動物群體的常微分方程模型暑期選講

動物群體的常微分方程模型暑期選講1第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一動物群體的微分方程模型§1引言§2單種群模型與人口問題§3進(jìn)行開發(fā)的單種群模型§4弱肉強(qiáng)食模型§5競爭排斥模型§6競爭排斥原理的數(shù)學(xué)分析§7無管理的撈魚模型2第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

ACM-85試題A的標(biāo)題是“動物群體的管理”，題文曰：“一種資源有限（即有限的食物、空間、水等）的環(huán)境里發(fā)現(xiàn)天然存在的動物群體，試選擇一種魚類或哺乳動物（例如北美矮種馬、鹿、兔、鮭魚、帶條紋的歐洲鱸魚等）以及一個(gè)你能獲得適當(dāng)數(shù)據(jù)的環(huán)境，并建立一個(gè)對該動物群體捕獲量的最佳方案。與這一試題有相同或相似數(shù)學(xué)模型問§1引言3第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一題非常之多，例如人口問題，生態(tài)與動植物保護(hù)的問題，種群之間的競爭排斥問題，等等，這些涉及人口與社會發(fā)展、生態(tài)與社會發(fā)展的重要問題，理應(yīng)成為數(shù)學(xué)建模當(dāng)中急需考慮的內(nèi)容。本講用常微分方程這一數(shù)學(xué)模型定量地或定性地討論此類問題的建模思想與方法。4第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

動植物種群本身是離散變量，談不上可微，但由于突然增加或減少的只是單一個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體，與全體數(shù)目相比，這種增量是很微小的，所以，可以近似地假設(shè)大規(guī)模種群隨時(shí)間是連續(xù)地甚至可微地在變化，進(jìn)而可以引用微分方程這一數(shù)學(xué)工具來研究?！?單種群模型與人口問題5第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

英國人馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）認(rèn)為人口的凈增長率為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增量與人口總量成正比，設(shè)t

時(shí)刻人口數(shù)位p(t)，則有Malthus人口模型（1）6第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

用此模型估算1700—1961年間的人口數(shù)目，計(jì)算結(jié)果與人口實(shí)際情況竟然驚人地相似。但是，當(dāng)t

+∞

，計(jì)算結(jié)果p(t)

+∞

，具體地說，此模型可以求得2510年的人口總數(shù)為2000億左右，可見，這一模型必須進(jìn)行修正。問題出這個(gè)Cauchy問題的解為7第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一在Malthus只看到繁衍增長的一面，未看到種群內(nèi)競爭（如人類戰(zhàn)爭）對種族發(fā)展的抑制作用。1837年荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst考慮單了種群成員間沖突乃至殘害現(xiàn)象，得出容易理解的下述單種族數(shù)學(xué)模型：8第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

其解為：（2）美國和法國都曾用這個(gè)公式預(yù)報(bào)過人口變化，結(jié)果相當(dāng)符合實(shí)際。顯然（3）9第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

a=0.029，b可以如下求得：1980年5月1日，我國公布的人口總數(shù)1979年底為97092萬人，當(dāng)時(shí)人口增長率為1.45%，于是a-b×9.7092×108=0.0145，從而求得：b，及=19.42(億），即，我國的人口極限約為19.42億人。+∞

10第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

養(yǎng)魚場從魚池中撈魚出售，每次捕撈得太少不合算，一方面銷售收入少，而且池中魚過多也不利于魚群生長繁衍，但每次撈得過多，“竭澤而漁”，顯然也不可取，應(yīng)怎樣控制捕撈率，使得總經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)？設(shè)單位時(shí)間內(nèi)捕撈h條魚，t時(shí)刻池中魚數(shù)為N(t)，則N(t)滿足下列數(shù)學(xué)模型：§3進(jìn)行開發(fā)的單種群模型11第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（4）其中K是魚池中魚數(shù)的最大值（受池子條件限制，此最大值是存在的。

h稱為收獲率?？紤]dN/dt=0時(shí)，即，12第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)?shù)玫綍r(shí)，dN/dt<0，此時(shí)，池中魚數(shù)單調(diào)遞減，長此下去將無魚可撈，所以，是最大可承受的產(chǎn)量。

13第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)

時(shí)，有兩個(gè)正的平衡點(diǎn)（5）這樣，模型（4）可以寫成14第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一可見，當(dāng)t增加時(shí)，N=N1附近的N=N(t)遠(yuǎn)離N=N1這一水平線（在Nt平面，t為橫軸），而在N=N2附近N=N(t)趨近于N=N2這一水平線，N=N1，N=N2是平凡解，即，解N=N1是不穩(wěn)定的，N=N2是穩(wěn)定的。當(dāng)N<N1（

<N2）時(shí)，當(dāng)N2>N>N1時(shí)，當(dāng)N>N2時(shí)，15第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一初始時(shí)刻，池中魚數(shù)N(t0)<N1，則單調(diào)下降趨于零，池中魚會撈凈滅絕；而N(t0)>N1時(shí)，則池中魚數(shù)量將自動調(diào)節(jié)隨時(shí)間之增加趨于N2條魚，又由可見h越小，N1越小所以，16第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一般要用小收獲率h來開發(fā)低密度的種群，而用大收獲率去開發(fā)高密度的種群。反之由可以解得17第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一即應(yīng)控制收獲率h不要超過否則，將無魚可捕。從上面討論知，收獲率h與種群密度是相關(guān)的，密度小時(shí)收獲率亦應(yīng)小。令收獲率h=kN，k稱為捕撈率。由（5）知，是（4）的平凡解，此時(shí)18第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一收獲率是最大可承受的單位時(shí)間內(nèi)的產(chǎn)量。可見，欲使池中魚不至于隨時(shí)間之增加而趨于滅絕，又使產(chǎn)量最大，僅當(dāng)池中魚是最大可能魚數(shù)之半時(shí)才可能。這時(shí)，從得平衡點(diǎn)為19第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一即得r=2k，即魚的增長率是捕撈率的2倍時(shí)，才達(dá)到最大收獲量（r≤k則是“敗家式”捕撈，不可行），于是下面分析在多大捕撈量時(shí)凈利潤最大。假設(shè)價(jià)為p元，又開支與捕撈率k成正比，則凈利潤為：20第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一(6)在池魚數(shù)穩(wěn)定的條件下，即時(shí)的利潤可寫為（上式代入（6））：21第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（7）求函數(shù)（7）的最大值得知當(dāng)時(shí)（7）取最大值。這時(shí)捕撈量為：22第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一這時(shí)的捕撈量比最大捕撈量小，要少撈一些，少捕捕撈開支c越大，越應(yīng)該少撈一些，魚價(jià)越高，越應(yīng)該多撈一些，總之，欲使凈收入最大，單位時(shí)間撈魚量為23第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行殘酷的生存競爭，一類動物靠捕食另一類動物為生，被捕食者只能靠又多又快地繁殖后代和逃跑等方式求生存發(fā)展，如此等等。設(shè)想一海島，居住著狐貍和野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之茂盛，兔子們無無食之憂，于是大量繁殖。兔子一多，狐易得食，狐量亦增。而由于狐貍數(shù)目增§4弱肉強(qiáng)食模型24第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一多吃掉大量的兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對安全些，于是兔子總數(shù)回升。這樣，狐兔數(shù)量交替增減，無休止地循環(huán)，遂形成生態(tài)的動態(tài)平衡。意大利著名生物數(shù)學(xué)家沃特拉（Volterra)對上述現(xiàn)象建立了下述模型（8）25第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一其中x(t)表示t時(shí)刻兔子的數(shù)目，y(t)是狐貍數(shù)，ax項(xiàng)表示兔子繁殖速度與兔子現(xiàn)存總數(shù)比例，-bxy項(xiàng)表示狐兔相遇兔子被吃的速度，-cy項(xiàng)表示狐貍因?yàn)橥惛偁幨澄镌斐傻乃劳鏊俣扰c狐貍數(shù)成正比，+dxy項(xiàng)表示狐兔相遇對狐貍有好處而使狐貍繁衍增加的速度?？磥磉@一模型表達(dá)了達(dá)爾文主義思想，而且數(shù)學(xué)分析之后還會充實(shí)和精確表達(dá)上述直觀思想。26第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一方程組等價(jià)于積分得（9）27第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一從（9）解不出y=f(x)這種顯式解，沃特拉發(fā)明了一種巧妙的辦法：在xOy平面上畫出x(t)與y(t)變化相關(guān)性的相圖。令其中K由初始值x0

，y0定出為于是繪出圖5-128第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一圖5-129第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一在L4上，隨t的增加，動點(diǎn)（x(t)，y(t))依逆時(shí)針而動，事實(shí)上，點(diǎn)s是使L1：z=w;

L2：z=yae-by；L3：w=Kx-cedx

；L4：狐兔曲線。30第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一的平衡點(diǎn)（或稱奇點(diǎn)），考慮點(diǎn)P2，P2的橫坐標(biāo)大于,故在P2點(diǎn)，，y增加，在P2處向上運(yùn)動，可見是逆時(shí)針運(yùn)動?，F(xiàn)在考慮對兩個(gè)物種同時(shí)進(jìn)行捕捉，既抓兔子也捉狐貍，于是，模型（8）變成修正模型：（10）31第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一從圖5-1中已經(jīng)看到，x(t)，y(t)是周期為T的周期函數(shù)，同理（10）的解x(t)、y(t)也是周期函數(shù)。對于（8），x(t)，y(t)的平均值為：32第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一又得：而33第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一故

于是同理可得34第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一對于（10）則得由（11）可知，當(dāng)捕捉率不超過兔子的繁殖率a時(shí)，兔子反而會增加，狐貍要減少，反過來，捕捉率降低，平均而言，會增加狐貍的數(shù)目，而減少兔子的數(shù)目。（11）35第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一意大利生物學(xué)家棣安奇納（D.Ancona）發(fā)現(xiàn)，第一次世界大戰(zhàn)那些年代，地中海各港口捕魚量百分比表明，掠肉魚（例如鯊魚）的百分比急劇增加，從上述數(shù)學(xué)分析中，對這種現(xiàn)象已經(jīng)有了理論上的解釋。事實(shí)上，那時(shí)戰(zhàn)火連天，漁民大量停業(yè)，使捕捉率下降，所以相當(dāng)于狐貍的掠肉魚明顯增加。這種結(jié)論在農(nóng)業(yè)防治病蟲害上有很大意義，例如，有兩個(gè)物種（可能是兩36第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一種昆蟲或害蟲與青蛙等），一者是作物的害蟲，一者是害蟲的天敵，若施農(nóng)藥不當(dāng)，雖然可以殺滅一些害蟲，但同時(shí)也殺死了害蟲的天敵，這一“捕捉行為”的實(shí)施，由上述結(jié)論知，可能造成天敵的減少，害蟲的增多，事與愿違，與其施用少量農(nóng)藥治蟲，不如采用生物治蟲的辦法。37第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一§5競爭排斥模型在自然界中不難發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象，兩種生物為了爭奪有限的同一食物、生活空間或配偶，進(jìn)行著激烈的斗爭。達(dá)爾文在《物種起源》一書中明確指出：“最劇烈的斗爭，差不多總是發(fā)生在同種的個(gè)體，因?yàn)樗鼈兙幼≡谕坏赜?，需要同樣食物，遭受同樣威脅。在同種的變種之間，其斗爭之劇烈，大體如此，且有時(shí)在短期內(nèi)即見勝負(fù)。”這里用數(shù)學(xué)模型及其解的定性分析來論證達(dá)爾文的上述思想。兩種相似的38第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一生物之間為爭奪生存條件而斗爭，直至其中一種生物物種完全滅絕才會中止的現(xiàn)象稱為“競爭排斥原理”。這一原理的生物學(xué)解釋是：已知生物群體在群落中有何種習(xí)性、食物和生活繁衍方式等，叫這一種群體“生態(tài)龕”。兩種同類群體，難以占有同一生態(tài)龕。事實(shí)上，如果兩個(gè)群體力圖持有同一個(gè)生態(tài)龕，那么他們之間的生存競爭將是異常之激烈，且以弱者滅亡而告終。生態(tài)龕也可稱為“小環(huán)境”。39第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一在單種群模型中且當(dāng)t時(shí)，記這個(gè)極限可以認(rèn)為是這個(gè)環(huán)境中可以承受的生物體最大數(shù)量。又40第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（12）（12）可以解釋如下：當(dāng)N很小時(shí)，N(t)按照馬爾薩斯定律41第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一增長，aN叫“生物勢”，它是理想條件下，物種的可能增長率。只要對食物、配偶和空間不加限制，又無各個(gè)成員因排泄等造成的對環(huán)境毒化引起流行病害，這種增長率是可以實(shí)現(xiàn)的。但是，隨著總數(shù)的增加，隨的減少而減少。今設(shè)N1(t)，N2(t)分別為物種A和物種B在時(shí)刻t的數(shù)量，K1和K2分別是A與B在小天地中最大可能的個(gè)數(shù)，那么，N1(t)，N2(t)滿足下面的數(shù)學(xué)模型（設(shè)K1≠K2):42第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一(13)其中m2為第二物種B占據(jù)A的位置的數(shù)量，m1為A占據(jù)B的位置的數(shù)量。m2=αN2，

m1=β

N1，如果A和B占有不同的生態(tài)龕，利害不沖突。當(dāng)α=β=1，這時(shí)（13）變成：43第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（14）44第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一§6競爭排斥原理的數(shù)學(xué)分析

為了從數(shù)學(xué)上分析（14）中N1(t)，N2(t)的漸近性態(tài)，先介紹一些常微分方程定性理論的概念和結(jié)論。稱方程組（15）為平面自治系統(tǒng)。45第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一的根叫做（15）的奇點(diǎn)，設(shè)(x*，y*)是（15）的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。

將P(x，y)同Q(x，y)在(x*，y*)附近展開，將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到(x*，y*)，則得：46第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（16）其中x2(x,y)與y2(x,y)是高階項(xiàng)。令47第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一（17）稱為特征方程，其根λ1

，λ2叫做特征根。則得近似線性系統(tǒng)48第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一若λ1

，λ2

是同號實(shí)數(shù)，則奇點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)，λi<0時(shí)是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，即此結(jié)點(diǎn)為“匯”，若λi>0，則此結(jié)點(diǎn)為“源”，匯是漸近穩(wěn)定的所謂“吸引子”，源是不穩(wěn)定的“排斥子”。

若λ1

，λ2是異號實(shí)數(shù)，則奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)。

對于結(jié)點(diǎn)，若是匯，則其附近的軌線皆流入（隨著t

增大）此匯，若為源，49第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一圖5-2中箭頭表示t增加時(shí)軌線的走向，O是鞍點(diǎn)；當(dāng)然另外的情形，鞍點(diǎn)附近軌線的走向可能與圖5-2中走向恰好相反。如果特征根是共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部不為零，則為焦點(diǎn)，負(fù)實(shí)部時(shí)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，奇點(diǎn)近旁的軌線，螺旋式盤旋地趨于奇則t

+∞

時(shí)，此結(jié)點(diǎn)近旁的軌線都遠(yuǎn)離此源。鞍點(diǎn)的形象見圖5-2。50第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

圖5-2o51第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一點(diǎn)（t

+∞

時(shí)），即這時(shí)奇點(diǎn)為匯；正實(shí)部時(shí)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，奇點(diǎn)旁近的軌線盤旋地遠(yuǎn)離奇點(diǎn)，即這時(shí)奇點(diǎn)為源。

焦點(diǎn)形象如圖5-3所示。旋轉(zhuǎn)也可能是順時(shí)針的，圖5-3表達(dá)的是穩(wěn)定焦點(diǎn)，若把箭頭反過來，則為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。52第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

圖5-353第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一關(guān)于閉軌，有以下兩個(gè)命題：

（1）Bendixson準(zhǔn)則：若P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)一次連續(xù)可微，且在D內(nèi)恒正或恒負(fù)，則（15）在D內(nèi)無閉軌。（2）Dulac準(zhǔn)則：若P(x，y)，Q(x，y)在單連通區(qū)域D內(nèi)一次連續(xù)可微，又可以找到函數(shù)B(x,y)也在D內(nèi)一次連續(xù)可微，且在D內(nèi)定號，則（15）在D內(nèi)無閉軌。54第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

如果一個(gè)閉的軌線是孤立的，即此閉軌足夠近的近旁已無其他的閉軌線，則此閉軌Г

足夠近的近旁出發(fā)的軌線或在Г旁邊盤旋地逐漸向Г

無限靠近或盤旋地逐漸遠(yuǎn)離Г

，這時(shí)Г

叫做極限環(huán)，見圖5-4。兩側(cè)皆“靠近”的極限環(huán)叫做穩(wěn)定環(huán)，圖5-4中的Г

就是。若把圖5-4中箭頭反向，則Г

稱為不穩(wěn)定環(huán)。一側(cè)“靠近”，一側(cè)“遠(yuǎn)離”的閉環(huán)為半穩(wěn)定環(huán)。55第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

圖5-456第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一閉軌內(nèi)必含至少一個(gè)奇點(diǎn)，從而極限環(huán)內(nèi)至少有一個(gè)奇點(diǎn)。57第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

下面對自治系統(tǒng)（14）的軌線走向進(jìn)行分析。令

求得三個(gè)奇點(diǎn)（0，0）,（K1,0),(0,K2)，在第一象限內(nèi)部無奇點(diǎn)，所以在第58第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一一象限內(nèi)無閉軌。可見在競爭排斥現(xiàn)象中，已經(jīng)不能如弱肉強(qiáng)食現(xiàn)象那樣形成周期性動態(tài)生態(tài)平衡了。對于奇點(diǎn)（0，0），特征方程為有兩個(gè)正特征根，（0，0）是不定結(jié)點(diǎn)。對于奇點(diǎn)(K1,0)，令ξ=N1-K1,η=N2，則（14）化為59第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一60第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

特征方程是設(shè)K1>K2,則兩個(gè)特征根皆負(fù)，是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。

對于奇點(diǎn)（0,K2)，令ξ=N1,η=N2–K2，則61第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一62第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一特征方程為特征根為是鞍點(diǎn)。

由方程組（14）知，正半N1軸與正半N2軸是由軌線及奇點(diǎn)并成的。63第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

直線K1-N1-N2=0，K2-N1-N2=0將第一象限劃分成為三個(gè)區(qū)域：ΔOK2K2區(qū)域中，皆正；梯形K1K2K2K1區(qū)域中；在其余部分，即那個(gè)無界區(qū)域中，都小于零，綜上所述，繪成圖5-5的相圖，有下面的結(jié)論：排斥競爭原理：假設(shè)K1>K2，則t

+∞

時(shí)，（N1(t)，N2(t))(K1，0)，換句話說，若生物A與生物B有相同的生物龕，64第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

圖5-565第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一而生活環(huán)境所能維持的生物A的數(shù)目比生物B的數(shù)目多，而生物B最終會滅絕。如果在方程組（13）中，m2=αN2，m1=

βN1，而且α≠β，,對于(13)進(jìn)行相似的分析，當(dāng)K1>αK2時(shí)，仍有相同的結(jié)論，即

(N1(t)，N2(t))(K1，0)(t

+∞)仍然是生物B滅絕。進(jìn)一步可分析一切α，β

值時(shí)的競爭排斥的結(jié)局。66第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

在§2“進(jìn)行開發(fā)的單種群模型”當(dāng)中，討論的是嚴(yán)格計(jì)劃管理的情形，最多捕多少才能保證魚池中的魚量有一個(gè)穩(wěn)定的值，為了得到最大凈收入而又保證魚池中魚數(shù)穩(wěn)定，又該撈多少，都有嚴(yán)格的定量管理指標(biāo)。但是，如果是在公海捕魚，各條船可以任意捕撈，捕撈的魚量的多少主要受市場價(jià)值規(guī)律的制約

§7無管理的撈魚模型67第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一，捕魚賺錢多時(shí)，捕魚者增加，市場上魚多了，價(jià)格就要下降，于是捕魚又沒多少錢可賺，捕魚者銳減，水域中魚數(shù)開始回升。在魚的生存密度與捕魚能力之間形成自反饋控制，在這種不加管理的條件下，捕魚模型為：（18）68第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一其中N(t)是魚群密度，E(t)是撈魚能力，p是捕單位重量的魚得到的報(bào)酬，c是單位能力的成本，r、k為正常數(shù)。

（18）的奇點(diǎn)為的根，故得奇點(diǎn)：69第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一

當(dāng)

時(shí)，有兩個(gè)奇點(diǎn)（0，0），（K，0)；時(shí)，在第一象限也僅兩個(gè)奇點(diǎn)（0，0），（K，0)；時(shí)，在第一象限有上述三個(gè)奇點(diǎn)。對于（0，0)點(diǎn)（18）的特征方程為特征根為70第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期一對于（K，0)點(diǎn)，令（18）的線性近似為

故（0，0）是鞍點(diǎn)。71第71頁，共84頁，2023年，2月2