二次函數(shù)與一元二次方程經(jīng)典教學(xué)案+典型例題

二次函數(shù)與一元二次方程經(jīng)典教學(xué)案+典型例題二次函數(shù)與一元二次方程教學(xué)案二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：①當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點(diǎn)間的距離.②當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有；當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有．2.拋物線的圖象與軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，；3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；例：二次函數(shù)ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2與x軸有無(wú)交點(diǎn)?若有，請(qǐng)說(shuō)出交點(diǎn)坐標(biāo)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由:⑵根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑶二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).總結(jié)：⑴一元二次方程的實(shí)數(shù)根就是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)二次函數(shù)的解析式．【思路分析】本題是一道典型的從方程轉(zhuǎn)函數(shù)的問(wèn)題，這是比較常見(jiàn)的關(guān)于一元二次方程與二次函數(shù)的考查方式。由于并未說(shuō)明該方程是否是一元二次方程，所以需要討論M=0和M≠0兩種情況，然后利用根的判別式去判斷。第二問(wèn)的第一小問(wèn)考關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)的二次函數(shù)的性質(zhì)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，然后求得解析式。第二問(wèn)加入了一個(gè)一次函數(shù)，證明因變量的大小關(guān)系，直接相減即可。事實(shí)上這個(gè)一次函數(shù)恰好是拋物線的一條切線，只有一個(gè)公共點(diǎn)（1，0）。根據(jù)這個(gè)信息，第三問(wèn)的函數(shù)如果要取不等式等號(hào)，也必須過(guò)該點(diǎn)。于是通過(guò)代點(diǎn)，將用只含a的表達(dá)式表示出來(lái),再利用,構(gòu)建兩個(gè)不等式,最終分析出a為何值時(shí)不等式取等號(hào),于是可以得出結(jié)果.【解析】解：（1）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，（不要遺漏）∴當(dāng)，原方程有實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，原方程為關(guān)于的一元二次方程，∵.∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（如果上面的方程不是完全平方式該怎樣辦？再來(lái)一次根的判定，讓判別式小于0就可以了，不過(guò)中考如果不是壓軸題基本判別式都會(huì)是完全平方式，大家注意就是了）綜上所述，取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根.（2）①∵關(guān)于的二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴.（關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)的二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一定為0）∴.∴拋物線的解析式為.②∵，（判斷大小直接做差）∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.（3）由②知，當(dāng)時(shí)，.∴、的圖象都經(jīng)過(guò).（很重要，要對(duì)那個(gè)等號(hào)有敏銳的感覺(jué)）∵對(duì)于的同一個(gè)值，，∴的圖象必經(jīng)過(guò).又∵經(jīng)過(guò)，∴.（巧妙的將表達(dá)式化成兩點(diǎn)式，避免繁瑣計(jì)算）設(shè).∵對(duì)于的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均成立，∴，∴.又根據(jù)、的圖象可得，∴.（a>0時(shí),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值）∴.∴.而.只有，解得.∴拋物線的解析式為.【例2】關(guān)于的一元二次方程.（1）當(dāng)為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是否存在與拋物線只交于點(diǎn)的直線，若存在，請(qǐng)求出直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【思路分析】第一問(wèn)判別式依然要注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一條件。第二問(wèn)給點(diǎn)求解析式，比較簡(jiǎn)單。值得關(guān)注的是第三問(wèn)，要注意如果有一次函數(shù)和二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，則需要設(shè)直線y=kx+b以后聯(lián)立，新得到的一元二次方程的根的判別式是否為零，但是這樣還不夠，因?yàn)閥=kx+b的形式并未包括斜率不存在即垂直于x軸的直線,恰恰這種直線也是和拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),所以需要分情況討論,不要遺漏任何一種可能.【解析】：（1）由題意得解得解得當(dāng)且時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）由題意得解得（舍）(始終牢記二次項(xiàng)系數(shù)不為0)（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是由題意得(關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)要掌握)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(這種情況考試中容易遺漏)另設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線（）把代入，得，整理得有且只有一個(gè)交點(diǎn)，解得綜上，與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式有，【例3】已知P（)和Q（1，）是拋物線上的兩點(diǎn)．（1）求的值；（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出它的實(shí)數(shù)根；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個(gè)單位，使平移后的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，求的最小值．【例4】已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.【思路分析】去年中考原題,相信有些同學(xué)已經(jīng)做過(guò)了.第一問(wèn)自不必說(shuō)，判別式大于0加上k為正整數(shù)的條件求k很簡(jiǎn)單.第二問(wèn)要分情況討論當(dāng)k取何值時(shí)方程有整數(shù)根,一個(gè)個(gè)代進(jìn)去看就是了,平移倒是不難,向下平移就是整個(gè)表達(dá)式減去8.但是注意第三問(wèn),函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的翻折,旋轉(zhuǎn)問(wèn)題也是比較容易在中考中出現(xiàn)的問(wèn)題,一定要熟練掌握關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸翻折之后函數(shù)哪些地方發(fā)生了變化,哪些地方?jīng)]有變.然后利用畫(huà)圖解決問(wèn)題.解：（1）由題意得，．∴．∵為正整數(shù)，∴．（2）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根為零；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根．綜上所述，和