河北省唐山市2022-2023高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷+答案

數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡的“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案涂在試卷上一律無效．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域的相應(yīng)位置內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．4．考生必須保持答題卡整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數(shù)f(x)＝ex＋2x2，則f(0)＝

A．1 B．2 C．3 D．42．(1＋2x)n(n∈N*)的展開式中第6項與第7項的二項式系數(shù)相等，則n為

A．10 B．11 C．12 D．13函數(shù)f(x)＝(x2－3x＋1)ex的圖象大致是A． B. C. D.4．甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生分配到3個單位，每人去1個單位，每個單位至少1人，則不同的分配方案共有

A．24種 B．36種 C．64種 D．81種5．已知a＝eq\f(ln2,2)，b＝eq\f(1,e)，c＝eq\f(ln9,9)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞b＞c6．若函數(shù)f(x)＝2ex－3ax2＋1有兩個不同的極值點，則實數(shù)a可以為

A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(e,3) D．eq\f(e,2)

7．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x＋1)在(eq\f(1,2)，1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)QUOTEaa的取值范圍是

A．a(chǎn)≥eq\f(9,2) B．a(chǎn)≤eq\f(9,2)

C．a(chǎn)≤4 D．a(chǎn)≥48．如圖，某城區(qū)的一個街心花園共有五個區(qū)域，中心區(qū)域⑤是代表城市特點的標志性塑像，要求在周圍①②③④四個區(qū)域內(nèi)種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花供選擇，要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法共有②①②①③④⑤B．60種C．84種D．108種二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x＋1，則

A．f(x)的極小值為0 B．f(x)的極大值為eq\f(31,27)

C．f(x)在區(qū)間(eq\f(1,3)，1)上單調(diào)遞增 D．f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增10．下列說法正確的是

A．10×11×12×…×20可表示為Aeq\s(10,20)

B．若把單詞“best”的字母順序?qū)戝e，則可能出現(xiàn)的錯誤共有23種

C．9個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手36次

D．5個人站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾，共有72種不同排法11．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，則

A．a(chǎn)0＝1 B．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為22023

C．奇數(shù)項的系數(shù)和為eq\f(1－32023,2) D．eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－112．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)，下列說法正確的是A．f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增

B．當e＜x1＜x2時，x1lnx2＜x2lnx1

C．若函數(shù)y＝f(|x|)－k有兩個零點，則k＜0

D．若1＜x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＞2e

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某人有5件不同的襯衫，6條不同的褲子，1件上衣和1條褲子為一種搭配，則搭配方法共有種．14．函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)＋2x＋3的單調(diào)遞減區(qū)間是．15．9名學(xué)生報名參加學(xué)校聯(lián)歡晚會，其中4人只會唱歌，2人只會跳舞，其余3人既會唱歌又會跳舞．現(xiàn)從中選6人，3人唱歌，3人跳舞，共有種不同的選法．16．如圖，某校園有一塊半徑為10m的半圓形綠化區(qū)域（以O(shè)為圓心，AB為直徑），目前進行改建，在AB的延長線上取點D，OD＝20m，在半圓上選定一點C，改建后綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成．若改建后綠化區(qū)域的面積為S，設(shè)QUOTE∠AOC=θ∠AOC＝θ，則θ為______時，S取得最大值，最大值為m2．（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx．

（1）求y＝f(x)在x＝1處的切線方程；

（2）當x∈[eq\f(1,e)，e]時，求y＝f(x)的值域．18．（12分）已知(x－eq\f(1,\r(3,x)))n的展開式中，前兩項的二項式系數(shù)之和是9．

（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；

（2）求展開式中x4的系數(shù)．

19．（12分）用0，1，2，3，4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

（1）偶數(shù)；

（2）百位和千位都是奇數(shù)的偶數(shù)；

（3）比23014大的數(shù)．20．（12分）已知函數(shù)f(x)＝ex(x＋2)，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋3x＋2．

（1）證明：當x≥0時，f(x)≥g(x)；

（2）若函數(shù)h(x)＝f(x)－4ex－m有兩個零點，求m的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋bx＋3alnx．

（1）若a＞0，b＝－a－3，討論f(x)的單調(diào)性；

（2）若b＝－4，x1，x2是f(x)的兩個極值點，求f(x1)＋f(x2)的最小值．22．（12分）已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,ex)和g(x)＝eq\f(lnx,ax)在a＞0時有相同的最大值．

（1）求a的值；

（2）求證：存在直線y＝b與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個不同的交點(x1，y1)，

(x2，y2)，(x3，y3)且x1＜x2＜x3，使得x1，x2，x3成等比數(shù)列．數(shù)學(xué)參考答案及評分標準一．選擇題：1－4ABAB 5－8BDCC二．選擇題：9．BD 10．BC 11．ABD 12．BD三．填空題：13．30 14．(0，eq\f(1,2)) 15．124 16．eq\f(2π,3)，eq\f(100π,3)＋50eq\r(3)四．解答題：（若有其他解法，請參照給分）17．解：

（1）f(1)＝eq\f(1,2)， …1分

f(x)＝x－eq\f(1,x) …1分

＝eq\f((x－1)(x＋1),x)，x＞0． …1分

f(1)＝0， …1分

故y＝f(x)在x＝1處的切線方程為y＝eq\f(1,2)． …1分

（2）由（1）可知f(x)在[eq\f(1,e)，1]上單調(diào)遞減，[1，e]上單調(diào)遞增． …1分

f(1)＝1， …1分

f(eq\f(1,e))＝eq\f(1,2e2)＋1， …1分

f(e)＝eq\f(1,2)e2－1， …1分

因為eq\f(1,2e2)＋1＜eq\f(1,2)e2－1，所以f(x)的值域為[eq\f(1,2)，eq\f(1,2)e2－1]． …1分18．解：

（1）Ceq\s(0,n)＋Ceq\s(1,n)＝9， …2分

1＋n＝9，得n＝8， …2分

則展開式中二項式系數(shù)最大的項為T5＝Ceq\s(4,8)x4(－eq\f(1,\r(3,x)))4＝70xeq\s\up5(\f(8,3))．eq\s\up5\f(4,3) …2分

（2）Tr＋1＝Ceq\s(r,8)x8－r(－eq\f(1,\r(3,x)))r …1分＝(－1)rCeq\s(r,8)x8-eq\s\up5(\f(4,3))r， …2分

令8－eq\f(4,3)r＝4，得r＝3， …1分

于是T4＝－56x4， …1分

所以展開式中x4的系數(shù)為－56． …1分19．解：

（1）0在個位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為Aeq\s(4,4)． …1分

2或4在個位，在個位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為2Ceq\s(1,3)Aeq\s(3,3)． …1分

Aeq\s(4,4)＋2Ceq\s(1,3)Aeq\s(3,3)＝60． …2分

（2）百位和千位都是奇數(shù)的偶數(shù)個數(shù)為2Aeq\s(2,2)Aeq\s(2,2)． …1分

2Aeq\s(2,2)Aeq\s(2,2)＝8． …2分

（3）3或4在萬位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為2Aeq\s(4,4)． …1分

2在萬位，4在千位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為Aeq\s(3,3)． …1分

2在萬位，3在千位，4或1在百位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為2Aeq\s(2,2)． …1分

2在萬位，3在千位，0在百位，4在十位，符合條件的五位數(shù)個數(shù)為1． …1分

比23014大的數(shù)有1＋2Aeq\s(2,2)＋Aeq\s(3,3)＋2Aeq\s(4,4)＝59． …1分20．解：

（1）證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex(x＋2)－eq\f(1,2)x2－3x－2， …1分

F(x)＝ex(x＋3)－(x＋3)＝(ex－1)(x＋3) ． …2分

因為當x≥0時，F(xiàn)(x)≥0，

所以F(x)在[0，＋∞)上單增， …1分

于是當x≥0時，F(xiàn)(x)≥F(0)＝0， …1分

則ex(x＋2)≥eq\f(1,2)x2＋3x＋2． …1分

（2）取H(x)＝f(x)－4ex＝ex(x－2)，函數(shù)h(x)＝f(x)－4ex－m有兩個零點，即直線

y＝m與函數(shù)H(x)＝ex(x－2)的圖象有兩個交點， …1分

H(x)＝ex(x－1)， …1分

H(x)在(－∞，1)上單減，在(1，＋∞)上單增， …1分

H(x)min＝H(1)＝－e，H(2)＝0，當x→－∞，H(x)→0， …2分

所以－e＜m＜0． …1分21．解：

b＝－a－3，f(x)＝eq\f(x2－ax－3x＋3a,x)＝eq\f((x－a)(x－3),x)． …1分

①當a＞3時，

令f(x)＞0得0＜x＜3或x＞a；令f(x)＜0得3＜x＜a．

則f(x)的單增區(qū)間為(0，3)，(a，＋∞)，單減區(qū)間為(3，a)． …2分

②a＝3時，f(x)＞0恒成立，

則f(x)的單增區(qū)間為(0，＋∞)，無單減區(qū)間． …1分

③當0＜a＜3時，令f(x)＞0得0＜x＜a或x＞3；

令f(x)＜0得a＜x＜3，

則f(x)的單增區(qū)間為(0，a)，(3，＋∞)，單減區(qū)間為(a，3)． …2分

結(jié)論（略）

（2）當b＝－4，f(x)＝eq\f(x2－4x＋3a,x)(x＞0)，

因為x1，x2是兩個極值點，所以eq\b\lc\{(\a\al(x1＋x2＝4,x1x2＝3a>0,Δ＝16－12a＞0)) …1分

得0＜a＜eq\f(4,3) …1分

f(x1)＋f(x2)＝eq\f(1,2)xeq\s(2,1)＋eq\f(1,2)xeq\s(2,2)－4x1－4x2＋3a(lnx1＋lnx2)

＝eq\f((x1＋x2)2－2x1x2,2)－4(x1＋x2)＋3aln(x1x2)

＝3aln3a－3a－8． …1分

令3a＝t(0＜t＜4)，

設(shè)g(t)＝tlnt－t－8，g(t)＝lnt， …1分

當t∈(0，1)時，g(t)單減；當t∈(1，＋∞)時，g(t)單增． …1分

所以f(x1)＋f(x2)的最小值為g(1)＝－9． …1分22．解：

（1）f(x)＝eq\f(ax,ex)的定義域為R，且f(x)＝eq\f(a(1－x),ex)，a＞0， …1分

當x＜1時，f(x)＞0，f(x)單增；當x＞1時，f(x)＜0，f(x)單減；

所以f(x)max＝f(1)＝eq\f(a,e)， …1分

g(x)＝eq\f(lnx,ax)的定義域為(0，＋∞)，且g(x)＝eq\f(1－lnx,ax2)，a＞0， …1分

當0＜x＜e時，g(x)＞0，g(x)單增；當x＞e時，g(x)＜0，g(x)單減；

所以g(x)max＝g(e)＝eq\f(1,ae)， …1分

由已知得eq\f(a,e)＝eq\f(1,ae)，解得a＝±1，又a＞0，所以a＝1． …1分

（2）由（1）可知：

f(x)＝eq\f(x,ex)在(－∞，1)上單增，在(1，＋∞)上單減，且x→＋∞，y→0，

g(x)＝eq\f(lnx,x)在(0，e)上單增，在(e，＋∞)上單減，且x→＋∞，y→0，f(x)＝eq\f(x,ex)和g(x)＝eq\f(lnx,x)的圖象如圖所示：