老教授自控輔導(dǎo)課件第4章

第4章根軌跡分析法自動控制原理普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材機(jī)械工業(yè)出版社自動控制原理24.1

概述4.2根軌跡的概念4.3根軌跡的繪制4.4廣義根軌跡的繪制4.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析

第4章根軌跡分析法自動控制原理3穩(wěn)定性：特征根在S平面的左半平面動態(tài)指標(biāo)：三個等線根軌跡概念做根軌跡，8條規(guī)則參變量的根軌跡改變開環(huán)零、極點(diǎn)對根軌跡的影響自動控制原理44.2根軌跡的概念

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征根（1）解析法繪制根軌跡令K從0到∞變化，則閉環(huán)特征根在復(fù)平面上描繪出若干曲線（根軌跡）。自動控制原理5（2）從根軌跡圖分析閉環(huán)系統(tǒng)各種性能分析穩(wěn)定性：在0<K<∞范圍內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。分析動態(tài)性能：當(dāng)0<K<0.5時，系統(tǒng)是過阻尼的；當(dāng)K=0.5時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)；當(dāng)K>0.5時，系統(tǒng)是欠阻尼的。若已知K=1，則閉環(huán)極點(diǎn)為-1±j，參數(shù)ζ=0.707，ω=0.414，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)超調(diào)量σ%=4.3%，調(diào)節(jié)時間ts＝3秒。當(dāng)K繼續(xù)增大時，其超調(diào)量σ%將增大，而調(diào)節(jié)時間基本不變。分析穩(wěn)態(tài)性能：系統(tǒng)是Ⅰ型的，階躍函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零。4.2根軌跡的概念（續(xù)）自動控制原理6

（3）根軌跡方程閉環(huán)特征方程：1+G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=-1

通常系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)等于系統(tǒng)各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積，即或幅值方程：，為根軌跡增益相角方程：根軌跡方程4.2根軌跡的概念（續(xù)）自動控制原理74.3根軌跡的繪制4.3.1繪制根軌跡的基本規(guī)則（1）根軌跡的方向、起點(diǎn)和終點(diǎn)

根據(jù)根軌跡定義，根軌跡起始于K*=0，終止于K

*→∞。由幅值條件得當(dāng)K*=0時，s→-pj(j=1，2，…，n)為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)；當(dāng)K*→∞時，s→-zi(i=1，2，…，m)為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)。結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)目m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目n，則有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。自動控制原理8根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性（2）根軌跡的分支數(shù)每個閉環(huán)特征根的變化軌跡都是整個根軌跡的一個分支，因此根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)特征方程的根的數(shù)目相同。

結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于特征方程的階次，也即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的較大者。（3）根軌跡的連續(xù)性和對稱性K*的無限小增量與s平面上的長度|s+pj|及|s+zi|的無限小增量相對應(yīng)，即復(fù)變量s在n條根軌跡上均有一個無限小的位移。當(dāng)K*從零到無窮大連續(xù)變化時，根軌跡在s平面上一定是連續(xù)的。特征根可以是實數(shù)根或復(fù)數(shù)根，而復(fù)數(shù)根又必然是成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)，所以這些根必然對稱于實軸。結(jié)論：根軌跡是連續(xù)的，且以實軸為對稱的曲線。

自動控制原理9根軌跡在實軸上的分布、漸近線

（4）實軸上根軌跡的分布若點(diǎn)s0右邊零、極點(diǎn)個數(shù)之和為奇數(shù)，則s0點(diǎn)所在線段是根軌跡一部分；若點(diǎn)s0右邊零、極點(diǎn)個數(shù)之和為偶數(shù)，則s0點(diǎn)所在的線段不是根軌跡。結(jié)論：實軸上屬于根軌跡的部分，其右邊開環(huán)零、極點(diǎn)的個數(shù)之和為奇數(shù)。（5）根軌跡的漸近線結(jié)論：如果系統(tǒng)的有限開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m少于其開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng)根跡增益K*→∞時，趨向無窮遠(yuǎn)處根軌跡的漸近線共有n-m條。這些漸近線與實軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為與實軸正方向的夾角為自動控制原理10根軌跡在實軸上的分布及漸近線舉例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞數(shù)為

根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，得知開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=3，開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m=0，首先將開環(huán)極點(diǎn)0，-1和-2標(biāo)注在s平面上。由規(guī)則：

1）根軌跡有三條分支，分別起始于0，-1和-2，且這三條根軌跡都將趨向無窮遠(yuǎn)處；

2）實軸上根軌跡分布在０～-１以及-2～-∞之間；

3）根軌跡的漸近線共有n-m=3條，與實軸的交點(diǎn)和夾角計算公式如下：根軌跡在實軸上的分布、漸近線

自動控制原理11根軌跡的分離、會合點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)（6）根軌跡的分離、會合點(diǎn)分離點(diǎn)：根軌跡分支在實軸上某點(diǎn)相遇又向復(fù)平面運(yùn)動會合點(diǎn)：根軌跡分支從復(fù)平面運(yùn)動到實軸上某點(diǎn)結(jié)論：根軌跡分離點(diǎn)或會合點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過求解方程得到（7）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)與虛軸的交點(diǎn)可利用下面兩種方法之一：方法一：用s=代入特征方程求解方法二：根據(jù)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定的條件，利用勞斯判據(jù)法求解結(jié)論：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及臨界根跡增益，可以通過用s=代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程求取，也可用勞斯判據(jù)列表的方法確定?；蜃詣涌刂圃?2求根軌跡的分離點(diǎn)、與虛軸的交點(diǎn)舉例

在極點(diǎn)0和極點(diǎn)-1之間的根軌跡上一定有分離點(diǎn)存在，令d[G(s)H(s)]/ds＝0，整理后求得s1=-0.42（在根軌跡上，是分離點(diǎn)），s2=-1.58（不在根軌跡上，舍），所對應(yīng)K*由幅值條件確定：用勞斯判據(jù)法與虛軸交點(diǎn)：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞數(shù)為自動控制原理13(8)根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線方向與正實軸之間的夾角入射角：根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與正實軸之間的夾角結(jié)論：開環(huán)復(fù)數(shù)極、零點(diǎn)的出射角與入射角由下面公式計算

出射角：入射角：自動控制原理14閉環(huán)極點(diǎn)之和、之積特征方程為：閉環(huán)極點(diǎn)即特征方程的根，若為-sj

，則有，所以結(jié)論：當(dāng)滿足(n-m)2時，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。（9）閉環(huán)極點(diǎn)之和（10）閉環(huán)極點(diǎn)之積n個閉環(huán)特征根之積為：若，有結(jié)論：若滿足(n-m)

2，且有開環(huán)零點(diǎn)位于原點(diǎn)時，閉環(huán)極點(diǎn)之積等于開環(huán)極點(diǎn)之積。

若系統(tǒng)滿足n-m2，有：自動控制原理154.3.2繪制根軌跡舉例

例1已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制根軌跡。解

1）起點(diǎn)在p1=-1，p2=-2處，終點(diǎn)在z1=-3及無窮遠(yuǎn)處。

2）根軌跡有兩條分支，且對稱于實軸。

3）實軸上的根軌跡分布在-1～-2之間和-3～-∞之間。

4）因n=2，m=1，漸近線為整個負(fù)實軸，沿實軸趨于-∞。

5）由，可解出

s1=-1.586(分離點(diǎn)),K*=0.172;s2=-4.414(會合點(diǎn)),K*=5.818

繪出根軌跡如圖自動控制原理16證明：根軌跡圖是一個圓證如果用s=a+jb代入特征方程1+G(s)H(s)=0中，并經(jīng)整理可得到以下方程式：顯然，這是個圓的方程式，其圓心的坐標(biāo)為(-3，0)，半徑為。推廣到一般形式：

z1大于p1和p2（即開環(huán)零點(diǎn)位于兩開環(huán)極點(diǎn)之左），則系統(tǒng)根軌跡在復(fù)平面上為一個圓，其圓心在-z，半徑為：

例1（續(xù)）

自動控制原理17

開環(huán)傳遞函數(shù)為，求該系統(tǒng)

的閉環(huán)根軌跡。例2解根據(jù)根軌跡繪制規(guī)則，計算步驟為

1）有四條根軌跡，分別起始于0，-3，-1±j；一條根軌跡終止于-2，另三條趨于無窮遠(yuǎn)處。

2）實軸上的根軌跡分布在0～-2之間及-3～-∞之間。

3）漸近線有3條數(shù)，漸近線的傾角為±60°，-180°，漸近線的交點(diǎn)為。

4）由于實軸上為零點(diǎn)與極點(diǎn)間的根軌跡，故沒有分離點(diǎn)及會合點(diǎn)。自動控制原理185）求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。令s=代入特征方程，解后得，此時K*=7。

6）求復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角。極點(diǎn)-p2的出射角為-22.6°

極點(diǎn)-p3的出射角為+22.6°

完整根軌跡如圖：例2（續(xù)）自動控制原理19

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖：

例3自動控制原理20例4

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，

繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖。

注意：繪制虛軸附近的根軌跡時，可以忽略遠(yuǎn)離虛軸的零、極點(diǎn)，進(jìn)行近似處理，簡化計算過程。

自動控制原理214.4廣義根軌跡的繪制

以非開環(huán)根跡增益為可變參數(shù)的根歸機(jī)軌跡，或非負(fù)反饋系統(tǒng)的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。4.4.1參變量根軌跡的繪制

以非開環(huán)根跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡，稱作參變量根軌跡，也稱為參數(shù)根軌跡。參變量根軌跡可以用來分析系統(tǒng)中的各種參數(shù)。規(guī)則：與常規(guī)根軌跡繪制方法完全相同。關(guān)鍵點(diǎn)：將控制系統(tǒng)的特征方程進(jìn)行等效變換，求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)。自動控制原理22

設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為，用不含待分析參數(shù)的各項除方程兩端，得式中的、都是復(fù)變量s的多項式，為待分析的參數(shù)，與特征方程比較，得等效開環(huán)傳遞函數(shù)

4.4.1參變量根軌跡的繪制自動控制原理23繪制以Kt為參變量的根軌跡

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

特征方程為以特征方程中不含Kt的項除方程式各項，得

所以，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為自動控制原理241）n=2，m=1，根軌跡有兩條分支，分別起始于極點(diǎn)

-1+j3和-1-j3，終止于零點(diǎn)及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

2）實軸上的根軌跡分布在0～-∞之間。

3）求出會合點(diǎn)s1=-3.12（s2=+3.12舍去），對應(yīng)幅值為

所以Kt=0.43。

4）復(fù)數(shù)極點(diǎn)-1+j3的出射角繪制以Kt為參變量的根軌跡（續(xù)）

自動控制原理254.5控制系統(tǒng)的根軌跡分析

系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)的分布

根軌跡圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，閉環(huán)極點(diǎn)分布位置系統(tǒng)性能隨之發(fā)生變化的規(guī)律

自動控制原理264.5.1性能指標(biāo)在s平面上的表示

當(dāng)0<

<1時，閉環(huán)特征根為（1）相對百分比超調(diào)量是阻尼比

的函數(shù)，且當(dāng)

越小，百分比超調(diào)量σ%越大。（2）調(diào)節(jié)時間只取決于特征根的實部。當(dāng)wn增加時，調(diào)節(jié)時間相應(yīng)變短；反之，調(diào)節(jié)時間相應(yīng)就長。如果對調(diào)節(jié)時間有限制的話，就要使特征根與虛軸保持一定的距離。（3）振蕩頻率自動控制原理27

s平面上的三種規(guī)律等

線等時線等頻率線

在通過原點(diǎn)射線上的特征根，這些特征根都對應(yīng)于百分比超調(diào)量相同的過程；在垂直于實軸直線上的特征根，它們對應(yīng)有基本相同的調(diào)節(jié)時間；在平行于實軸直線上的特征根，它們對應(yīng)振蕩頻率相等的過程。4.5.1性能指標(biāo)在s平面上的表示(續(xù))自動控制原理28

增加開環(huán)零極點(diǎn)的個數(shù)或改變開環(huán)零、極點(diǎn)在s平面上的位置，可改變根軌跡的形狀，也可影響控制系統(tǒng)的性能。(1)增加開環(huán)零點(diǎn)對根軌跡的影響考慮漸近線在增加一個開環(huán)零點(diǎn)-z0前后的變化設(shè)-z0

=-3、-2和0，原開環(huán)傳遞函數(shù)為

無零點(diǎn)增加-z0=-3