立體幾何與空間向量

中檔大題范練2

立體幾何空間向量．如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面⊥底面，側(cè)棱＝＝2PAPD底面ABCD為角梯形，其中∥，⊥，＝＝1O為AD中點．求證：PO平面ABCD；求點平面的離；線段PD上否存在一點Q使二面角—D的弦值為值；若不存在，請說明理由．

？若存在求的QD證明

因為PA＝＝，O為中點，所以PO⊥，因為側(cè)面⊥底面ABCD所以PO平面ABCD解以O(shè)為點OCOD分為x軸軸z，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則(1，－，，P．→→→＝，－，－，設(shè)平面的向量為u＝x，y，)，＝(－1,0,1)，PD，－．→＝－x＝，則→PD＝－＝0，

?。?得＝，B點平面PDC的離＝

→|3＝|解

→→假設(shè)存在，則設(shè)PQ＝(0<，→因為PD，1)，所以(0，，－)，設(shè)平面CAQ的向量為m＝(a，b)，

→|m||n32QD→|m||n32QD→＝，b＝，則即＝，所以?。剑耍?，平面CAD的向量＝，因為二面角—ACD的弦值為

，6所以＝，所以λ－10＋3＝0PQ1所以＝或λ＝舍去)所以＝.．如圖，在長方體ABCDBCD中，＝＝AD＝2，E為AB的中點F為DE111上的一點，F(xiàn).1證明：平面⊥平面DEC1求二面角ADF的小證明以為點，分別以DA、DCDD所在直線為x軸軸、z軸立如圖所示空1間直角坐標(biāo)系，則(1,0,0)，B，(0,2,0)，D．1∵為AB的中點，∴點標(biāo)為，∵F，1→2→∴F＝D＝，－113＝，，－)，3→→→24DF＝＋F＝＋，，)133

22→→nDC＝0，y＝，22→→nDC＝0，y＝，→4313n·q|＝，，)33設(shè)＝(x，y，)是平面DFC的向量，DF，x＋y＝，則∴?。狡矫鍲DC的個法向量＝，．設(shè)＝，，)平面EDC的法向量，1F，＋－z＝0，則∴→1C＝0，z＝0，?。狡矫鍰的一個法向量p＝．1∵n·p，－＝0∴面⊥面DEC.1解設(shè)＝，，z是平面ADF的向量，→→則＝，DA＝2x＋y＋＝0，∴

x＝0?。狡矫鍭DF的個法向量q＝，－1),設(shè)二面角ADFC平面角為，π由題中條件可知∈(，，＋＋1則＝|＝＝－，×2∴面角ADF的小為120°.．如圖所示，在直三棱柱BC中AB⊥，＝＝，A＝4點D是11的中點．

111AB||CD111AB||CD＝，求異面直線AB與CD所角的余弦值；1求平面ADC與面ABA所二面角的正弦值11解(1)以為標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則(0,0,0)，(2,0,0)，C，，A(0,0,4)C，1→所以A＝，，1→CD＝(1，－，－．1→→→→BCD10因為cos〈A，CD〉＝＝＝，→→×10110所以異面直線AB與D所成角的余弦值為.1110設(shè)平面的法向量為n＝x，y，)，1→→因為AD，＝，1→→所以nAD＝0，＝，11即＋＝且＋2＝，?。?，得＝2，＝－，所以n＝，－是平面ADC的個法向量．11取平面B的個法向量為n＝，1設(shè)平面與平面ABA所二面角的大小為11由cosθ＝

n1|n12

＝

93得θ

因此，平面ADC與面ABA所成二面角的正弦值為11

222222222222如圖，四棱錐PABCD中平面PAD⊥底面ABCD其中底面為等腰梯形，∥BC，＝AB＝＝＝2PD＝3，⊥，Q為PD的點．證明：∥平面；求二面角DC的余弦值．證明如圖所示，取PA中點連結(jié)，BN.eq\o\ac(△,在)PAD中，PNNAPQ＝，所以∥AD且QNAD.eq\o\ac(△,在)APD中PA＝，PD3，⊥，所以AD＝

PA＋＝

＋34，而BC＝2所以＝AD又BC∥AD，所以∥，且QN＝BC故四邊形BCQN為行四邊形，所以BNCQ又平面PABBN平PAB所以平面PAB.解

如圖，在平面PAD內(nèi)過點作PO⊥AD于O連結(jié).因為平面PAD⊥平面ABCD平面PAD平面ABCDAD所以平面又⊥AD⊥，×PD2×23所以PO＝＝3，AD故＝

AP－＝

－在等腰梯形ABCD中取AD的點M連結(jié)BM又＝2AD＝，∥BC所以DM＝BC2，∥BC故四邊形BCDM為行四邊形．所以BM＝CD＝＝eq\o\ac(△,在)ABM中＝＝＝，＝＝，所以BO⊥又平面⊥平面，平面∩面ABCD

→，222PC→，222PCAD，所以BO⊥平面PAD.如圖，以O(shè)為標(biāo)原點，分別以O(shè)B，OD，OP所直線為軸，軸軸立空間直角→坐標(biāo)系，則O，(0,3,0)，A(0，B(，0,0)，P(0,0C(3，，A＝，．33因為為DP的中點故Q，，，2→所以AQ0，，.2設(shè)平面AQC的向量為m＝(x，y，z，→ACx＋3＝，則可得→→3，AQ＝y(tǒng)＋z＝，令＝－3則＝3，＝故平面AQC的個法向量為＝，－，．因為BO平面PAD→所以O(shè)＝(，是平面ADQ一個法向量．→→OB3故，〉＝→OB|·|m3·＋5

＝

37＝3737從而可知二面角——C的弦值為．在四棱錐中側(cè)面⊥底面，PDCD，底面ABCD是角形，∥，∠＝90°，AB＝PD，CD求證：⊥平面；PQ在線段上否存在一點Q，使得面角QBDP為45°？存在，求的；若不存在，請說明理由．

PP證明平面⊥面，PD⊥，所以PD⊥平面，所以PD⊥如圖，以D為點建立空間直角標(biāo)系D－，則(1,0,0)，B，(0,2,0)，P(0,0,1)，→→DB＝，＝－，→→所以BCDB＝0⊥，又由PD⊥平面，可得PD⊥，因為PD∩BDD，所以⊥面PBD.解

→平面PBD法向量B＝－1,1,0)，→→→＝(0,2，－，設(shè)P＝，∈(0,1)，所以(0,2，－)，設(shè)平面的向量為＝a，