)略去后不影響應(yīng)力分量的計(jì)算。o第65頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（4）abcFρo第66頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（5）abcFρ邊界條件：在o點(diǎn)之外的ac面上，沒有任何的法向或者切向的面力，因此，上式中的后兩個(gè)方程完全滿足邊界條件。o第67頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（6）abcFρ在o點(diǎn)附近切出一部分脫離體oabc，運(yùn)用圣維南原理：o第68頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受集中力（7）abcFρo第69頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（1）abcFρo當(dāng)F垂直于直線邊界時(shí)：第70頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（2）abcFρo將上式中的三角函數(shù)用直角坐標(biāo)表示就可以得到直角坐標(biāo)下的該問題的應(yīng)力分量函數(shù)。第71頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（3）abcFρo第72頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（4）abcFρo第73頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（5）abcFρo第74頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（6）abcFρo第75頁，共82頁，2023年，2月20日，星期一半面體在邊界上受垂直集中力（7）abcF