空間向量的數(shù)量積運算練習題

課時作業(yè)(十五)一、選擇題1．設(shè)a、b、c是隨意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝a·a；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的有()A．①②B．②③C．③④D．②④【解析】由于數(shù)量積不知足聯(lián)合律，故①不正確，由數(shù)量積的性質(zhì)知②正確，③中|a|2·b＝|b|2·a不一定建立，④運算正確．【答案】D2．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則a與b的夾角〈a，b〉＝()A．30°B．45°C．60°D．以上都不對【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b|c|2，∴a·b＝23，∴cos〈a，b〉＝|a||b|a·b＝14.【答案】D3．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是()→→與BD與PB→→與AB與CD【解析】用清除法，因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，→→故PA·CD＝0，清除D；因為AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所→→→→以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故DA·PB＝0，清除B，同理PD·AB＝0，清除

C.【答案】

A4.如圖

3-1-21，已知空間四邊形每條邊和對角線都等于

a，點

E，F(xiàn)，G

分別是

AB，AD，DC

的中點，則下列向量的數(shù)量積等于

a2的是(

)圖

3-1-21→→．2BA·AC→B．2AD·DB→C．2FG·AC→D．2EF·CB【解析】→→→→2BA·2·2錯；AC＝－a，故A錯；2ADDB＝－a，故B→→12→→→22正確．2EF·CB＝－a，故D錯；2FG·AC＝AC＝a，故只有C2【答案】C二、填空題5．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|＝________.【解析】|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b24×|a|2＋9×|b|2－12×|a||b|·cos·60＝°61，∴|2a－3b|＝61.【答案】616．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍是________．a(chǎn)＋λb·λa－2b<0，【解析】由題意知cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.a＋λb·λa－2b<0，即?λ2＋2λ－2<0.a＋λb·λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|∴－1－3<λ<－1＋3.【答案】(－1－3，－1＋3)如圖3-1-22，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．圖3-1-22【解析】→→→→→1→不妨設(shè)棱長為2，則|AB＝BB1，BABMBC2→→→1→→→〉＝BB1－BA·BC＋BB1＝0－2＋2－0cos〈AB1，BM2＝，故22×522×50填90°.【答案】90°三、解答題8．如圖3-1-23在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD.圖3-1-23→→→【證明】設(shè)A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c.則a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.→→→→1→→1而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋2(AB＋AD)＝c＋2(a＋b)，→→→－，BD＝AD－＝ABba→→→1→→1→11ADOCCG2222→→∴11A221＝c·(b－a)＋2(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋12(b2－a2)＝12(|b|2－|a|2)＝0.→→∴A1O⊥BD.∴A1O⊥BD.→→同理可證A1O⊥OG.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O?面BDG，∴A1O⊥面GBD.9．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1→→→→D1的中點，試計算：(1)BC·1；(2)BF·1；EDAB→→(3)EF·FC1.【解】→→＝，→1＝，如下圖，設(shè)AB＝，ADAAabc則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.→→→→→(1)BC·ED1＝AD·(EA1＋A1D1)→1→→→1＝AD·AA1－AB＋AD＝b·c－a＋b22|b|2＝42＝16.→→＝→1＋→→→(2)BF·AB1(BA1F)·(AB＋1)ABB→AA1－AB＋2AD·(AB＋AA1)→→→→1c－a＋2b·(a＋c)|c|2－|a|2＝22－22＝0.→→→→→→(3)EF·FC1＝(EA1＋A1F)·(FD1＋D1C1)＝1→→1→1→→2AA1－AB＋AD·AD＋AB22＝1c－a1b12＋·b＋a22＝11(－a＋b＋c)·b＋a221212＝－|a|＋|b|＝2.241．(2014·中山高二檢測)已知邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A11→→)11的中心為O1，則AO1·的值為(BCDACA．－1B．0C．1D．2【解析】→→1＋→→1→→→1→AAAAA2A2＋→→→＋→，則→→1→→2)＝1，應選C.ADABADAO2AD【答案】C2．已知a，b是兩異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則直線a，b所成的角為()A．30°B．60°C．90°D．45°【解析】→→→＋→，則→→→→＋由于AB＝＋CDDB·＝＋CDACABCD(AC→→→DB)·CD＝CD2＝1.→→→→AB·CD1→→cos〈AB，CD〉＝→→＝2?〈AB，CD〉＝60°.|AB|·|CD|【答案】B3．(2014·長沙高二月考)已知正三棱柱ABC-DEF的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點，若直線CF上有一點N，使MN⊥，則CN＝________.AECFCN→→→【解析】設(shè)CF＝m，由于AE＝AB＋BE，→1→→MN＝2BC＋mAD，→→又AE·MN＝0，11得2×1×1×－2＋4m＝0，解得

1m＝16.1【答案】164．如圖3-1-24，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．圖3-1-24→→→【解】∵AC1＝AB＋AD＋AA1，→→→→∴1|＝|ACAB＋AD＋AA21→→→→→→→→→AB2＋AD2＋AA12＋2AB