證券投資學(xué)之衍生資產(chǎn)定價(jià)期權(quán)定價(jià)理論及其應(yīng)用

第十章衍生資產(chǎn)定價(jià)：

期權(quán)定價(jià)理論及其應(yīng)用第一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。期權(quán)定價(jià)的技巧被廣泛的應(yīng)用到許多金融領(lǐng)域和非金融領(lǐng)域，包括各種衍生證券定價(jià)、公司投資決策等。學(xué)術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的巨大進(jìn)步帶來(lái)了實(shí)際領(lǐng)域的飛速發(fā)展。期權(quán)定價(jià)的技巧對(duì)產(chǎn)生全球化的金融產(chǎn)品和金融市場(chǎng)起著最基本的作用。近年來(lái)，從事金融產(chǎn)品的創(chuàng)造及定價(jià)的行業(yè)蓬勃發(fā)展，從而使得期權(quán)定價(jià)理論得到不斷的改進(jìn)和拓展。第二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。所以，無(wú)論從理論還是從實(shí)際需要出發(fā)，期權(quán)定價(jià)的思想都具有十分重要的意義。第三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。1.一些基本定義例子：投資者B和W計(jì)劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W200元，交換條件是在接下來(lái)的六個(gè)月的任何時(shí)間，允許B自愿從W那里以150元/股的價(jià)格購(gòu)買100股IBM公司股票。IBM公司股票現(xiàn)在的價(jià)格為145元/股。問(wèn)題：B和W為什么都愿意簽定這個(gè)合同？B如果不支付給W200元，W是否愿意簽定這個(gè)合同？第四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。例子：投資者B和W計(jì)劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W200元，交換條件是在接下來(lái)的六個(gè)月的任何時(shí)間，允許B可自愿以135元/股的價(jià)格賣給W100股IBM公司股票。IBM公司股票現(xiàn)在的價(jià)格為145元/股。問(wèn)題：B和W為什么都愿意簽定這個(gè)合同？B如果不支付給W200元，W是否愿意簽定這個(gè)合同？第五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。看漲期權(quán)、看跌期權(quán)一種期權(quán)具有四個(gè)特征：1）這種期權(quán)能夠買（對(duì)于看漲期權(quán)而言）或者賣（對(duì)于看跌期權(quán)而言）的對(duì)象，或者說(shuō)，合約是關(guān)于哪種資產(chǎn)的合約，我們稱這種資產(chǎn)為標(biāo)的物(underlyingasset)。以股票為標(biāo)的物的期權(quán)，每份期權(quán)通常包括100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，是一份可以買100份IBM公司股票的權(quán)利。第六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。2）執(zhí)行價(jià)格(exerciseprice,或者strikeprice)。這個(gè)價(jià)格是執(zhí)行期權(quán)合約時(shí)，可以以此價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的物的價(jià)格。對(duì)于以IBM公司股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，如果執(zhí)行價(jià)格為150美元，則在執(zhí)行這種期權(quán)時(shí)，按每份股票150美元購(gòu)買。3）期權(quán)有效的時(shí)間區(qū)間由到期日(expirationdate)來(lái)確定。這段時(shí)間區(qū)間可以是一天、一個(gè)星期、或者一年。以IBM公司股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)，如果到期日為六個(gè)月，則在這六個(gè)月里，這份權(quán)利都是有效的。第七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。4）期權(quán)應(yīng)該包括是否可以在到期日之前執(zhí)行這種權(quán)利。如果在到期日之前的任何時(shí)間以及到期日都能執(zhí)行，我們稱這種期權(quán)為美式期權(quán)。如果只能在到期日?qǐng)?zhí)行，稱為歐式期權(quán)。美式和歐式這兩個(gè)名詞曾代表了以股票為標(biāo)的物的期權(quán)在美洲和歐洲的結(jié)構(gòu)形式。但是現(xiàn)在，它們已成為反映兩種不同結(jié)構(gòu)的期權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)名詞，而不管期權(quán)是在哪兒發(fā)行的。第八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。看漲期權(quán)(calloption)、看跌期權(quán)(putoption)、鞍式期權(quán)(straddleoption)、蝶式期權(quán)(butterflyspreadoption)、實(shí)值期權(quán)(inthemoneyoption)、兩平期權(quán)(atthemoneyoption)、虛值期權(quán)(outofthemoneyoption)所有合約都是由看漲期權(quán)、看跌期權(quán)、股票和債券四種基本證券構(gòu)成地。第九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。Exoticoption:AsianoptionBarrieroptionLookbackoptionCurrency-translatedoptionBinaryoption第十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。所有股票期權(quán)合約在標(biāo)的股票發(fā)生拆股或者分紅股的情況時(shí)，執(zhí)行價(jià)格和合約中規(guī)定的股數(shù)都要作相應(yīng)的調(diào)整。例子：假如在購(gòu)買上述期權(quán)的當(dāng)天，IBM公司股票的價(jià)格為145元，第二天，1股拆成6股。股價(jià)變?yōu)?45/6元。第十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。期權(quán)的這四個(gè)特征——標(biāo)的物、是看漲還是看跌、執(zhí)行價(jià)格、到期日（包括是美式還是歐式）——說(shuō)明了一種期權(quán)的各個(gè)細(xì)節(jié)。期權(quán)是兩人之間的一種合約，其中的一人給予另外一人在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)，可以以規(guī)定的價(jià)格買或者賣某種規(guī)定的資產(chǎn)的權(quán)利。第十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。獲得權(quán)利的一方需要做出是否接受該權(quán)利的決定，我們稱這一方為期權(quán)的買者(optionbuy)，因?yàn)樗枰跺X來(lái)獲得這種權(quán)利。提供權(quán)利的一方稱為期權(quán)的寫者(optionwriter)。例如，歐式看漲期權(quán)是一種證券，這種證券給出了期權(quán)持有者在到期日以執(zhí)行價(jià)格購(gòu)買標(biāo)的物的權(quán)利。何時(shí)買看漲期權(quán)，何時(shí)買看跌期權(quán)？第十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。既然期權(quán)的持有者獲得的是權(quán)利而不需要承擔(dān)什么義務(wù)，他就必須花錢購(gòu)買這個(gè)權(quán)利，那么，公平的價(jià)格應(yīng)該是多少？這是證券投資學(xué)研究的重要內(nèi)容。第十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。2影響歐式期權(quán)價(jià)格的因素本章的主要目的：如何確定以金融證券為標(biāo)的物的歐式期權(quán)的價(jià)格。在整個(gè)一章中假設(shè)：如果無(wú)特殊說(shuō)明，標(biāo)的物在到期日以前不支付紅利。第十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。期權(quán)理論之所以重要，不僅僅因?yàn)槠跈?quán)在證券市場(chǎng)結(jié)構(gòu)中具有重要的作用，也因?yàn)槠跈?quán)理論說(shuō)明了投資學(xué)的基本原理被提高到了一個(gè)新的水平——在以動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中應(yīng)用這些原理。第十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。假設(shè)一種歐式看漲期權(quán)，它以某種股票為標(biāo)的物，該股票在時(shí)間t的價(jià)格以表示，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為，到期日為，期權(quán)在時(shí)間t的價(jià)格為。第十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。第一，在到期日T，期權(quán)的價(jià)值為多少。1）2）

把期權(quán)在T時(shí)的價(jià)格顯示地表示成股票價(jià)格的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)如下圖所示。該圖說(shuō)明當(dāng)

，期權(quán)的價(jià)值為零，當(dāng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值隨著股票價(jià)格的增加而線性增加。例子：期權(quán)不可能有負(fù)的價(jià)值，責(zé)任有限金融工具。第十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。圖1看漲期權(quán)在到期日的收益第十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。對(duì)于歐式看跌期權(quán)而言，上述結(jié)果正好反過(guò)來(lái)。假設(shè)一種看跌期權(quán)，它以某種股票為標(biāo)的物，該股票在時(shí)間t的價(jià)格以表示，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為，到期日為T，期權(quán)在時(shí)間t的價(jià)格為第二十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在到期日T，期權(quán)的價(jià)值。1）2）

把期權(quán)在T時(shí)的價(jià)格顯示地表示成股票價(jià)格的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)如下圖所示。該圖說(shuō)明當(dāng)

，期權(quán)的價(jià)值為零，當(dāng)時(shí)，期權(quán)的價(jià)值隨著股票價(jià)格的增加而線性減少。第二十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。圖2看跌期權(quán)在到期日的收益第二十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。注意，看跌期權(quán)在時(shí)的價(jià)值是有界的，而看漲期權(quán)在時(shí)的價(jià)格是無(wú)界的。相反，當(dāng)寫一份看漲期權(quán)時(shí)，可能的損失是無(wú)界的。第二十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。期權(quán)的寫者的收益看漲期權(quán)的寫者在到期日的收益第二十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。看跌期權(quán)的寫者在到期日的收益第二十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。對(duì)于看漲期權(quán)而言，如果分別有、 、，則稱一份看漲期權(quán)分別為實(shí)值期權(quán)(inthemoneyoption)、兩平期權(quán)(atthemoneyoption)、虛值期權(quán)(outofthemoneyoption)。這些名稱適用于任何時(shí)間，但在到期日，這些名稱描述了期權(quán)價(jià)值的特征。對(duì)于看跌期權(quán)，我們也有類似的名稱。第二十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。第二，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值。即使在到期日以前的任何時(shí)間，歐式期權(quán)均有價(jià)值，因?yàn)樗峁┝藢?lái)執(zhí)行權(quán)利的可能性。例如，以GM公司股票為標(biāo)的物的一種期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為40美元，到期日為三個(gè)月。假設(shè)GM公股票現(xiàn)在的價(jià)格為37美元。顯然，在接下來(lái)的三個(gè)月中，該股票的價(jià)格有可能上漲而超過(guò)40美元，從而有執(zhí)行該期權(quán)而獲得利潤(rùn)的可能。從這兒可以看出，即使現(xiàn)在期權(quán)是虛值的，它也具有價(jià)值。第二十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在到期日以前的任何時(shí)間t，這里，作為股票價(jià)格的函數(shù)，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是t時(shí)股票價(jià)格的光滑函數(shù)，其圖形如圖3所示。第二十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。

6個(gè)月3個(gè)月圖3具有不同到期日的期權(quán)價(jià)格曲線時(shí)間價(jià)值第二十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。這條光滑曲線可以利用歷史的實(shí)際數(shù)據(jù)，通過(guò)回歸分析來(lái)得到。在圖中，粗的折線表示在到期日，期權(quán)的價(jià)格曲線。這條線上面的曲線對(duì)應(yīng)于到期日不同的期權(quán)的價(jià)格曲線。在粗折線上的第一條對(duì)應(yīng)的到期日為三個(gè)月，緊接著的一條曲線對(duì)應(yīng)的到期日為六個(gè)月，到期日越長(zhǎng)的曲線越在上面。這表明，在到期日以前的任何時(shí)間，對(duì)于同一股票價(jià)格，到期日越長(zhǎng)的期權(quán)，其價(jià)格越高。這是因?yàn)椋狡谌赵介L(zhǎng)，標(biāo)的股票價(jià)格上揚(yáng)，從而增加最后支付的可能性越大。第三十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。當(dāng)股票的價(jià)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于或者小于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，隨著到期日的增加，期權(quán)價(jià)格增加的幅度越來(lái)越小。當(dāng)股票的價(jià)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，持有期權(quán)并不比持有股票占多大的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)股票的價(jià)格遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，股票價(jià)格上漲超過(guò)的可能性很小，從而期權(quán)的價(jià)格為零。第三十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。第三，還有哪些因素影響期權(quán)的價(jià)格？1）執(zhí)行價(jià)格從(1)和(2)式可以看出，一種看漲期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格越小，股票價(jià)格超過(guò)的可能性就越大，這種看漲期權(quán)也就越有價(jià)值。對(duì)于看跌期權(quán)，結(jié)果正好相反。2）標(biāo)的股票價(jià)格的方差在投資的過(guò)程中，投資者偏好以方差較大的股票為標(biāo)的物的期權(quán)。方差越大，股票價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率越大，這種期權(quán)對(duì)投資者也就越有價(jià)值。第三十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。假設(shè)有兩種期權(quán)，具有相同的執(zhí)行價(jià)格，但標(biāo)的股票價(jià)格的分布不同，如圖4，這兩個(gè)分布的期望值相同，方差不同。我們偏好于哪一種期權(quán)？圖4股票價(jià)格的分布第三十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。因?yàn)橹挥挟?dāng)股票的價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，我們才能從期權(quán)合約中獲得收益。股票價(jià)格分布的方差越大，股票價(jià)格超過(guò)執(zhí)行價(jià)格的概率也就越大，我們獲得收益的概率也就越大。所以，我們偏好以方差較大的股票為標(biāo)的物的期權(quán)。期權(quán)的價(jià)值與標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值之間的重大差別：如果持有標(biāo)的資產(chǎn)，我們獲得收益的可能性由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的整個(gè)概率分布決定。作為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，我們不喜歡高風(fēng)險(xiǎn)。如果我們持有期權(quán)，我們獲得收益的可能性由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的尾部概率分布決定。期權(quán)的這種性質(zhì)使得大的方差更具有吸引力。第三十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。例子：假設(shè)某家公司得到一筆長(zhǎng)期貸款，每年應(yīng)支付的利息為8000元。該公司可以把這筆貸款用于下面兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)。這兩個(gè)項(xiàng)目具有相同的5000元的期望現(xiàn)金流。

項(xiàng)目1 項(xiàng)目2 概率 現(xiàn)金流 概率 現(xiàn)金流 0.2 4,000 0.4 0 0.6 5,000 0.2 5,000 0.2 6,000 0.4 10,000 第三十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。如果投資到第一個(gè)項(xiàng)目，該公司將破產(chǎn)，因?yàn)樗锌赡艿默F(xiàn)金流都比償還利息所需的8000元少。由于第二個(gè)項(xiàng)目的方差較大，所以有40%的機(jī)會(huì)，除能夠償還利息外，還有2000元的剩余。顯然，該公司將選擇第二個(gè)項(xiàng)目。盡管它的風(fēng)險(xiǎn)更大，但是存在40%的機(jī)會(huì)給公司帶來(lái)正的利潤(rùn)。第三十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。這個(gè)例子形象地說(shuō)明了期權(quán)的持有者為什么更偏好大的方差。同時(shí)，這個(gè)例子也引入了一種重要的觀點(diǎn)。一個(gè)公司的股東實(shí)際上是一種期權(quán)的持有者，這種期權(quán)以公司的市場(chǎng)值為標(biāo)的物。當(dāng)公司的市場(chǎng)值比它所需償還的債務(wù)低時(shí)，公司破產(chǎn)。這時(shí)，股東允許期權(quán)到期而不執(zhí)行，股東所持有的股票的價(jià)值為零；股東把公司移交給債權(quán)人，債權(quán)人獲得公司作為補(bǔ)償。當(dāng)公司的市場(chǎng)值比它所需償還的債務(wù)高時(shí)，股東執(zhí)行期權(quán)，償還債權(quán)人的債務(wù)后，股東獲得剩余的利潤(rùn)。第三十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。3）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。在所有的因素里，這個(gè)因素是最不直觀的。一般說(shuō)來(lái)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越大，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值也就越小，這樣的期權(quán)也就越有價(jià)值。而且，當(dāng)市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率越大，股票的回報(bào)率也應(yīng)該越高。從而，在到期日，股票的價(jià)格也應(yīng)該越高，這時(shí)，期權(quán)的價(jià)格也應(yīng)該越高。第三十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在確定歐式看漲期權(quán)的價(jià)格時(shí)，有五種因素是重要的：標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的方差，到期日（實(shí)際應(yīng)該是剩下的到期時(shí)間），以及無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。把歐式看漲期權(quán)的價(jià)格寫成如下的函數(shù)形式： (3)第三十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。3期權(quán)在證券市場(chǎng)中的作用金融市場(chǎng)中一個(gè)引人注目的發(fā)展就是衍生證券的日趨普遍。在許多情況下，套期保值者和投機(jī)者都發(fā)現(xiàn)交易某項(xiàng)資產(chǎn)的衍生證券比交易資產(chǎn)本身更具有吸引力。原因在于，衍生證券往往具有現(xiàn)有上市證券所不具備的特點(diǎn)，從而能夠滿足一些套期保值者和投機(jī)者的特殊要求，所以，證券公司經(jīng)常根據(jù)客戶的需要，開發(fā)一些衍生證券來(lái)滿足要求。第四十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。衍生行業(yè)的蓬勃發(fā)展，說(shuō)明了現(xiàn)有的證券市場(chǎng)并不是完備的市場(chǎng)，因?yàn)樽鳛橐粋€(gè)完備的市場(chǎng)，總能通過(guò)構(gòu)造證券組合來(lái)滿足投資者的各種要求。同時(shí)，也說(shuō)明了衍生產(chǎn)品在資源配置有效化中所起的作用。第四十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。4期權(quán)組合策略，圖形表示假設(shè)：歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)具有相同的到期日和相同的標(biāo)的股票，并且假設(shè)執(zhí)行價(jià)格等于標(biāo)的股票期初的價(jià)格。第四十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。當(dāng)時(shí)歐式看漲期權(quán)在到期日的利潤(rùn)第四十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。當(dāng)時(shí)歐式看跌期權(quán)在到期日的利潤(rùn)第四十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。股票在到期日的利潤(rùn)第四十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。債券在到期日的利潤(rùn)第四十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。上述證券可以按下面的關(guān)系任意組合第四十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。買一份股票并買一份以此股票為標(biāo)的物的看跌期權(quán)所獲得的收益，和持有一份債券并買一份以同樣股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)所獲得的收益是一樣的。第四十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。鞍式期權(quán)第四十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。5歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系(put-callparity)假設(shè)歐式看漲、看跌期權(quán)具有相同的標(biāo)的物、相同的到期日、相同的執(zhí)行價(jià)格簡(jiǎn)單一期模型連續(xù)復(fù)利第五十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。買一份股票，買一份看跌期權(quán)，再賣一份看漲期權(quán)，在到期日，該證券組合的收益為有紅利時(shí)歐式期權(quán)的平價(jià)關(guān)系美式期權(quán)不存在平價(jià)關(guān)系第五十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。6關(guān)于期權(quán)價(jià)格界的定理看漲期權(quán)價(jià)格的界。定理1：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行。證明：買一份歐式看漲期權(quán)，買面值為K債券，再賣空一份股票。第五十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。定理2：當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時(shí)，美式看漲期權(quán)可能被提前執(zhí)行。定理3：無(wú)論標(biāo)的股票是否支付紅利，美式看跌期權(quán)都有可能提前執(zhí)行。第五十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。第五十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。7期權(quán)定價(jià)理論——二項(xiàng)式方法Black-Scholes模型等價(jià)鞅測(cè)度模型二項(xiàng)分布方法在應(yīng)用這種方法時(shí)，最重要的是套期保值的概念。套期保值最形象、最簡(jiǎn)單的例子是有關(guān)保險(xiǎn)中的定價(jià)問(wèn)題?？捎糜趯?duì)美式期權(quán)的定價(jià)可用于對(duì)標(biāo)的物有紅利的期權(quán)定價(jià)第五十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。假設(shè)1：標(biāo)的股票不支付紅利假設(shè)2：證券市場(chǎng)是無(wú)摩擦的和完全競(jìng)爭(zhēng)的，且不存在套利機(jī)會(huì)。第五十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。A.

以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)的簡(jiǎn)單二項(xiàng)模型標(biāo)的股票的價(jià)格服從二項(xiàng)分布產(chǎn)生的過(guò)程：

圖9一期二項(xiàng)式生成過(guò)程

第五十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。這里

=股票現(xiàn)在的價(jià)格

=股票價(jià)格上漲的概率

=一期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

=股票價(jià)格上漲的幅度

=股票價(jià)格=下跌的幅度

第五十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。

例子：

第五十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。注：對(duì)的假設(shè)，在這個(gè)假設(shè)之下，不管經(jīng)過(guò)多少期，股票的價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)跌到零以下。但是，對(duì)股票價(jià)格上漲的界沒(méi)有限制。

第六十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。每期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為。對(duì)的限制為，這是無(wú)套利條件。直觀地可以看出，無(wú)論是（這時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率總比股票的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率高）還是（這時(shí)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率總比股票的風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率低），都存在套利機(jī)會(huì)。不失一般性，假設(shè)。

第六十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。以股票為標(biāo)的物的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為，到期日為一期，它的現(xiàn)價(jià)以 表示。該期權(quán)在到期日的支付如下圖

圖10歐式看漲期權(quán)的支付

第六十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值證券組合：以價(jià)格買一份股票，寫份以股票為標(biāo)的物的看漲期權(quán)（稱為套期保值比率）。下圖說(shuō)明了這個(gè)套期保值證券組合的到期支付。如果這個(gè)套期保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個(gè)證券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。

圖11套期保值證券組合的到期支付

第六十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。

讓支付相等，得到：

=從上式中解出看漲期權(quán)的份數(shù)：

(21)

把例子里的數(shù)字代入，得到

=3.53因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套期保值證券組合包括買一份股票，寫3.53份看漲期權(quán)。在兩個(gè)狀態(tài)下的支付相等，如下表：

不確定狀態(tài) 證券組合 支付

好狀態(tài) 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元

壞狀態(tài) 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元

第六十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。因?yàn)樘灼诒Ｖ底C券組合是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，它的終端支付應(yīng)該等于它的現(xiàn)價(jià)乘以，即，

從這個(gè)式子得出期權(quán)的價(jià)格：

(22)

設(shè)

則

第六十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。

第六十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。這里定義的總是大于0而小于1，具有概率的性質(zhì)，我們稱之為套期保值概率。從的定義可以看出，無(wú)套利條件成立當(dāng)且僅當(dāng)大于0而小于1（即，保證是概率）。第六十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。是當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)中性者所認(rèn)為的值，即，股票價(jià)格上漲的概率。作為風(fēng)險(xiǎn)中性者，投資者僅僅需要投資在風(fēng)險(xiǎn)股票上的回報(bào)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：

從中解出值，得到：

所以，對(duì)一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性者來(lái)說(shuō)，=，而(24)式中看漲期權(quán)的價(jià)格可以解釋為，在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境中，期權(quán)的期望終端支付的折現(xiàn)值。

第六十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在求得看漲期權(quán)價(jià)格的過(guò)程中，有兩點(diǎn)是至關(guān)重要的：套期保值證券組合的存在性；無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套期保值證券組合的的回報(bào)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

第六十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。看漲期權(quán)的定價(jià)公式具有以下三個(gè)有趣的特征：

1．該公式不依賴于股票價(jià)格上漲的概率。這使得，即使投資者對(duì)的預(yù)期不一致，只要他們對(duì)別的參數(shù)的估計(jì)一致（包括），他們就會(huì)有一樣的定價(jià)公式。

2．該公式的獲得不依賴個(gè)體對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好。所需的假設(shè)僅僅只是無(wú)套利。

3．該公式依賴的唯一隨機(jī)變量是標(biāo)的股票。（例如，與市場(chǎng)證券組合無(wú)關(guān)）

第七十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。B.兩期模型圖12股票價(jià)格 第七十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。

圖13歐式看漲期權(quán)的支付

第七十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。假設(shè)兩期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為。利用一期期權(quán)的定價(jià)公式(24)得到期權(quán)在一期末的價(jià)值和：

(25)

(26)

第七十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。把和當(dāng)作一期模型的終端支付，再一次利用一期期權(quán)的定價(jià)公式(24)得到期權(quán)的現(xiàn)在價(jià)格：

第七十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。把(25)和(26)式代入得到：

(27)

第七十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)?？梢园?27)式中的分子部分看成是一期模型的定價(jià)公式(24)式的分子的二項(xiàng)展開。(27)式的另外一種解釋是，看漲期權(quán)的價(jià)格等于期權(quán)在兩期末的期望支付的折現(xiàn)值，這里所用的概率為套期保值概率，折現(xiàn)利用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。

第七十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。C.看漲期權(quán)定價(jià)的完全二項(xiàng)式模型T期模型這里第七十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。1.在0時(shí)刻，買份股票，賣空份債券所構(gòu)成的證券組合在到期日的支付，即為以該股票為標(biāo)的物，以為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)在到期日的支付。以此觀點(diǎn)，如果把到期日以前任意的第t期當(dāng)作起始時(shí)刻，則歐式看漲期權(quán)在到期日以前的任意第t期的價(jià)格為：

(32)

所以，(32)式不但給出了歐式看漲期權(quán)在第t期的定價(jià)公式，而且給出了第t期為了模擬歐式看漲期權(quán)在到期日的支付所應(yīng)該采用的策略。

第七十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。2．從(31)式可以看出，當(dāng)股票價(jià)格增加，執(zhí)行價(jià)格減少時(shí)，期權(quán)的價(jià)格都會(huì)增加。另外，當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增加時(shí)，它的主要影響是減少執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值，從而增加期權(quán)的價(jià)格（盡管無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增加時(shí)，會(huì)導(dǎo)致p、p’減少，但這種影響是次要的）。至于到期日和股票價(jià)格的方差，它們的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的絕對(duì)影響并不是顯然的，需要通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來(lái)得到。

第七十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。D.二項(xiàng)模型推廣到連續(xù)時(shí)間Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在實(shí)際操作中應(yīng)該注意，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式僅僅適用于標(biāo)的股票不支付紅利的情形。只適用于歐式期權(quán)用途第八十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。連續(xù)時(shí)間看漲期權(quán)定價(jià)公式，Black和Scholes（1973）：(33)

這里

第八十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。連續(xù)時(shí)間看跌期權(quán)定價(jià)公式：這里第八十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。與二項(xiàng)式模型的對(duì)照比較靜態(tài)分析看漲期權(quán)看跌期權(quán)標(biāo)的股票風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)樣本方差市場(chǎng)估計(jì)第八十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。Hedgingratio股票價(jià)格變化導(dǎo)致期權(quán)價(jià)格的變化為了構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，一份期權(quán)需要多少份股票當(dāng)期權(quán)的到期日變小，股票價(jià)格變化時(shí)，Hedgingratio也發(fā)生變化，所以為了套期保值需要連續(xù)調(diào)整組合策略。期權(quán)價(jià)格的漸進(jìn)行為第八十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。圖14期權(quán)價(jià)格曲線第八十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在實(shí)際應(yīng)用中注意：股票實(shí)際是一種期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)是隨時(shí)間變化的第八十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)。9美式期權(quán)的定價(jià)第八十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)。10.指標(biāo)期權(quán)(indexoption)第八十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)。11Portfolioinsurance一個(gè)投資者持有風(fēng)險(xiǎn)高度分散的證券組合，現(xiàn)價(jià)100000元，投資者目標(biāo)：從牛市中充分獲利，但從熊市中免遭損失。購(gòu)買保險(xiǎn)購(gòu)買看跌期權(quán)構(gòu)造合成看跌期權(quán)第八十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)。購(gòu)買保險(xiǎn)100Uninsuredportfoliovalue第九十頁(yè)，共一百零一頁(yè)。購(gòu)買看跌期權(quán)100Uninsuredportfoliovalue第九十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)。CreateasyntheticputA100000B125000C80000DFEGUninsuredportfolio156250Insuredportfolio1562501000001000001000001000006400010000012monthsNow6months第九十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)。CreateasyntheticputA100000BCNow6monthsStocks:125000bonds:0total:125000Stocks:0bonds:95238total:95238Stocks:66138bonds:40312total:106450第九十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)。在B點(diǎn)在C點(diǎn)在A點(diǎn)第九十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)。初始投資相當(dāng)于投資在股票100000元，投資在看跌期權(quán)6450元，看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100000元，到期日為12個(gè)月。這個(gè)過(guò)程可以看作看跌期權(quán)或者保險(xiǎn)政策的定價(jià)。動(dòng)態(tài)策略交易成本、動(dòng)態(tài)調(diào)整的可行性第九十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)。11期權(quán)定價(jià)思想的應(yīng)用股票和債券作為期權(quán)例子：Popov公司被授權(quán)在南極洲舉辦下一年的奧運(yùn)會(huì)。由于南極洲特殊的條件，該公司在奧運(yùn)會(huì)后將解散。公司通過(guò)發(fā)行債券來(lái)籌辦這次奧運(yùn)會(huì)。假設(shè)下一年債務(wù)連本帶息為800元，到時(shí)債務(wù)將一次性付清。公司下一年的現(xiàn)金流預(yù)