2022-2023學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)北京十二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．今年全國(guó)高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(jī)(，試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．1300 B．1350 C．1400 D．14502．為預(yù)測(cè)某種產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分的含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8組觀察值．計(jì)算得，，，，則y對(duì)x的回歸方程是()A．＝11.47＋2.62x B．＝－11.47＋2.62xC．＝2.62＋11.47x D．＝11.47－2.62x3．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交曲線左支于A，B兩點(diǎn)，△F2AB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．4．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，（）A． B． C． D．5．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆漂流的汽油桶?，F(xiàn)有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊相互獨(dú)立，且命中概率都是。則打光子彈的概率是（）A． B． C． D．6．從裝有3個(gè)白球,4個(gè)紅球的箱子中,隨機(jī)取出了3個(gè)球,恰好是2個(gè)白球,1個(gè)紅球的概率是()A． B． C． D．7．設(shè)集合，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．如果根據(jù)是否愛吃零食與性別的列聯(lián)表得到，所以判斷是否愛吃零食與性別有關(guān)，那么這種判斷犯錯(cuò)的可能性不超過(guò)（）注：0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828A．2.5% B．0.5% C．1% D．0.1%10．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)是，，則雙曲線方程為（）A． B．C． D．12．已知，其中、是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)。弦長(zhǎng)為，則線段的中垂線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為__________．14．已知函數(shù),,,且，則不等式的解集為__________.15．某學(xué)校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學(xué)前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學(xué)選擇．已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)腸胃不好不會(huì)選擇蛋炒飯，則這5名同學(xué)不同的主食選擇方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）16．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知,命題:對(duì),不等式恒成立；命題，使得成立.（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若假，為真，求的取值范圍.18．（12分）在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）某商場(chǎng)舉行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種，方案一：每滿200元減50元；方案二：每滿200元可抽獎(jiǎng)一次．具體規(guī)則是依次從裝有3個(gè)紅球、l個(gè)白球的甲箱，裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的乙箱，以及裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個(gè)球，所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表：（注：所有小球僅顏色有區(qū)別）紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款半價(jià)7折8折原價(jià)（1）若兩個(gè)顧客都選擇方案二，各抽獎(jiǎng)一次，求至少一個(gè)人獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客購(gòu)物金額為320元，用所學(xué)概率知識(shí)比較哪一種方案更劃算？20．（12分）某水產(chǎn)養(yǎng)殖基地要將一批海鮮用汽車從所在城市甲運(yùn)至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由水產(chǎn)養(yǎng)殖基地承擔(dān)．若水產(chǎn)養(yǎng)殖基地恰能在約定日期（×月×日）將海鮮送達(dá)，則銷售商一次性支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬(wàn)元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬(wàn)元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地萬(wàn)元．為保證海鮮新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送海鮮，已知下表內(nèi)的信息：統(tǒng)計(jì)信息汽車行駛路線不堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間（天）堵車的情況下到達(dá)城市乙所需時(shí)間（天）堵車的概率運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）公路公路（注：毛利潤(rùn)銷售商支付給水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的費(fèi)用運(yùn)費(fèi)）（Ⅰ）記汽車走公路時(shí)水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（Ⅱ）假設(shè)你是水產(chǎn)養(yǎng)殖基地的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送海鮮有可能讓水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得的毛利潤(rùn)更多？21．（12分）已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若命題命題且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）求上的點(diǎn)到距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算，即【詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績(jī)高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000－200＝2800，因此成績(jī)高于100分低于130分的人數(shù)為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對(duì)稱性，即若，則，．2、A【解析】分析：根據(jù)公式計(jì)算≈2.62，≈11.47，即得結(jié)果.詳解：由，直接計(jì)算得≈2.62，≈11.47，所以＝2.62x＋11.47.選A.點(diǎn)睛：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系.事實(shí)上，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系.如果線性相關(guān)，則直接根據(jù)用公式求，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過(guò)點(diǎn).3、D【解析】

設(shè)，根據(jù)是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，以及雙曲線的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理求得的關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，如圖所示，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可得的值(范圍)．.4、B【解析】設(shè)，則，根據(jù)對(duì)稱性，，則，即，故故選：B．5、B【解析】

打光所有子彈，分中0次、中一次、中2次?！驹斀狻?次中0次：5次中一次：5次中兩次：前4次中一次，最后一次必中則打光子彈的概率是++=,選B【點(diǎn)睛】本題需理解打光所有子彈的含義：可能引爆，也可能未引爆。6、C【解析】分析：根據(jù)古典概型計(jì)算恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為.故答案為:C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗(yàn)的總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)；③代公式=.7、A【解析】

陰影部分所表示的集合為：.【詳解】由已知可得，陰影部分所表示的集合為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

將x+2看做整體，求得f（x）的解析式，進(jìn)而求其導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，計(jì)算可得所求切線的斜率．【詳解】解：函數(shù)，即為，則，導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在點(diǎn)處切線的斜率為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查f（x）的解析式求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

根據(jù)得到，得到答案.【詳解】，故，故判斷“是否愛吃零食與性別有關(guān)”出錯(cuò)的可能性不超過(guò)2.5%.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.10、C【解析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充要條件.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．11、A【解析】由題意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以雙曲線的方程為．故答案為．故答案選A.12、D【解析】

由得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出的值，從而可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，得到答案.【詳解】由有，其中、是實(shí)數(shù).所以，解得，所以則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)，考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先確定線段AB所在的方程，然后求解其垂直平分線方程，最后確定線段的中垂線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式有：，則，由拋物線的對(duì)稱性，不妨取直線AB的斜率，則直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，由韋達(dá)定理可得：，設(shè)的中點(diǎn)，則，，其垂直平分線方程為：，令可得，即線段的中垂線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．14、【解析】分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求出不等式的解集.詳解：由則，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式等價(jià)于，即，則，故不等式的解集為.故答案為：.點(diǎn)睛：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.15、1【解析】

分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，剩下2人選其余主食；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，或沒有人選甲選的主食，相加后得到結(jié)果．【詳解】分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法18×2=36種；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒有人選甲選的主食，方法為=6，共有4×2×（6+6）=96種，故共有36+96=1種，故答案為：1．【點(diǎn)睛】(1)解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．具體地說(shuō)，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．16、【解析】試題分析：要使函數(shù)的定義域?yàn)?，需滿足恒成立．當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，即．綜合以上兩種情況得．考點(diǎn)：不等式恒成立問題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1），即，可解出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先求出命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再分析出命題、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題，即可的得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）∵對(duì)任意，不等式恒成立，，即，即，解得，因此，若為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2），且存在，使得成立，，命題為真時(shí)，.∵且為假，或?yàn)檎妫?、中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．當(dāng)真假時(shí)，則，解得；當(dāng)假真時(shí)，，即.綜上所述，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用命題的真假求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵就是要確定簡(jiǎn)單命題的真假，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形．得到DE∥AF，再由線面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，由題意證得A在以BC為直徑的圓上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF．∵EF是△PBC的中位線，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，則四邊形ADEF是平行四邊形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB（Ⅱ）法一、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC且AD=MC，∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上．∴AB⊥AC，可得．過(guò)D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，則DG⊥PC．過(guò)G作GH⊥PC于H，則PC⊥面GHD，連接DH，則PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，連接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值法二、取BC的中點(diǎn)M，連接AM，則AD∥MC，且AD=MC．∴四邊形ADCM是平行四邊形，∴AM=MC=MB，則A在以BC為直徑的圓上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如圖以A為原點(diǎn)，方向分別為x軸正方向，y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．可得，．設(shè)P（x，0，z），（z＞0），依題意有，，解得．則，，．設(shè)面PDC的一個(gè)法向量為，由，取x0=1，得．為面PAC的一個(gè)法向量，且，設(shè)二面角A﹣PC﹣D的大小為θ，則有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19、（1）（2）方案二更為劃算【解析】

（1）設(shè)事件為“顧客獲得半價(jià)”，可以求出，然后求出兩位顧客都沒有獲得半價(jià)優(yōu)惠的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式，求出兩位顧客至少一人獲得半價(jià)的概率；（2）先計(jì)算出方案一，顧客付款金額，再求出方案二付款金額元的可能取值，求出，最后進(jìn)行比較得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)事件為“顧客獲得半價(jià)”，則，所以兩位顧客至少一人獲得半價(jià)的概率為：．（2）若選擇方案一，則付款金額為．若選擇方案二，記付款金額為元，則可取的值為．，，，，∴．所以方案二更為劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)立事件的概率公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望.考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題的能力.20、（Ⅰ）見解析，萬(wàn)元；（Ⅱ）走公路可讓水產(chǎn)養(yǎng)殖基地獲得更多利潤(rùn)．【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意得到不堵車時(shí)萬(wàn)元，