第5章-系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性

第5章

系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性建模分析設(shè)計狀態(tài)空間表達式建立求解轉(zhuǎn)換能控性能觀性穩(wěn)定性線性系統(tǒng)的時間域理論預(yù)覽定量分析定性分析第5章系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性5.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性5.2李亞普諾夫意義下運動穩(wěn)定性的一些基本概念5.3李亞普諾夫第二方法的主要定理5.4構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法5.5連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性判據(jù)5.6連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定自由運動的衰減性能的估計5.7離散時間系統(tǒng)狀態(tài)運動的穩(wěn)定性及其判據(jù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)性能研究的首要問題！控制系統(tǒng)本身處于平衡狀態(tài)。受到擾動，產(chǎn)生偏差。擾動消失后，偏差逐漸變小，能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則穩(wěn)定偏差逐漸變大，不能恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則不穩(wěn)定系統(tǒng)在初始偏差作用下，過渡過程的收斂性。5.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性如果對任意一個有界輸入u(t),即滿足條件對應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)勞斯（Routh）判據(jù)奈氏（Nyquist）判據(jù)經(jīng)典控制理論對有界輸入有界輸出穩(wěn)定就是外部穩(wěn)定只適用于線性系統(tǒng)結(jié)論5.1對零初始條件的線性時變系統(tǒng)結(jié)論5.2對零初始條件的線性時不變系統(tǒng)結(jié)論5.3對零初始條件的線性時不變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣所有極點均具有負實部現(xiàn)代控制理論對穩(wěn)定性分析的特點（1）穩(wěn)定判據(jù)可用于線性/非線性，定常/時變系統(tǒng)；（2）研究系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性；現(xiàn)代控制理論的穩(wěn)定性判據(jù)李雅普諾夫（Lyapunov）穩(wěn)定性理論（3）能夠反映系統(tǒng)穩(wěn)定的本質(zhì)特征。內(nèi)部穩(wěn)定性如果由時刻t0任意非零初始條件x(t0)=x0引起的狀態(tài)零輸入響應(yīng)x0u(t)對所有t∈[t0,∞)為有界，并滿足漸近屬性即成立結(jié)論5.4線性時變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定結(jié)論5.5線性時不變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定結(jié)論5.6線性時不變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定

結(jié)論5.7線性時不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定反之不一定成立，但若系統(tǒng)既能控又能觀測，則成立。（對時變系統(tǒng)不成立）內(nèi)部和外部穩(wěn)定性的關(guān)系就一般系統(tǒng)而言，兩種穩(wěn)定性沒有必然的聯(lián)系，對于同一個線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。對于線性定常系統(tǒng)，若該線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則一定是輸入輸出穩(wěn)定的，反之，則不盡然。歐式范數(shù)表示向量x的長度表示向量x

到xe的距離表示狀態(tài)空間中，以xe為圓心，半徑為c的圓表示狀態(tài)空間中，以xe為球心，半徑為c的球5.2李亞普諾夫意義下運動穩(wěn)定性的一些基本概念設(shè)系統(tǒng)方程為：不受外力n維狀態(tài)向量n維向量函數(shù)展開式為：方程的解為：初始狀態(tài)向量初始時刻自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)由初態(tài)x0引起的運動受擾運動各分量相對于時間不再發(fā)生變化所有狀態(tài)的變化速度為零，即是靜止?fàn)顟B(tài)

線性定常系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：一個平衡狀態(tài):狀態(tài)空間原點無窮多個平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)線性系統(tǒng)：

一般只有一個平衡狀態(tài)，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性能夠表征整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)：有多個平衡狀態(tài)，且可能穩(wěn)定性不同，需將每個平衡點分別討論。非線性系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：多個平衡狀態(tài)例：

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)

xe為球心，δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即若能使系統(tǒng)方程的解在t→∞的過程中，始終位于以xe為球心，任意規(guī)定的半徑為ε的閉球域S(ε)內(nèi)，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下穩(wěn)定幾何意義：

任給一個球域S(ε)，若存在一個球域S(δ)，使得當(dāng)t→∞時，從S(δ)出發(fā)的軌跡不離開S(ε)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。若δ與初始時刻t0無關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是一致穩(wěn)定的。時變系統(tǒng)δ與t0有關(guān)定常系統(tǒng)δ與t0無關(guān)一致穩(wěn)定與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義不同。李雅普諾夫穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)鄰域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。系統(tǒng)做等幅振蕩時，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過S(xe,)，就是李雅普諾夫穩(wěn)定的，而經(jīng)典控制理論則認(rèn)為不穩(wěn)定。

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)xe為球心，

δ為半徑的閉球域S(δ)內(nèi)，即則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。若系統(tǒng)方程的平衡狀態(tài)xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有若δ與初始時刻t0無關(guān)，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是一致漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定幾何意義：

當(dāng)t→∞時，從S(δ)出發(fā)的軌跡不僅不超出S(ε)，而且最終收斂于xe，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。與經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義相同。經(jīng)典控制理論的BIBO穩(wěn)定性，就是李雅普諾夫意義下的漸近穩(wěn)定。穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠不會跑出球域S(xe,)，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運動軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平衡狀態(tài)xe初始狀態(tài)在整個狀態(tài)空間時，平衡狀態(tài)都漸近穩(wěn)定

當(dāng)初始條件擴展到整個狀態(tài)空間，且平衡狀態(tài)均具有漸近穩(wěn)定性時，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。幾何意義：當(dāng)t→∞時，從狀態(tài)空間任意一點出發(fā)的軌跡都收斂于xe

。大范圍漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)，如果漸近穩(wěn)定，則必然大范圍漸近穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件密切相關(guān)，如果漸近穩(wěn)定，不一定大范圍漸近穩(wěn)定。初始狀態(tài)有界，隨時間推移，狀態(tài)向量距平衡點越來越遠如果對于某個實數(shù)ε>0和任一個實數(shù)δ>0，不管這兩個實數(shù)有多小，在S(δ)內(nèi)總存在著一個狀態(tài)x0，由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε)，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。幾何意義：不穩(wěn)定5.3李雅普諾夫第二方法的主要定理小范圍內(nèi)穩(wěn)定性分析方法，泰勒展開，線性化李亞普諾夫第一方法俄國學(xué)者李雅普諾夫1857–1918)發(fā)表題為“運動穩(wěn)定性一般問題”的著名文獻（，建立了關(guān)于運動穩(wěn)定性研究的一般理論第一類方法是將非線性系統(tǒng)在平衡態(tài)附近線性化，然后通過討論線性化系統(tǒng)的特征值(或極點)分布及穩(wěn)定性來討論原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。這是一種較簡捷的方法，與經(jīng)典控制理論中判別穩(wěn)定性方法的思路是一致的。該方法稱為間接法，亦稱為李雅普諾夫第一法不必求解微分方程，直接判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性廣義能量屬性的李亞普諾夫函數(shù)李亞普諾夫第二方法第二類方法不是通過解方程或求系統(tǒng)特征值來判別穩(wěn)定性，而是通過定義一個叫做李雅普諾夫函數(shù)的標(biāo)量函數(shù)來分析判別穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二法它是在用能量觀點分析穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上建立起來的。系統(tǒng)運動需要能量。在非零初始狀態(tài)作用下的運動過程中，若能量隨時間衰減以致最終消失，則系統(tǒng)遲早會達到平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)漸近穩(wěn)定反之，若平衡態(tài)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)將不斷地從外界吸收能量，其儲存的能量將越來越大若能量在運動過程中不增不減，則稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定基于這樣的觀點，只要能找出一個能合理描述動態(tài)系統(tǒng)的n維狀態(tài)的某種形式的能量正性函數(shù)，通過考察該函數(shù)隨時間推移是否衰減，就可判斷系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性例：機械位移系統(tǒng)選狀態(tài)方程系統(tǒng)能量例：機械位移系統(tǒng)選系統(tǒng)能量能量隨時間變化率能量不斷衰減運動會停止嗎？

例：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量能量隨時間變化率能量不斷衰減漸近穩(wěn)定！一、標(biāo)量函數(shù)V(x,t)定號性正定負定數(shù)學(xué)預(yù)備知識正半定負半定不定例：已知，確定標(biāo)量函數(shù)的定號性。解：正定解：正半定解：解：負半定不定二、二次型定號性二次型：各項均為自變量的二次單項式的標(biāo)量函數(shù)P為實對稱矩陣?yán)?/p>

二次型正定矩陣P正定P的各階順序主子式>0二次型負定矩陣P負定P的各階順序主子式負正相間二次型正半定矩陣P正半定P的各階順序主子式二次型負半定矩陣P負半定P的各階順序主子式負正相間，或等于零例：確定下列二次型的定號性。解：正定P的各階順序主子式>0矩陣P定號性的判別方法二矩陣P正定矩陣P負定矩陣P正半定矩陣P負半定例：確定下列二次型的定號性解：矩陣P的特征值的符號有正有負，即符號不定不定李雅普諾夫第二法的基本思想

求出系統(tǒng)的能量函數(shù)（李雅普諾夫函數(shù)）

——標(biāo)量函數(shù)。

求出能量隨時間變化率。

依據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程考察能量函數(shù)在運動過程中的變換規(guī)律。

利用和的符號特征，判斷平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。李亞普諾夫主穩(wěn)定性原理：

為孤立平衡狀態(tài)即對所有若可構(gòu)造對和有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個標(biāo)量函數(shù)，且對所有非零狀態(tài)有:(i)正定且有界，即存在兩個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)和，其中和,并對所有和所有成立：(ii)對時間的導(dǎo)數(shù)負定且有界，即存在一個連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)，其中，使對所有和所有成立：(iii)當(dāng)，有即。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)x=0為大范圍一致漸近穩(wěn)定。幾點說明：(1)適用于線性/非線性，時變/時不變系統(tǒng)；(2)物理含義：“廣義能量”有界，“廣義能量的變化率”為負，則系統(tǒng)運動最終回到平衡狀態(tài)；(3)判據(jù)的充分性屬性(1)正定(2)負定(3)則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。

（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中f(0)=0，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足：時不變系統(tǒng)-大范圍漸近穩(wěn)定例：分析下列系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：選取：正定負定大范圍（一致）漸近穩(wěn)定幾何意義：表示系統(tǒng)狀態(tài)到空間原點的距離。表示狀態(tài)趨向原點的速度。例：機械位移系統(tǒng)選狀態(tài)方程系統(tǒng)能量正定例：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定正定負半定根據(jù)所選的李雅普諾夫函數(shù)分析不出該平衡態(tài)是否漸近穩(wěn)定或穩(wěn)定。但這也并不意味著該平衡態(tài)就并不漸近穩(wěn)定。(1)正定(2)負半定則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為大范圍（一致）漸近穩(wěn)定。

（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中f(0)=0，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)V(x)，滿足：(4)(3)時不變系統(tǒng)-大范圍漸近穩(wěn)定例：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定正定負半定但不恒等于0能量不斷衰減漸近穩(wěn)定(1)正定(2)負半定(3)則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。

（線性/非線性)定常系統(tǒng)：，其中，如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)滿足：(4)系統(tǒng)保持穩(wěn)定的等幅振蕩，非漸近穩(wěn)定！能量不變！時不變系統(tǒng)-李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定例：機械位移系統(tǒng)系統(tǒng)能量正定恒等于0能量不變李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定選狀態(tài)方程則系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。

時變系統(tǒng)定常系統(tǒng)：如果存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)其中，且滿足：(1)(2)時不變系統(tǒng)-不穩(wěn)定例

確定狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的平衡態(tài)穩(wěn)定性。選擇李雅普諾夫函數(shù)平衡點原點(0,0)解：正定正定系統(tǒng)為不穩(wěn)定的

V(x)結(jié)論正定(>0)負定(<0)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)負半定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)漸近穩(wěn)定正定(>0)負半定(0)且恒為0(對某一非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)穩(wěn)定但非漸近穩(wěn)定正定(>0)正定(>0)該平衡態(tài)不穩(wěn)定正定(>0)正半定(0)且不恒為0(對任意非零的初始狀態(tài)的解)該平衡態(tài)不穩(wěn)定注意上述定理是系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定的充分條件。如果不滿足定理，系統(tǒng)零平衡狀態(tài)不一定不穩(wěn)定！應(yīng)該重新選取李雅普諾夫函數(shù)進行分析。對于漸近穩(wěn)定的平衡態(tài)，滿足條件的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的，但并不唯一李雅普諾夫第二法的結(jié)論并沒有指明尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法尋找李雅普諾夫函數(shù)的方法將依具體的系統(tǒng)和狀態(tài)方程而具體分析5.4構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的規(guī)則化方法針對各類非線性系統(tǒng)的特性，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)通過特殊函數(shù)來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的克拉索夫斯基法(也叫雅克比矩陣法)針對特殊函數(shù)的變量梯度構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的變量梯度法(也叫舒爾茨-吉布生法)針對特殊非線性系統(tǒng)進行線性近似處理的阿依捷爾曼法(也叫線性近似法)、魯立葉法等克拉索夫斯基法非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為平衡態(tài)xe=0f(x)對狀態(tài)變量x是連續(xù)可微的雅可比矩陣對上述非線性系統(tǒng)，有如下判別漸近穩(wěn)定性的克拉索夫斯基定理非線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的充分條件為為負定的矩陣函數(shù)，且為該系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)若當(dāng)||x||→∞時，有||f(x)||→∞，則該平衡態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的定理推論克拉索夫斯基定理只是漸近穩(wěn)定的一個充分條件，不是必要條件。線性定常連續(xù)系統(tǒng)不是負定矩陣

由克拉索夫斯基定理判別不出該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的說明1漸近穩(wěn)定說明2使為負定的必要條件是F(x)主對角線上所有元素均不為零，即

不能采用克拉索夫斯基方法說明3將克拉索夫斯基定理推廣到線性定常連續(xù)系統(tǒng)可知:對稱矩陣A+AT負定，則系統(tǒng)的原點是大范圍漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)可看作非線性系統(tǒng)的特殊情況，故也適用于線性系統(tǒng)例試確定如下非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性:解:李雅普諾夫函數(shù)負定平衡態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的5.5連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)1.特征值判據(jù)線性時不變系統(tǒng)平衡狀態(tài)李亞普諾夫意義下穩(wěn)定A的特征值具有非正實部，且零實部特征值只能為A的最小多項式的單根。漸近穩(wěn)定A的特征值均具有負實部

不穩(wěn)定A的特征值中至少有一個具有正實部線性定常連續(xù)系統(tǒng)選取正定二次型函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù)線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)原點是唯一的平衡狀態(tài)2.李雅普諾夫判據(jù)令線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定給定存在滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定給定存在滿足李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程判別步驟：(2)求解(1)選取為正定實對稱矩陣（對角陣或單位陣）；(3)若P為正定實