2022-2023學年河南省高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從5名女教師和3名男教師中選出一位主考、兩位監(jiān)考參加2019年高考某考場的監(jiān)考工作．要求主考固定在考場前方監(jiān)考，一女教師在考場內(nèi)流動監(jiān)考，另一位教師固定在考場后方監(jiān)考，則不同的安排方案種數(shù)為（）A．105 B．210 C．240 D．6302．若二次函數(shù)圖象的頂點在第四象限且開口向上，則導函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．3．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越小D．命題“若，則”的逆否命題為真命題4．設(shè)函數(shù)，則“”是“有4個不同的實數(shù)根”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．函數(shù)有()A．最大值為1 B．最小值為1C．最大值為 D．最小值為7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．或 B． C． D．8．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學.有人詢問了四名員工，甲說：“好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去.”丙說：“是丁去了.”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學的員工是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．用數(shù)學歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應加（）A． B． C． D．10．在邊長為1的正中，，是邊的兩個三等分點（靠近于點），等于（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]12．將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學等三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（）A．150種 B．180種 C．240種 D．540種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則實數(shù)α的值是_______.14．已知，用數(shù)學歸納法證明時，有______．15．i為虛數(shù)單位，設(shè)復數(shù)z滿足，則z的虛部是____16．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列.若，且，則數(shù)列的公比__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）證明不等式：，；（2）已知，；；p是q的必要不充分條件，求的取值范圍.18．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接.（1）證明：平面.試判斷四面體是否為“鱉臑”，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（2）若，求直線與平面所成角的正切值.19．（12分）已知為函數(shù)的導函數(shù),.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時,恒成立,求的取值范圍.20．（12分）某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.21．（12分）在四棱錐中，，是的中點，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．22．（10分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，求證：．（注：為自然對數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：由題意得，先選一名女教師作為流動監(jiān)控員，共有種，再從剩余的人中，選兩名監(jiān)考員，一人在前方監(jiān)考，一人在考場后監(jiān)考，共有種，所以不同的安排方案共有種方法，故選B．考點：排列、組合的應用．2、A【解析】分析：先根據(jù)二次函數(shù)的判斷出的符號，再求導，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷所經(jīng)過的象限即可．詳解：∵函數(shù)的圖象開口向上且頂點在第四象限，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，

∴選項A符合，

故選：A．點睛：本題考查了導數(shù)的運算和一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

利用四種命題之間的變換可判斷A；根據(jù)全稱命題的否定變法可判斷B；利用相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系可判斷C；利用原命題與逆否命題真假關(guān)系可判斷D.【詳解】對于A，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故A錯誤；對于B，命題“，”的否定是“，”，故B錯誤；對于C，樣本的相關(guān)系數(shù)r，越接近于1，線性相關(guān)程度越大，故C錯誤；對于D，命題“若，則”為真命題，故逆否命題也為真命題，故D正確；故選：D【點睛】本題考查了判斷命題的真假、全稱命題的否定、四種命題的轉(zhuǎn)化以及原命題與逆否命題真假關(guān)系、相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性將有四個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為時，有兩個零點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果.詳解：是偶函數(shù)，有四個不同根，等價于時，有兩個零點，時，，，時，恒成立，遞增，只有一個零點，不合題意，時，令，得在上遞增；令，得在上遞減，時，有兩個零點，，，得，等價于有四個零點，“”是“有4個不同的實數(shù)根”的必要不充分條件，故選B.點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)與方程思想的應用，所以中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點問題是高考的高頻考點，考生需要對初高中階段學習的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點的幾種等價形式：函數(shù)的零點函數(shù)在軸的交點方程的根函數(shù)與的交點.5、C【解析】分析：由題意，該幾何體是一個正四棱柱切了四個角（小三棱錐），從而利用體積公式計算即可.詳解：由題意，該幾何體是一個正四棱柱切了四個角（小三棱錐），則.故選：C.點睛：(1)解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡單的幾何體組成的以及這些簡單的幾何體的組合情況；(2)由三視圖求幾何體的面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，同時還需掌握求體積的常用技巧如：割補法和等價轉(zhuǎn)化法．6、A【解析】

對函數(shù)進行求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷出函數(shù)的最值情況.【詳解】解:，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，有最大值為，故選A.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題，對函數(shù)的導函數(shù)的正負性的判斷是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

先求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)小于零，解不等式即可得出單調(diào)遞減區(qū)間。【詳解】由題可得，令，即，解得或，又因為，故，故選C【點睛】本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是注意定義域，屬于簡單題。8、A【解析】

逐一假設(shè)成立，分析，可推出?！驹斀狻咳粢胰?，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故選A.【點睛】本題考查合情推理，屬于基礎(chǔ)題。9、D【解析】

當成立，當時，寫出對應的關(guān)系式，觀察計算即可得答案.【詳解】在第二步證明時，假設(shè)時成立，即左側(cè)，則成立時，左側(cè)，左邊增加的項數(shù)是，故選：D．【點睛】本題考查數(shù)學歸納法，考查到成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應用的能力，屬于中檔題．10、C【解析】試題分析：如圖，，是邊的兩個三等分點，故選C.考點：平面向量數(shù)量積的運算11、D【解析】

由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時，均單調(diào)遞減，且，即可求解.【詳解】因為函數(shù)為上的減函數(shù)，所以當時，遞減，即，當時，遞減，即，且，解得，綜上可知實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應用，其中熟練掌握分段的基本性質(zhì)，列出相應的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】先將個人分成三組,或,分組方法有中,再將三組全排列有種,故總的方法數(shù)有種.選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由冪函數(shù)的定義，把代入可求解.【詳解】點在冪函數(shù)的圖象上，，，故答案為：【點睛】本題考查冪函數(shù)的定義.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)冪函數(shù)在上都有定義；(2)冪函數(shù)的圖象過定點；(3)當時，冪函數(shù)的圖象都過點和，且在上單調(diào)遞增；(4)當時，冪函數(shù)的圖象都過點，且在上單調(diào)遞減；(5)當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．14、【解析】

根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當時，，兩式相減，化簡即可求解出結(jié)果?！驹斀狻坑深}可知，，，所以．故答案為?！军c睛】本題主要考查利用數(shù)學歸納法證明不等式過程中的歸納遞推步驟。15、【解析】分析：直接利用復數(shù)的乘法運算，化簡復數(shù)，然后求出復數(shù)的虛部.詳解：由，可得,，可得，所以，的虛部是，故答案為點睛：本題主要考查乘法運算以及復數(shù)共軛復數(shù)的概念，意在考查對復數(shù)基本概念與基本運算掌握的熟練程度.16、2【解析】

本題可以點把轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于公比的一元二次方程，再根據(jù)遞增數(shù)列得出結(jié)論?！驹斀狻浚蛞驗榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列所以【點睛】要注意一個遞增的等比數(shù)列，它的公比大于1。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得證；（2）解出命題中的不等式，由題中條件得出的兩個取值范圍之間的包含關(guān)系，然后列出不等式組可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）即證：，.令，，則，令，得.當時，；當時，.所以，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即.因此，，因此，對任意的，；（2）解不等式，得，則.由于是的必要不充分條件，則，則有，解得.當時，則，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題第（1）考查利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，一般構(gòu)造差函數(shù)，轉(zhuǎn)化為差函數(shù)的最值來證明，第（2）問考查利用充分必要條件求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩集合間的包含關(guān)系求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學思想，屬于中等題.18、（1）證明見解析，是“鱉臑”，四個直角分別為，，，；（2）【解析】

（1）先證明面，可得，然后結(jié)合即可證明面，然后再證明面，即可得出四面體的四個面都是直角三角形（2）如圖所示建立空間直角坐標系，是面的一個法向量，然后利用算出即可.【詳解】（1）由面，面得，又，從而面，因為面所以由得面由面，面得，又，從而面可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是“鱉臑”，四個直角分別為，，，（2）如圖所示建立空間直角坐標系，，，，由面可知，是面的一個法向量，設(shè)直線與面所成角為，，，即直線與平面所成角的正切值為【點睛】向量法是求立體幾何中的線線角、線面角、面面角常用的方法.19、（1）在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.（2）【解析】分析：(1)首先令，求得，再對函數(shù)求導，令，得，從而確定函數(shù)解析式，并求得，之后根據(jù)導數(shù)的符號對函數(shù)的單調(diào)性的決定性作用，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)構(gòu)造新函數(shù)，將不等式恒成立問題向函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化，對參數(shù)進行分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的最值點，最后求得結(jié)果.詳解：(1)由,得.因為,所以,解得.所以,，當時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)令，根據(jù)題意,當時,恒成立..①當,時,恒成立，所以在上是增函數(shù),且，所以不符合題意;②當,時,恒成立,所以在上是增函數(shù),且所以不符合題意;③當時,因為,所有恒有,故在上是減函數(shù),于是“對任意都成立”的充要條件是，即，解得,故.綜上,的取值范圍是.點睛：該題考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的問題，在解題的過程中，首先需要求，從而確定函數(shù)的解析式，之后求導，令其大于零即為增函數(shù)，令其小于零，即為減函數(shù)，最后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；關(guān)于不等式恒成立問題，大多采用構(gòu)造新函數(shù)，向最值靠攏，求導，研究單調(diào)性求得結(jié)果.20、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）元.【解析】試題分析：（I）設(shè)工種每份保單的保費，則需賠付時，收入為，根據(jù)概率分布可計算出保費的期望值為，令解得.同理可求得工種保費的期望值；（II）按照每個工種的人數(shù)計算出份數(shù)然后乘以（1）得到的期望值，即為總的利潤.試題解析：（Ⅰ）設(shè)工種的每份保單保費為元，設(shè)保險公司每單的收益為隨機變量，則的分布列為保險公司期望收益為根據(jù)規(guī)則解得元，設(shè)工種的每份保單保費為元，賠付金期望值為元，則保險公司期望利潤為元，根據(jù)規(guī)則，解得元，設(shè)工種的每份保單保費為元，賠付金期望值為元，則保險公司期望利潤為元，根據(jù)規(guī)則，解得元.（Ⅱ）購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，企業(yè)支付的總保費為元，保險公司在這宗交易中的期望利潤為元.21、（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣