考點35 空間直線、平面垂直的判定及其性質

考點三十五

空間直線、平面垂直判定及其性質．直線與平面垂直定義如果一條直線與一個平面α內任意一條直線都直我就說直線a直于平面α記作a⊥，線叫做平面α的線，平面α叫直線垂面，垂線和平面的交點稱為垂足．結論：過一有且只有一條直與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．直線與面垂直的判定定理如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．．直線與平面垂直性質定理如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．．與線面垂直有關重要結論如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于平面內的任何一條直線．如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．如果一條直線與兩個平面都垂直，那么這兩個平面平行．過一點有且只有一條直線和已知平面垂直；過一點有且只有一個平面和已知直線垂直．．兩平面垂直的定如果兩個平面所成的二面角是直二面角，我們就說這兩個平面互相垂直．．兩平面垂直的判定理如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．．兩平面垂直的性定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．空間角直線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角這條直線和這個平面所成的角，∠就是斜線AP與平面α所的角．當直線與平面直時，它們所成的角是直角；當直π線在平面內或直線與平面平行時，它們所成的角是0的．故線面角的圍θ∈，]二面角

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角條直線叫做二面角的棱個半平面叫做二面角的面．如圖的二面角，可記作：二面角α-lβ或面角P--Q②二面角的平面角如圖，過二面角-l-β的l上一點O在個半平面內別作⊥l，AO⊥，則∠就π叫做二面角-lβ的面角．設二面角的平面角為，則θ，．當＝，二面角叫做直二面角．垂直關的轉化判定定理轉化：線線垂直性質定理轉化：面面垂直用圖形表示為：

線面垂直

面面垂直同時，在平行與垂直之間也存在相互轉化，即：線線垂直

線面垂直

線線平行

線面平行題一垂問有的題定例1浙江高)設，n是條不同的直線α，是兩個不同的平_______①②③④

若⊥n∥，則mα若∥，⊥則mα若⊥，nβ，⊥mα若⊥n⊥，⊥，則mα答案③解析選項①，②，④中m均能與平面α平、垂直、斜交或在平面α內故選變訓已知m是兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，有下列四個命題

①若⊥，⊥，⊥，則α⊥；②∥，∥，，∥；③若⊥，∥，⊥，則α∥；④⊥，∥，∥，m其中所有正確的命題_．答案①④解析借助于長方體模型來解決題于①可得到平面β相垂直如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、可垂直，如(所示；對于③，平面α、β可能垂直，如圖3)所示對④由m⊥α∥可得mβ因n∥所過作面γ且∩＝g如圖4)所示，所以n與線g平行，因為m，所以⊥解要對于這類命題的判斷問題，借助模型法是常見策略，一般地對于線面、面面平行、垂直的位置關系的判定，可構造長方體或正方體化抽象為直觀去判還可以過畫圖判斷圖時仍然遵循先作面后作線的原則面托線而利于判斷．題二線垂的定性例如圖已知⊥平面且邊形為形別是ABPC的點．求證：⊥CD若∠PDA＝，求證：MN⊥平面證明：(1)如圖所示，取PD的點，連接AENE，∵是的中點E為PD中點，∥，且＝CD而∥CD，且＝＝CD，∴∴∥AE.又⊥面ABCD，PA⊥CD，又∵ABCD為形，∴ADCD而AD∩＝，∴CD平面，

AM，∴四邊形平行四邊形，

∴⊥AE又AE∥，∴⊥∵PA⊥平ABCD，∴PA⊥，又∠＝，∴△為腰直角三角形．又E為PD的點，⊥PD又由1)知CD⊥，PD∩＝D，∴⊥平面.又AE∥，∴⊥平面PCD解要利用判定定理證明線面垂直時，必須證明一條直線垂直于平面內兩條相交直線，這里相交必須要體現出來．題三面垂的定性例如圖，三棱柱-AB中，側棱垂直底面，＝90°，ACBCD是112棱AA的點．1證明：平面⊥平面；1平面BDC分棱柱為兩部，求這兩部分體積的比．1解析(1)明：由題設知⊥CC，⊥，CC∩ACC，以BC平面.1又DC平面ACC，以DC.11由題設知∠ADC＝∠＝45°所以＝，即⊥又∩＝，111所以⊥面.1又DC平面BDC，故平面⊥平面11＋2設棱錐B-DACC的體積為V，＝由題意得＝××11＝1132又三棱柱-AB的體積＝1所以(V－V)∶＝11111故平面BDC分棱柱所得兩部分體積的比為11變訓如圖，在三棱柱－A中，側棱垂直于底面⊥，AA＝＝2111＝，E，分是A，BC的點．1

求證：平面ABE平面；1求證：C∥平面；1求三棱錐E－的積．解析(1)明在三棱柱－C中BB⊥面ABC，所以AB.1111又因為⊥，所以⊥平面BCC，1又AB平，所以平面⊥平面B11證明取的中點，接，.因為E，分別是C，BC的點，所以∥AC且FG＝AC11因為ACC，ACC，所以FG，且FG＝，11所以四邊形FGEC為平行四邊形．所以C∥EG.1又因為平面，平ABE，所以CF平面.11解

因為AA＝AC2＝1AB⊥，1所以＝

AC

－BC

＝3.1所以三棱錐－的體積＝AA××3×1×2＝33解題要點(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定⊥，⊥)．在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．．下列命題中，正確命題個數________①如果一條直線垂直于平面內的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直．②過直線l外點，有且僅有一個平面與l垂直．③如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面．

④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面．⑤過點A垂直于直線a的所有直線都在過點A垂于a的面內．答案4解析②③④⑤正確，①中當這數條直線都平行時，結論不成立．．下列命題中正確的_．①平面和分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥②若平面的一條直線垂直于平面β內條平行線，則α⊥③若平面的一條直線垂直于平面β內條相交直線，則⊥④若平面的一條直線垂直于平面β內數條直線，則α⊥答案③解析由兩個平面垂直的定義知③正確．在四面體－ABC中D，分別是，BC的點，則下面四個結論中不成立的是_．①BC平面PDF

②DF平面

③平面PDF⊥平面ABC④平面⊥平面答案③解析可畫出對應圖形，如圖所，則BCDF，又DF平PDF?平，∥平面PDF，故①成立；由AE⊥BCPE⊥BCBC∥DF知DF⊥，DF⊥PEDF⊥平面，故②成立；又DF平，平ABC⊥平面PAE故④成立．．平面⊥平面β，線aα則．①a⊥β

②a∥

③a與β相交④上都有可能答案④解析借助長方體，可舉例說明、②、③都有可能成立．．設mn是條不同的直線α、是兩個不同的平面，給下列四個命題：①若，α?，則nα；②mα，⊥，⊥；③若β，⊥，則∥或?；④m⊥nm⊥αn⊥，則αβ.則其中正確命題的序號為________答案①③④解析②中可能有∥，②不正確．

一填空．若mn表直線，表示平面，則下列命題中，確命題的個數．①m，⊥}

n⊥；②m⊥，⊥}M∥n③m，n∥}⊥n;

④m，m}nα．答案3解析①②③正確，④中面α可有nα或∥或交(包括⊥)．如圖，四棱錐—中⊥平面ABCD則PD與面ABCD所的角為圖中的．答案∠解析∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD平面ABCD上射影，故是PD平面ABCD所成的角．．經過平面α外點和平面α內點與平面直的平面有．答案1個或無數個解析如果平面內一點與平面外點的連線與平面垂直以作無數個平面與已知平面垂直，如果兩點連線與已知平面不垂直，則只能作一個平面與已知平面垂直．．在如圖所示的四個正方體中，能得出⊥的是________．①

②③④答案①解析①中，⊥平面，∴⊥；②中，與CD成60°角；③中，與CD成45°角；④中，與CD夾角的正切值為．．已知bc三條不重合的直線，下面有三個結論：①若⊥，⊥c，則b∥;若a⊥ba⊥c，則⊥c③若abb⊥，則a⊥．其中正確的個數_______

答案1個解析①不對bc能異面；②不對，c可平行或異面；③對．．已知直線m平面α，滿足mn，⊥α，⊥，．①n⊥β

②n∥

③nα

④n∥或nα答案④解析如圖所示，圖①中與β相，②中n，中nβ，n，∴排除選.．設，為不重合的平面m，n不重合的直線，則下列命題正確的_______①若⊥，＝n，m⊥，則⊥③若⊥，⊥，β，mα

②若?，β，m⊥n則⊥④若∥，n∥，⊥n，則α⊥答案③解析與α、β兩直相交平面的交線垂直的直線，可與平或相交，故①錯；對②，存在∥情，故②錯；對④，存在∥情況，故④錯．由n⊥，⊥，知α∥，β，以⊥α，故正確．．已知平面α與面相，直線⊥，則_．①內必存在直線與m平，且存在直線與m垂②內不一定存在直線與平，不一定存在直線與m直③內不一定存在直線與平，必存在直線與m垂④內必存在直線與m平，不一定存在直與m直答案③解析當直線與β相交時內存在直線與平，但可以作直線與成角．．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對角線與BD位置關系為．答案垂直解析取中，連、DE由ABBC得AC．同理AC，所以⊥面D．因此，ACD．

10下列四個命題中，正確的序號．①，⊥γ，則⊥；②∥，γ，則∥；③⊥，⊥，則αγ；④α⊥，⊥，則∥．答案①②解析③④不正確，如圖所示α⊥，⊥，α，相且不垂直．．在三棱錐P－ABC中若PA⊥PB⊥，⊥，在三棱錐P的四個面中，互相垂直的面有________對．答案3解析∵PA⊥PB，⊥，＝P，∴PA平面，又PA平PAC，平PAB，∴平面PAC平面PBC，平面PAB平面PBC同理可證平面PAB⊥平面PAC二解題12如圖所示，四棱錐－ABCD的面是形，BCD60°是CD中點⊥底面，求證平面⊥平面．證明如圖所示，連接BD由ABCD是形BCD＝知，△BCD