弧度制和弧度制與角度制的換算

1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算目標導航課標要求1.理解弧度制的定義,體會弧度也是度量角的單位.2.掌握角度與弧度的換算公式,并能熟練地進行角度與弧度的換算,熟記特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制下的弧長公式、扇形面積公式,會用弧長公式、扇形面積公式解決有關問題.素養(yǎng)達成通過學習弧度制,使學生了解不同單位的相互轉化是經(jīng)常用到的,同時使學生養(yǎng)成用弧度制表示角的大小并進行運算的習慣.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成知識探究1.度量角的單位制(1)角度制角度制1度1分(2)弧度制長度等于

長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角,記作

.以

為單位來度量角的制度叫做弧度制.

2.弧度數(shù)與弧長、半徑的關系在半徑為r的圓中,弧長為l的弧所對圓心角為αrad,則α=

.3.角度與弧度的換算(1)將角度化為弧度:360°=

rad,180°=

rad;1°=

rad≈0.01745rad.半徑1rad弧度2ππ360°180°57.30°57°18′4.弧長公式與扇形面積公式扇形的半徑為r,弧長為l,α為圓心角.弧長l=

,α·r【拓展延伸】1.角度制與弧度制的比較溫馨提示:弧度和角度是不同的計量單位,在同一個表達式中,二者不能混用.2.扇形的弧長與面積公式(1)由上述公式可知,由α、r、l、S中的兩個量可以求出另外的兩個量,即知二求二.(2)運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多,但要注意它的前提是α為弧度制.自我檢測1.若α=-10rad,則角α是(

)(A)第一象限的角 (B)第二象限的角(C)第三象限的角 (D)第四象限的角B解析:因為-10rad≈-10×57.30°=-573°=-720°+147°,故角α為第二象限的角.2.-300°的弧度數(shù)是(

)DC4.已知扇形的周長是8cm,圓心角是2rad,則該扇形的面積是

.

答案:4cm2類型一弧度制的概念課堂探究·素養(yǎng)提升【例1】

下列各命題中,真命題是(

)(A)一弧度就是一度的圓心角所對的弧(B)一弧度是長度為半徑的弧(C)一弧度是一度的弧與一度的角之和(D)一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角,它是角的一種度量單位思路點撥:將一弧度的角的定義與各選項比較,排除錯誤選項,選出正確選項.解析:由1弧度角的定義可知,A、B、C不正確,應選D.方法技巧弧度制是用“弧度”來度量角的一種度量制度,基本單位為“弧度”,無輔助單位.不要受角度制的思維定勢,注意理解弧度的意義,逐步體會弧度制的合理性及優(yōu)越性.變式訓練1-1:下列命題中,假命題是(

)解析:考慮角度制與弧度制的定義,可知角度制與弧度制都與角所在圓的半徑的大小無關,故應選D.類型二角度制與弧度制的互化(1)將α1、α2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在的象限.(2)將β1、β2用角度制表示出來,并在-720°～0°之間找出與它們有相同終邊的所有角.思路點撥:本題實質是角度制與弧度制的轉化問題,要注意轉化依據(jù)2π=360°.方法技巧(2)在某一指定范圍內求某種特性的角:①解不等式求對應k的值;②將k賦值找出相應的角.變式訓練2-1:(1)(2017·山西應縣一中月考)-300°化為弧度是(

)類型三扇形的弧長與面積公式的應用【例3】

解答下列各題.(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積;(2)已知一扇形的周長為4,當它的半徑和圓心角取何值時,扇形面積最大?最大是多少?方法技巧靈活應用扇形弧長、面積公式列方程組求解是解決這類問題的關鍵,同時應注意函數(shù)思想、轉化思想的應用,本題只需將扇形面積表示為半徑的函數(shù),即轉化為關于r的二次函數(shù)問題.變式訓練3-1:(2017·河北衡水中學月考)已知扇形的周長是10cm,面積是4cm2,則扇形的半徑是

.

答案:4cm類型四易錯辨析—混淆角的單位【例4】已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長為6,