2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

20102010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽#右球冠體體積(圖 19)：V=V(h)—V (h,h,a)，記為 V(h)3平2陰，右2 2x 3 2圖17 圖17 圖18從上面可以看出中間段、左球冠狀、右球冠狀儲(chǔ)油體積計(jì)算的表達(dá)式都可以實(shí)現(xiàn)。（3）總體積V的計(jì)算20經(jīng)過問題分析，可以明顯地得到油面和實(shí)際儲(chǔ)油罐的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系分成如下圖20所示的三種情況:情形 I（圖 21）圖20V：由圖中幾何關(guān)系有 :積分下限，13—h一 .y=情形 I（圖 21）圖20V：由圖中幾何關(guān)系有 :積分下限，13—h一 .y= +2；□□□□,y=4，［1=y—y,t1tana t2 tt1即l□□□□□□□□□□□□在位置到圓柱體左端面的距即匕” \2）十1?兀RV:V=V（3）離。2 22V:公式不變化3,V=V(h)3 32情形II:所有V,V,V同原公式123帶入Z圖21情形 III(圖 22)V:由幾何關(guān)系,積分上限為：1_h0y二一2t2tanaV:□□□□□ ,V=V(h)2 2 21V:為03綜合以上三種情況可得：V=VV:為03綜合以上三種情況可得：V=V(y,y)+V(h)+V(h)+1?兀R2,1t1t2 211 322./3—h；\y=min< +2,y〉t1 [tanatJ.Jh一y=min< -2,y>t2 [tana tJ1=max{y-y,0}h=min{3,h},h=max11 1 222．體積函數(shù)的修正{0,h}2□□□□□□□Matlab□□□□,□□□□開始標(biāo)記時(shí)并未發(fā)生偏轉(zhuǎn)(見題目的附件2)，因此可認(rèn)為顯示高度與顯示體積即為兩種偏轉(zhuǎn)角皆為時(shí)的對(duì)應(yīng)值。將油位高度代入理論公式，并與實(shí)際值進(jìn)行比較，計(jì)算程序見附件十，得出理論儲(chǔ)油量與實(shí)際儲(chǔ)油量的比較圖，見圖 23：6.265.85.65.45.26.265.85.65.45.254.84.64.44.2x104圖231.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8圖23中紅線為計(jì)算值，藍(lán)線為實(shí)際值。從圖中可以看出兩者有誤差，誤差來源可能是在計(jì)算體積中應(yīng)用微分中值定理產(chǎn)生的，設(shè)這一誤差為 o(h)。因此對(duì)計(jì)算函數(shù)進(jìn)0行平移修正為：TOC\o"1-5"\h\zV=V(y,y)+V(h)+V(h)+1?兀R2+k.h+k□□□： m3)1t1t2 2 11 3 22 1 0 2其中k,k為待定系數(shù)。為了求得該系數(shù)，12y=V-V(y,y)-V(h)-V(h)-1兀R21t1t2 2 11 3 22□□□□□： y=kh+k，則y□□□□□□□□□□□□□,□ h□□□□□10 2 0□□□□□□□□,□□□□ y］，再利用Matlab中的polyfit函數(shù)對(duì)y與h擬0

DODDDDk=-0.4921101,k=0.1332825□□□□□□□□□□□□■□□□1 2后■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□■□□□□叫24：圖24□□ 24可□□□□]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]以□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□I?偏轉(zhuǎn)角的計(jì)算簡(jiǎn)記前述體積計(jì)算公式為： V=V(h,a,P)DDDDDDODDOO (a,P)口叫o□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□：(1)DODDODD 2DODODDODO論上□從(1)DODDODD 2DODODDODO論上□從h到hODODDOOi i+1DOOe(a,P)=Z[v.-v.)2hDOODODDO v.ODDDv=V(h,a,p)-V(h,a,。)。則口誤-1D1區(qū)域Oi(a,a)x(p,P)O□□□□□□□□□□□□P,(i=1,2,3,04O:2e(P),(i=1,2,3,4)口比較 e(P)ODDODOnDDDODDDODDDODDOD□□(a,a)x(p,p(a,a)x(p,p)O□□(1 2 1 2□□□□□DOD□□( 3)第2)繼續(xù)O算直到口誤差達(dá)到足夠O精度停止。jDDODDODDO Q6),a0))x(p有Q(j),a6))x(p0),PO)X0-1),a(尸1))義《(j-1),PO-1))O□□以12122 1 21ODDDOD20ODODDDODDODDODDDD利用附件十六的搜索數(shù)據(jù)（由原題提供的附表二計(jì)算得到）及附件十一提供的程序，循環(huán)10次，計(jì)算得：a=2.1118,0=2.5024將a=2.1118,0=2.5024。代入修正后的體積計(jì)算公式與附表二提供的數(shù)據(jù)比較O O如圖25、圖26,程序見附件十五。所有具體的數(shù)值與相對(duì)誤差見附件十二（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)）與附件十三（一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù)） ，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表五。從圖25、圖26可知理論計(jì)算值和實(shí)際數(shù)據(jù)幾乎重合。而從附件十二中可得相對(duì)誤差的最大值為4.05%,最小值為0，平均值為0.533%;附件十三可得相對(duì)誤差的最大值為4.61%,最小值為0,平均值為0.591%。從圖和這些數(shù)據(jù)可得求得的 a,0兩偏轉(zhuǎn)角精度很高，可靠性和準(zhǔn)確性很好，可以用來對(duì)題中附件 2所對(duì)應(yīng)的變位罐容體的罐容表的重新標(biāo)定。因而，將a=2.1118,0=2.5024□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□,O O□□□□□□□□□□□□,□□□□□□□,□□□□□□□□□□□□ 10cm的罐容表標(biāo)定值見表六。3503002502003503002502001501005000 0.511.5 2 2.5 3圖25（一次性補(bǔ)充進(jìn)油前的數(shù)據(jù)。紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù),藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù)）

3503002502001501005000 0.5 1 1.5 2 2.5圖26(一次性補(bǔ)充進(jìn)油后的數(shù)據(jù) ,紅點(diǎn)為計(jì)算數(shù)據(jù)，藍(lán)叉為實(shí)際數(shù)據(jù)表五顯示高度(m)實(shí)際數(shù)據(jù)(L)計(jì)算數(shù)據(jù)(L)相對(duì)誤差2.6243149.09149.250.0010731772.620768.4568.7460.0043243242.6103199.27198.040.006172532.606670.0570.7230.0096074232.5996136.36135.650.0052068062.5876232.74233.890.0049411362.582107.97109.190.0112994352.579649.2448.9810.0052599512.575480.6581.8250.0145691262.5695120.29119.040.0103915542.5641108.24106.860.0127494462.559883.4686.2260.0331416252.5485229.93229.944.34915E-052.5396181.7180.520.0064942212.528238.52239.380.0036055682.5216131.79132.430.0048562112.5102238.33238.358.39173E-052.508242.9243.3040.0089468782.5001171.34170.960.002217813

表六（變?yōu)楹蠊奕荼碇匦聵?biāo)定值）同時(shí)，為便于比較計(jì)算結(jié)果，這里給出無變位時(shí)儲(chǔ)油罐的罐容表每隔標(biāo)定值，見表七，程序只需將附件十七中的10cm的儲(chǔ)油量a同時(shí)，為便于比較計(jì)算結(jié)果，這里給出無變位時(shí)儲(chǔ)油罐的罐容表每隔標(biāo)定值，見表七，程序只需將附件十七中的10cm的儲(chǔ)油量a,P都換成表七（無變位時(shí)罐容表理論計(jì)算值）0即可。高度（m）體積（L）高度（m）體積（L）高度（m）體積（L）0180口331167042441220.1450口131.1193042.1467590.21125.11.2219772.2493130.32258.61.3247062.3517680.43730.71.4274772.4541050.55460.31.5302732.5563000.67401.81.6330812.6583300.79521.91.7358842.7601660.8117941.8386692.8617670.9141951.9414202.963078363976高度（m）體積（L）高度（m）體積（L）高度（m）體積（L）0133.281185852461790.1693.151.1212532.1487690.217741.2239832.2512650.33192.61.3267582.3536470.44876.71.4295622.4558940.56780.31.5323822.5579830.68869.51.6352012.6598870.7111171.7380062.7615710.8134991.8407812.8629900.9159941.9435102.964071364630綜上圖形和表格可以看出， 在同一油位高度下計(jì)算得到儲(chǔ)油罐的油量容積和實(shí)際儲(chǔ)油罐的油量容積吻合的很好，因此在誤差允許的范圍內(nèi)，該模型計(jì)算得到的結(jié)果具有一定的可行性，進(jìn)而可以說明該模型是正確可靠的。八、模型的進(jìn)一步討論和改進(jìn)對(duì)問題一的改進(jìn)：-實(shí)際值）/實(shí)際值，V =V-實(shí)際值）/實(shí)際值，V =V（h,a），又理論計(jì)算藍(lán)線為擬合曲線） ，從圖中可以看出擬合效果很好。因而設(shè)誤差隨油位高度變化的函數(shù)關(guān)系式為 f（x）=ax3+ax2+ax+a□□□□□□□□□□□□：1 2 34V—V

_ua 實(shí)際V實(shí)際-V矯正)/=相對(duì)誤差,□□□□□□□□□□□□□□,□□□□□□□V矯正二f(h)，導(dǎo)出V。由以上公式重新標(biāo)定罐容表的值將更準(zhǔn)確。矯正800900100011000.050.0450.040.0350.030.0250.020.0150.01400 500 600 700圖27對(duì)問題二的改進(jìn)：在前述模型建立的 V的函數(shù)后，對(duì)于問題(代嘗試搜索，只能逐步逼近，方法上不夠簡(jiǎn)潔，導(dǎo)致罐體位置的變化，會(huì)影響油量進(jìn)出與高度升降的速度，即位置。同時(shí)又有法，以簡(jiǎn)化尋找1d2V(h,a,p) 0 二0時(shí)的dh2(V2)中求偏轉(zhuǎn)角度的解答是通過不斷迭且需要計(jì)算機(jī)幫助。 由于偏轉(zhuǎn)角的不同，V(h,a,p)關(guān)于h有拐點(diǎn)00即為拐點(diǎn)。因此，我們可以改進(jìn)偏轉(zhuǎn)角度的方(a,p)的難度。首先在偏轉(zhuǎn)角的一定范圍內(nèi)計(jì)算不同高度h的油的體i理論一 一，、V—V積V,□□□□□□□□□ d(1)=T,□□□□□□□□□i ih-hi i-i□□□□□□, d(2)□□□□□□□□□□□□□□□d(2)

id(1)-d(2)i i-i,用以h-h(a,p)□□□□□□□□□□□□只要對(duì)實(shí)際測(cè)量所得的數(shù)據(jù)做與以上同樣的處理，轉(zhuǎn)角 (a,p)找到拐點(diǎn)并與關(guān)系表對(duì)應(yīng)即可找出偏九、模型的檢驗(yàn)及科學(xué)性分析模型的檢驗(yàn)：對(duì)于問題一，我們首先建立了無變位時(shí)橢圓形儲(chǔ)油罐的儲(chǔ)油量和油面高度的關(guān)系7，從圖中可以看出，理論計(jì)算和式，由關(guān)系式計(jì)算出來的出油量和實(shí)際值的比較見圖實(shí)際很接近，吻合得很好，這說明我們建立的模型的正確性、可靠性。同樣，我們建立的對(duì)于縱向變位時(shí)橢圓形儲(chǔ)油罐的出油量和油面高度的關(guān)系式，儲(chǔ)油量理論計(jì)算值和實(shí)際值的比較見圖9，同樣可以看出理論值的曲線幾乎和實(shí)際值的曲線平行并且十分靠攏，說明了建立的模型的準(zhǔn)確性，可以用來對(duì)罐容表值進(jìn)行重新標(biāo)定。對(duì)于問題二，我們首先建立了罐內(nèi)儲(chǔ)油量和油位高度及變位參數(shù)之間的關(guān)系式，并利用題目中的附件 2中顯示高度和顯示油量容積進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，其結(jié)果見圖 23和圖24，從修正后的圖 24可以看出模型計(jì)算值和實(shí)際值吻合程度非常好，說明了模型的正確性?！酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢酢?a,P,□□□□□□□a,P代入V=V（y,y）+V（h）+V（h）+1?兀R2+k?h+k□k=—0.4921101,k=0.1332825□1t1t2 211 322 102 1 2進(jìn)行模擬，并與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，結(jié)果見圖 25和圖26及附件十二和附件十三，可見絕大部分計(jì)算值與實(shí)際值重合，說明結(jié)果的可靠性和模型的正確性?？茖W(xué)性分析：（1）思維的合理性對(duì)于問題一，我們建立了未變位和變位的理論計(jì)算模型，對(duì)理論計(jì)算值和實(shí)際值進(jìn)行比較分析，得出建立模型的合理性，并對(duì)變位前和變位后同一高度的理論計(jì)算模型值進(jìn)行比較，得出了罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并成三段考慮了儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式，從而更準(zhǔn)確地對(duì)罐體變位后罐容表值進(jìn)行標(biāo)定。對(duì)于問題二，先考慮油面與圓柱體左右兩底面都有交線的情形，再考慮只與圓柱體單一底面有交線的復(fù)雜情形，并將圓柱體部分，球冠體部分分開計(jì)算，然后進(jìn)行整合，□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 2的數(shù)據(jù)用MATLAB□□□□□□原理計(jì)算出變位參數(shù) a,P，并回代進(jìn)行檢驗(yàn)。然后又對(duì)模型進(jìn)行了一步討論和分析，因而我們的思路是合理可行的。（2）方法的科學(xué)性本文針對(duì)不同問題，使用了各種可