2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)數(shù)學(xué)高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列0，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是()A． B．C． D．2．設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．33．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立做了15次和20次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說(shuō)法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(diǎn)(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點(diǎn)未必是點(diǎn)(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行4．等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．515．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．-2 B．2 C．-1 D．17．橢圓C：x24+y23=1的左右頂點(diǎn)分別為AA．[12,34]8．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為()A． B．4 C． D．99．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)?商功》中記載了一種名為“塹堵”的幾何體：“邪解立方得二塹堵邪解塹堵”鏨堵是一個(gè)長(zhǎng)方體沿不在同一表面上的相對(duì)兩棱斜截所得的立體圖形其正視圖和俯視圖（直角三角形）如圖所示，則該“塹堵”的外接球的大圓面積為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足關(guān)系式，則的值等于（）A． B． C． D．11．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．612．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則的概率為_(kāi)_____.14．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________.15．下表提供了某學(xué)生做題數(shù)量x（道）與做題時(shí)間y（分鐘）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x（道）3456y（分鐘）2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，得y關(guān)于x的線性回歸方程為則表中t的值為_(kāi)____．16．在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球．若從中任意選取3個(gè)，則所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是________．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為.（1）設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值；（2）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，求的取值范圍.18．（12分）設(shè)復(fù)數(shù)（其中），．（Ⅰ）若是實(shí)數(shù)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求．19．（12分）某羽絨服賣(mài)場(chǎng)為了解氣溫對(duì)營(yíng)業(yè)額的影響，隨機(jī)記錄了該店3月份上旬中某5天的日營(yíng)業(yè)額y(單元：千元)與該地當(dāng)日最低氣溫x(單位：°C)的數(shù)據(jù)，如表：x258911y1210887(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)設(shè)該地3月份的日最低氣溫，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求參考公式：，計(jì)算參考值：..20．（12分）在數(shù)列中，，，其中實(shí)數(shù)．(1)求，并由此歸納出的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(Ⅰ)的結(jié)論．21．（12分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證：.22．（10分）如圖，平面，在中，，，交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】在四個(gè)選項(xiàng)中代n=2,選項(xiàng)B,D是正數(shù)，不符，A選項(xiàng)值為，符合,C選項(xiàng)值為，不符．所以選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于選擇題的選項(xiàng)是關(guān)于n的關(guān)系式，可以考慮通過(guò)賦特殊值檢驗(yàn)法，來(lái)減少運(yùn)算，或排除選項(xiàng)．2、D【解析】D試題分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即f′（x0）表示曲線f（x）在x=x0處的切線斜率，再代入計(jì)算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案選D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．3、A【解析】

根據(jù)回歸直線過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，并結(jié)合回歸直線的斜率來(lái)進(jìn)行判斷?！驹斀狻坑捎诨貧w直線必過(guò)樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，則回歸直線和回歸直線都過(guò)點(diǎn)，做了兩次試驗(yàn)，兩條回歸直線的斜率沒(méi)有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點(diǎn)，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項(xiàng)正確，B、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過(guò)樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論，同時(shí)也要抓住回歸直線的斜率來(lái)理解，考查分析理解能力，屬于基礎(chǔ)題。4、B【解析】解：由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有：，解得：，數(shù)列的前13項(xiàng)和：.本題選擇B選項(xiàng).5、D【解析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，推出不等式，利用基本不等式求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．詳解：函數(shù)，可得f′（x）=x2﹣mx+1，函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，可得x2﹣mx+1≥0，在區(qū)間[1，2]上恒成立，可得m≤x+，x+≥2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2，時(shí)取等號(hào)、可得m≤1．故選：D．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于0有解.6、D【解析】

根據(jù)題意，用賦值法，在中，令可得，解可得a的值，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，令可得：，解可得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意特殊值的應(yīng)用．7、B【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則于是kPA1∵kPA2【考點(diǎn)定位】直線與橢圓的位置關(guān)系8、A【解析】

題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22==++≥+2=．故選A．【點(diǎn)睛】在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.9、B【解析】

首先根據(jù)題意得到“塹堵”是半個(gè)長(zhǎng)方體的直三棱柱，再求其外接球的大圓面積即可.【詳解】由題知：“塹堵”是半個(gè)長(zhǎng)方體的直三棱柱，如圖所示：設(shè)外接球大圓的半徑為，.，所以外接球的大圓面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱柱的外接球，同時(shí)考查三視圖的直觀圖，屬于中檔題.10、D【解析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令，求得的值.【詳解】依題意，令得，，故選D.【點(diǎn)睛】本小題在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因?yàn)橄葟钠溆?人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項(xiàng).12、D【解析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個(gè)選項(xiàng)中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【詳解】因?yàn)橹本€傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則基本數(shù)值總數(shù)，事件“”包含的基本事件有：共6個(gè)，∴事件“”的概率．即答案為.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．14、【解析】

將化簡(jiǎn)為的形式，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)求得的值.【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，考查純虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

現(xiàn)求出樣本的中心點(diǎn)，再代入回歸直線的方程，即可求得的值.【詳解】由題意可得，因?yàn)閷?duì)的回歸直線方程是，所以，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答的關(guān)鍵是利用回歸直線方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，代入求解，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：由題意知本題是一個(gè)古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是從6個(gè)球中取3個(gè)，共有種結(jié)果，而滿(mǎn)足條件的事件是所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球，包括有一個(gè)紅球2個(gè)白球；2個(gè)紅球一個(gè)白球，共有∴所選的3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率是.考點(diǎn)：等可能事件的概率.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）求出直線的普通方程，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離的距離，即可求點(diǎn)到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方則，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)，即，時(shí)，，故點(diǎn)到直線的距離的最小值為.（Ⅱ）因?yàn)榍€上的所有點(diǎn)均在直線的右下方，所以對(duì)，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用復(fù)數(shù)z1＋z2是實(shí)數(shù)，求得a＝4，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則即可得出結(jié)果；（Ⅱ）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，求得，利用復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件求得的值，之后應(yīng)用復(fù)數(shù)模的公式求得結(jié)果【詳解】（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是實(shí)數(shù)，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵是純虛數(shù)，∴，故．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)單題目.19、（1）；（2）【解析】

（1）由題，計(jì)算，，進(jìn)而求出線性回歸方程。（2）由題可得，計(jì)算的值，從而得出【詳解】(1)由題意可得，，，∴y關(guān)于x的回歸直線方程(2)由題意，平均數(shù)為，方差為，，，【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程與概率問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題。20、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1），，可歸納猜測(cè)；（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明原理，當(dāng)時(shí)，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即只需證明當(dāng)時(shí)，即可..試題解析：(1)由，及得，于是猜測(cè):(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明:當(dāng)時(shí)，由顯然結(jié)論成立．假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即那么，當(dāng)時(shí)，由顯然結(jié)論成立．由、知，對(duì)任何都有21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】分析：⑴兩邊同時(shí)平方即可證明不等式⑵構(gòu)造同理得到其他形式，然后運(yùn)用不等式證明詳解：（1）證明：要證成立，只需證，即證，只需證，即證顯然為真，故原式成立.（2）證明：∵，∴.點(diǎn)睛：本題主要考查的是不等式的證明，著重考查了基本不等式的變形與應(yīng)用，考查了綜合法和推理論證的能力，屬于中檔題。22、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

過(guò)D作平行線DH，則可得兩兩垂直，以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)，求出長(zhǎng)，寫(xiě)出的坐