2023屆河北省衡水市第十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則該雙曲線的一個頂點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為()A． B． C． D．2．名同學(xué)合影，站成了前排人，后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人站前排，其他人的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為（）A． B． C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，在第二步證明從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A． B． C． D．14．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量（）．A．70 B．90 C．40 D．605．在△ABC中內(nèi)角A，B，C所對各邊分別為，，，且，則角=A．60° B．120° C．30° D．150°6．在中，，，，則等于()A．或 B． C．或 D．7．已知，集合，集合，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是（）A．6561 B．3363 C．2187 D．2108．地球半徑為R,北緯45°圈上A,B兩點(diǎn)分別在東徑130°和西徑140°,并且北緯45°圈小圓的圓心為O′,則在四面體O-ABO′中，直角三角形有（）A．0個 B．2個 C．3個 D．4個9．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx10．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（）A． B．C． D．11．過點(diǎn)，且與直線平行的直線的方程為（）A． B． C． D．12．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．14．已知命題，，則是_________________15．歐拉在1748年給出的著名公式(歐拉公式)是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中,底數(shù)＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式，任何一個復(fù)數(shù)，都可以表示成的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第________象限．16．曲線在（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業(yè)為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：毫克），質(zhì)量值落在的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．如表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．產(chǎn)品質(zhì)量/毫克頻數(shù)（Ⅰ）以樣本的頻率作為概率，試估計(jì)從甲流水線上任取件產(chǎn)品，求其中不合格品的件數(shù)的數(shù)學(xué)期望．甲流水線乙流水線總計(jì)合格品不合格品總計(jì)（Ⅱ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)？（Ⅲ）由乙流水線的頻率分布直方圖可以認(rèn)為乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布，求質(zhì)量落在上的概率．參考公式：參考數(shù)據(jù)：參考公式：，其中．18．（12分）在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為等腰直角三角形，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）求證：面面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．19．（12分）為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為40元，其余3個所標(biāo)的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）商場對獎勵總額的預(yù)算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標(biāo)有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標(biāo)有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．提示：袋中的4個球由標(biāo)有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標(biāo)的面值“既有a元又有b元”．20．（12分）某小組10名學(xué)生參加的一次數(shù)學(xué)競賽的成績分別為：92、77、75、90、63、84、99、60、79、85，求總體平均數(shù)μ、中位數(shù)m、方差σ2和標(biāo)準(zhǔn)差σ；(列式并計(jì)算，結(jié)果精確到0.1)21．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.22．（10分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值及函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先由雙曲線的離心率的值求出的值，然后求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果【詳解】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，所以，解得，所以雙曲線方程為，其頂點(diǎn)為，漸近線方程為由雙曲線的對稱性可知，只要求出其中一個頂點(diǎn)到一條漸近線的距離即可不妨求點(diǎn)到直線的距離故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了雙曲線的有關(guān)知識和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】分析：首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個人在5個位置中選2個位置進(jìn)行排列有A52，利用乘法原理可得結(jié)論．詳解：由題意知本題是一個分步計(jì)數(shù)問題，首先從后排的7人中選出2人，有C72種結(jié)果，再把兩個人在5個位置中選2個位置進(jìn)行排列有A52，∴不同的調(diào)整方法有C72A52，故選：C點(diǎn)睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．3、A【解析】

先求出n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)，再求左邊增加的項(xiàng)數(shù).【詳解】n=k+1時(shí)左邊最后的一項(xiàng)為，n=k時(shí)左邊最后一項(xiàng)為，所以左邊增加的項(xiàng)數(shù)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.4、B【解析】

用除以甲的頻率，由此求得樣本容量.【詳解】甲的頻率為，故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣的知識，考查頻率與樣本容量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】分析：利用余弦定理即可。詳解：由余弦定理可知，所以。點(diǎn)睛：已知三邊關(guān)系求角度，用余弦定理。6、D【解析】

已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角，先由正弦定理求，再求.【詳解】由正弦定理，可得.由，可得，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用.已知兩邊及其中一邊的對角，由正弦定理求另一邊的對角，要注意判斷解的個數(shù).7、C【解析】

由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a77x+a8x8，可得a0＝a8＝1，a2＝a6＝28，a4＝1．即可得集合有7個元素，利用函數(shù)定義可得從M到N的函數(shù)個數(shù)．【詳解】解：由，可得，，．∴，共7個元素，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，及函數(shù)定義，屬于中檔題．8、C【解析】

畫圖標(biāo)注其位置，即可得出答案?！驹斀狻咳鐖D所示：，即有3個直角三角形?！军c(diǎn)睛】本題涉及到了地理相關(guān)的經(jīng)緯度概念。學(xué)生需理解其基本概念，將題干所述信息轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)相關(guān)知識求解。9、B【解析】

對各選項(xiàng)逐一判斷即可，利用在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),即可判斷A選項(xiàng)不滿足題意，令，即可判斷其在遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則即可判斷B選項(xiàng)滿足題意對于C,D，由初等函數(shù)性質(zhì)，直接判斷其不滿足題意.【詳解】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),所以y（3x﹣3﹣x）在R上為增函數(shù)，不符合題意；對于B，，所以是奇函數(shù)，令，則由，兩個函數(shù)復(fù)合而成又，它在上單調(diào)遞增所以既是奇函數(shù)又在（﹣1，1）上是減函數(shù)，符合題意，對于C，y＝x﹣1是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但它在（﹣1，1）上不是減函數(shù)，不符合題意；對于D，y＝tanx為正切函數(shù)，是奇函數(shù)，但在（﹣1，1）上是增函數(shù)，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則及初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題。10、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出數(shù)復(fù)數(shù)，即可得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，所以復(fù)數(shù).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念，考查運(yùn)算求解能力.11、A【解析】

求出直線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率的性質(zhì)，可以求出所求直線的斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，最后化為一般方程.【詳解】因?yàn)榈男甭蕿?，所以所求直線的方程的斜率也為2，因此所求直線方程為，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了求過一點(diǎn)與已知直線平行的直線的方程.本題也可以這樣求解：與直線平行的直線可設(shè)為，過代入方程中，，所以直線方程為，一般來說，與直線平行的直線可設(shè)為；與直線垂直的直線可設(shè)為.12、D【解析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意可知是偶函數(shù)，根據(jù)對稱性問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點(diǎn).【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，根據(jù)對稱性，在上有兩個不同的實(shí)根，即在上有兩個不同的實(shí)根，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個交點(diǎn)，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是，故故答案為：【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．14、，【解析】

根據(jù)的否定為寫結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈姆穸?，所以是?【點(diǎn)睛】(1)對全稱(存在性)命題進(jìn)行否定的兩步操作：①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再進(jìn)行否定；②對原命題的結(jié)論進(jìn)行否定.的否定為，的否定為.15、四【解析】

由歐拉公式求出，再由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算計(jì)算出，由此求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在幾象限．【詳解】因?yàn)椋?，所以，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本計(jì)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡單題．16、【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到（e），再求出（e）的值，則由直線方程的點(diǎn)斜式可得切線方程．【詳解】由，得，（e）．即曲線在點(diǎn)，（e）處的切線的斜率為2，又（e）．曲線在點(diǎn)，（e）處的切線方程為，即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，曲線上過某點(diǎn)的切線的斜率，就是該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）不能；（Ⅲ）.【解析】

（Ⅰ）由表知，以頻率作為概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，（Ⅱ）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數(shù)為，由此得列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算出觀測值，結(jié)合臨界值表可得；（Ⅲ）根據(jù)正態(tài)分布的概率公式可得．【詳解】解：（Ⅰ）由表知，樣本中不合格品的件數(shù)為，故任取一件產(chǎn)品是不合格品的頻率為以頻率作為概率，則從甲流水線上任取一件產(chǎn)品是不合格品的概率為，則，從而．（Ⅱ）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數(shù)為，所以，列聯(lián)表是：所以故在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下，不能認(rèn)為產(chǎn)品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)（Ⅲ）乙流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布，所以產(chǎn)品質(zhì)量的數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為因?yàn)?，所以即：所以乙流水線產(chǎn)品質(zhì)量落在上的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布中數(shù)學(xué)期望公式、頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及正態(tài)分布的概率，屬中檔題．18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，先證明面，再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先由題中數(shù)據(jù)，得到；再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵，為棱的中點(diǎn)，∴，又∵為菱形且，∴，∵，∴面，∵面，∴面面；（2）解：∵，，∴，，又，∴，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為．由，取，得．設(shè)直線與平面所成角為．所以【點(diǎn)睛】本題主要考查證明面面垂直，以及求線面角的正弦值，熟記線面垂直、面面垂直的判定定理，以及空間向量的方法求線面角即可，屬于?？碱}型.19、（1）分布列見解析；期望為50；（2）應(yīng)該選擇面值設(shè)計(jì)方案“”，即標(biāo)有面值元和面值元的球各兩個【解析】

（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機(jī)變量的可能取值為,分別求出對應(yīng)概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，面值設(shè)計(jì)是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）設(shè)顧客獲得的獎勵額為，隨機(jī)變量的可能取值為.，，所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為（2）根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖畲笾?，所以期望不可能為；若選擇“”的面值設(shè)計(jì)，因?yàn)樵敲嬷抵偷淖钚≈?，所以期望不可能?因此可能的面值設(shè)計(jì)是選擇“”，設(shè)此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為..的分布列如下：所以的期望為的方差為當(dāng)球標(biāo)有的面值為元和元時(shí)，同理可排除“”、“”的面值設(shè)計(jì)，所以可能的面值設(shè)計(jì)是