分?jǐn)?shù)指數(shù)冪公開(kāi)課教案

《分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》教學(xué)設(shè)計(jì)陳煒明(2013/3/5公然課)一、教學(xué)目的：知識(shí)與技術(shù)：理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化。經(jīng)過(guò)詳細(xì)實(shí)例認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義。過(guò)程與方法：回首整數(shù)指數(shù)冪的定義過(guò)程，學(xué)生經(jīng)過(guò)察看，模擬，并進(jìn)行合作溝通，對(duì)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行推廣，尋求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪最合理自然的規(guī)定方式。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：經(jīng)過(guò)對(duì)指數(shù)的推廣，感覺(jué)從特殊到一般的思想方法，提高數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神以及數(shù)學(xué)的美學(xué)意義。二、教學(xué)重點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì)三、教學(xué)難點(diǎn)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的觀點(diǎn)四、教學(xué)過(guò)程：【問(wèn)題情境】里氏震級(jí)是當(dāng)前國(guó)際通用的地震震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。它是根據(jù)離震中一定距離所觀察到的地震波幅度和周期，并且考慮從震源到觀察點(diǎn)的地震波衰減，經(jīng)過(guò)一定公式，計(jì)算出來(lái)的震源處地震的大小。假定第0級(jí)地震所釋放的能量為1，且在估算能量的時(shí)候，里氏震級(jí)每增加1級(jí)，釋放的能量大概增加倍，則（1）第3級(jí)地震所釋放的能量為多少？答：31.622732）第x級(jí)地震所釋放的能量為多少？答：y31.6227x3）上一問(wèn)中的x會(huì)出現(xiàn)為分?jǐn)?shù)的情況嗎？教師舉例發(fā)震時(shí)刻：2013年02月19日17:31:16緯度：°經(jīng)度：°深度：8千米震級(jí)：參照地點(diǎn)：新疆維吾爾自治區(qū)喀什地域伽師縣引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題：當(dāng)指數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)當(dāng)怎樣定義？又該怎樣計(jì)算？（此時(shí)教師在黑板上畫出函數(shù)y2x,xZ的圖像協(xié)助說(shuō)明該問(wèn)題的提出）【溫故知新】問(wèn)題一：am表示什么含義（當(dāng)m為正整數(shù)的時(shí)候）？當(dāng)指數(shù)為正整數(shù)時(shí)候，指數(shù)的運(yùn)算都有哪些運(yùn)算性質(zhì)？答：m個(gè)a相乘。amanamn,amamn,(mn,a0)an（此處板書）(am)namn,(ab)mambm在這里m,n均為正整數(shù)。問(wèn)題二：若在計(jì)算amn時(shí)，碰到mn時(shí)，有無(wú)意義？怎樣計(jì)算？得出什么結(jié)果？若mn呢？答：當(dāng)擴(kuò)展到整數(shù)指數(shù)冪時(shí)候，若要求維持原來(lái)的運(yùn)算性質(zhì)，能夠獲得a01(a0)。同理，能夠?qū)ω?fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行規(guī)定。小結(jié)：負(fù)整指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是分式（或分?jǐn)?shù)）形式。在將正整數(shù)指數(shù)冪推廣到整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，保持了原有的運(yùn)算性質(zhì)不變。（對(duì)剛才運(yùn)算性質(zhì)的板書改正）。問(wèn)題三：為什么關(guān)于熟悉的分式還需要用負(fù)指數(shù)冪來(lái)表示呢？答：引入負(fù)指數(shù)冪能夠使我們對(duì)很多半學(xué)識(shí)題書寫方便，計(jì)算簡(jiǎn)單。單的例子）

（爽口頭舉幾個(gè)簡(jiǎn)【意義建構(gòu)】問(wèn)題四：近似上面的推廣，當(dāng)把整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的時(shí)候，你想保存什么性質(zhì)不變？用詳細(xì)的例子試一試。1111a1a2a2a22aaaa1a2a111111a1a3a3a3a333a3a3a3aa13aa31一般地，an_____（形式上的認(rèn)為）同理222222a2a3a3a3a3332(a3)3a223a2a3m一般地，

an

______

（形式上的認(rèn)為）【數(shù)學(xué)理論】假定指數(shù)運(yùn)算律“(ak)nakn(k,nZ)”對(duì)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算也合用。m，(nmmgn令kN*)，那么(ak)n(an)nanam，由n次方根的定義，就能夠nmm把a(bǔ)n當(dāng)作am的n次方根，即annam一般地，我們規(guī)定mannam（a0,m,n均為正整數(shù)）模擬負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，我們規(guī)定m1an0,m,n均為正整數(shù)）m（aan問(wèn)題五：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)果？（可先舉詳細(xì)的例子讓學(xué)生感知）答：根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪既有聯(lián)系，又有區(qū)別。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的實(shí)質(zhì)是根式。只需根式存心義，無(wú)論a為何值，都能夠?qū)懗煞謹(jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。可是要注意的此時(shí)指數(shù)m是一種記法n形式，不擁有數(shù)的性質(zhì)，不是真實(shí)意義的分?jǐn)?shù)，不能參與約分，通分等運(yùn)算。當(dāng)a0時(shí)，對(duì)指數(shù)m進(jìn)行約分，通分等運(yùn)算的結(jié)果和把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式后進(jìn)行運(yùn)n算的結(jié)果一致。此時(shí)m與傳統(tǒng)意義上的分?jǐn)?shù)作用效果是相同的。這時(shí)把指數(shù)m看作普通分nn數(shù)是合理的。注：絕大多半根式計(jì)算，尤其是只有乘除，乘方，開(kāi)放的根式運(yùn)算，化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪按冪的運(yùn)算法例去計(jì)算要簡(jiǎn)易的多。有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義此后，指數(shù)冪的觀點(diǎn)就從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù)，對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪，原整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)保持不變?！緮?shù)學(xué)運(yùn)用】例1求下列各式的值1233（1）1002（2）83（3）92（4）(1)481例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式（a0）（1）a2a（2）aa【反省與提升】1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種寫法。2．嫻熟掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法例，它是化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)。3．含有根式的式子化簡(jiǎn)，一般要先把根