線性代數(shù)考試題庫(kù)及答案（二）

線性代數(shù)考試題庫(kù)及答案

第三章向量

一、單項(xiàng)選擇題

1.S，%，%，笈，色都是四維列向量，且四階行列式

a2a3閡=加,|%用24%|=〃,則行列式

|?,?2?3笈+閡=()

e8br6kam4-n(b)m-n(c)-m+n(d)-m-n

2.設(shè)A為”階方陣，且網(wǎng)=0,則()o

(a)A中兩行(列)對(duì)應(yīng)元素成比例

(b)A中任意一行為其它行的線性組合

(c)A中至少有一行元素全為零

(d)A中必有一行為其它行的線性組合

3.設(shè)A為〃階方陣，r(A)=r<“，則在A的〃個(gè)行向量中()。

(a)必有球

(b)任意心行向量線性無(wú)關(guān)

(c)任意r個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無(wú)關(guān)組

(d)任意一個(gè)行向量都能被其它r個(gè)行向量線性表示

4.〃階方陣A可逆的充分必要條件是()

(a)r(A)=r<n

S)A的列秩為〃

(c)A的每一個(gè)行向量都是三零向量

(d)A的伴隨矩陣存在

5.〃維向量組四,％,……,a，線性無(wú)關(guān)的充分條件是()

(a)%,%,...,a，都不是零向量

3)at,a2,...,a,中任一向量均不能由其它向量線性表示

(c)%,。2,.......,4中任意兩個(gè)向量都不成比例

(d)%,%,..中有一個(gè)部分組線性無(wú)關(guān)

6.”維向量組……，4(s22)線性相關(guān)的充要條件是()

(a)at,a2,...,as中至少有一個(gè)零向量

(/?)%,%,...，4中至少有兩個(gè)向量成比例

(c)%,%，...,%中任意兩個(gè)向量不成比例

(d)a^,a2,...中至少有一向量可由其它向量線性表示

7.〃維向量組%,%，……,4(34S4〃)線性無(wú)關(guān)的充要條件是()

(a)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,...人使得勺%+k2a2+....ksas/0

(。)%,%，……中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)

(c)a,,a2,...,中存在一個(gè)向量，它不能被其余向量線性表示

(d)%,%,...，見(jiàn)中任一部分組線性無(wú)關(guān)

8.設(shè)向量組%,見(jiàn)，……，見(jiàn)的秩為「,則()

3)……,4中至少有一個(gè)由r個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)

S)%,%，……，%中存在由r+1個(gè)向量組成的部分組線性無(wú)關(guān)

(c)%,%,……,4中由r個(gè)向量組成的部分組都線性無(wú)關(guān)

……,4中個(gè)數(shù)小于一的任意部分組都線性無(wú)關(guān)

9.設(shè)囚,。2,.均為〃維向量，那么下列結(jié)論正確的是()

(a)若占%+k2a2+...=0,則%,。2,.......，見(jiàn)線性相關(guān)

3)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占，右,……，&，都有

ka

%1%+&%+...ss#o,則%,%，...線性無(wú)關(guān)

(c)若%,a2,...,a,線性相關(guān)，則對(duì)任意不全為零的數(shù)%|,后2,...人，都有

k]a]+k2a2+...k^as=0

(d)若0%+0a2+...0a$=0,則...，4線性無(wú)關(guān)

10.已知向量組四,a2,a?,%線性無(wú)關(guān)，則向量組()

(。)%+a2，%+。3，4+&4，%+%線性無(wú)關(guān)

-a2,a2-a3,a3-a4,a4-%線性無(wú)關(guān)

(<?)?1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-ax線性無(wú)關(guān)

(d)%+%%%%-%%%線性無(wú)關(guān)

11.若向量夕可被向量組%,..,a,線性表示，則()

(a)存在一組不全為零的數(shù)匕，女2,...，%使得尸=占%+42a2+....ksas

(份存在一組全為零的數(shù)匕，女2,……人使得￡=占%+七。2+……Ra*

(c)存在一組數(shù)匕/2,...，兒使得萬(wàn)=匕囚+無(wú)2a2+....kQ

(d)對(duì)夕的表達(dá)式唯一

12.下列說(shuō)法正確的是()

(a)若有不全為零的數(shù)％&，...七,使得勺%+左2a2+....4as=0，則

?!，?,,...,a，.線性無(wú)關(guān)

3)若有不全為零的數(shù)々，攵2,...，&.，使得匕%+左2a2+....勺。3/。，則

%,%，...,a，.線性無(wú)關(guān)

(c)若%,%，……,a,線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量線性表示

3)任何〃+1個(gè)”維向量必線性相關(guān)

13.設(shè)夕是向量組%=(1,0,0)\a2=(0,1,0)7的線性組合，則/=()

3)(0,3,0)70)(2,0,1)，(c)(0,0,l)r3)(0,2,1)7

14.設(shè)有向量組%=(1,-1,2,4)1。2=(0，3,1,2)1

%=(3,0,7,14『，。4=(1，-2,2,0)r,%=(2,1,5,10)',則該

向量組的極大線性無(wú)關(guān)組為()

(a)%,a3(/7)a,,a2,a4

(c)a,,%,a5(d)a},a2,%,a5

7TT

15.設(shè)a=(O),a2,%)"，6=(2,b2,仇)，，%=(《，a2),/?,=(bt,b2),

下列正確的是()

4

(a)若a,優(yōu)^性相關(guān)，則囚,4也線性相關(guān)；

(。)若a,￡線性無(wú)關(guān)，則四，才也線性無(wú)關(guān)；

(c)若名,/?]線性相關(guān)，則a,廣也線性相關(guān)；

(d)以上都不對(duì)

二、填空題

1.若%=(1,1,1兒a2=(1,2,3)1%=(1，3,O7線性相關(guān)，則1=___

2.向量一定線性_______關(guān)。

3.向量a線性無(wú)關(guān)的充要條件是。

4.若%,%，線性相關(guān)，則%,。2,..,見(jiàn)(5>3)線性________關(guān)。

5.n維單位向量組一定線性。

6.設(shè)向量組。1，%，.，%的秩為匕則a1,a2,....中任意r個(gè)___________的向

量都是它的極大線性無(wú)關(guān)組。

7.設(shè)向量%=(1,0,I)7■與。2=(1,1,正交，則〃=______。

8.正交向量組一定線性______。

9.若向量組名,￡/2,..,鬼與尸|，尸2,.....，夕等價(jià)，則%,。2,....,巴的秩與

⑸，22,……，口的秩_______。

10.若向量組%,見(jiàn)，……,%可由向量組A,夕2，……，以線性表示，則

r(a[,a2,....,a,)__________r電，氏,...,伍)。

11.向量組%=(%,1,0,0)',a2=(a2,1,1,0)',%=(。3，1，L1)'的

線性關(guān)系是____。

12.設(shè)n階方陣A=(%,%=?，%)，=%+。3,則網(wǎng)=______.

17

13.設(shè)%=(0,y,,a2=(x,0,0),若a和是標(biāo)準(zhǔn)正交向量,則x

和y的值_______.

14.兩向量線性相關(guān)的充要條件是__

三'計(jì)算題

r

1.設(shè)+1,1),,a2=(1,1+2,l)>a3=(1,1,1+4)',

Z?=(o,4丸2)'，問(wèn)

(1)4為何值時(shí)，夕能由％,%，%唯一地線性表示？

(2)2為何值時(shí)，夕能由4,%,%線性表示，但表達(dá)式不唯一？

(3)4為何值時(shí)，夕不能由%,%，%線性表示？

r

2.設(shè)%=(1,0,2,3尸,a2=(1,1,3,5>,a3=(1,1,a+2,l),

a4=(1,2,4,a+8)l,=(1,1,b+3,5)，問(wèn):

(1)為何值時(shí)，夕不能表示為。1,。2，4,0；4的線性組合？

(2)為何值時(shí)，夕能唯一地表示為4,a2,%，%的線性組合？

3.求向量組%=(1,-1,0,4尸，％=(2,1,5,6)"。3=(1，2,5,2)\

%=(1,-1,-2,0)\%=(3，0,7,14了的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，

并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。

T

4.設(shè)％=(L1,1)1%=(1,2,31，a3=(1,3,t),t為何值時(shí)%,%，線性相

關(guān)，t為何值時(shí)%,02，%線性無(wú)關(guān)？

將向量組%=(1,2,0)"%=(-1,0,2)"%=(0,1,標(biāo)準(zhǔn)正交化。

6

四、證明題

1.設(shè)4=。|+%，/2=3%=2%-%,試證￡],尸2,尸3線性相關(guān)。

2.設(shè)%,%，.,a“線性無(wú)關(guān)，證明%+%，。2+%，....,%+。1在n為奇數(shù)時(shí)

線性無(wú)關(guān)；在n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。

3.設(shè)%..,4,/?線性相關(guān)，而囚,。2,....線性無(wú)關(guān)，證明?能由

%,。2,...，4線性表示且表示式唯一。

4.設(shè)％,。2,%線性相關(guān)，4，%，%線性無(wú)關(guān)，求證%不能由線性表示。

5.證明：向量組%,%,……，4(s22)線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向

量是其余向量的線性組合。

6.設(shè)向量組4,%，……，%中%NO,并且每一個(gè)巴都不能由前"1個(gè)向量線性

表示。=2,3,…,s),求證％,%，…,見(jiàn)線性無(wú)關(guān)。

7.證明：如果向量組中有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)。

8.設(shè)a。,%,%,…，4是線性無(wú)關(guān)向量組，證明向量組

。0，4+%,4+?,,???,a0+4也線性無(wú)關(guān)。

第三章向量參考答案

一、單項(xiàng)選擇

l.b2.d3.a4.b5.b6.d7.d8.a9.blO.cll.c12.d13.a

14.b15.a

二、填空題

1.52相關(guān)3.a/04.相關(guān)5.無(wú)關(guān)6.線性無(wú)關(guān)7.-1

8.無(wú)關(guān)9相等10.<11.線性無(wú)關(guān)12.013.x=±l,y=±-

14.對(duì)應(yīng)分量成比例

三、解答題

1.解：設(shè)尸=X]%+/a2+%3。3

(1+/1)X]+x2+x3=0

X

則對(duì)應(yīng)方程組為，%1+(1+2)2+X3=A.

X[+X2+(1+丸)％3=丸一

1+211

其系數(shù)行列式|A|=11+2I=萬(wàn)(/1+3)

111+2

(1)當(dāng)2#0,/1力-3時(shí)，網(wǎng)工。，方程組有唯一解，所以夕可由即見(jiàn)外唯一

地線性表示；

q11f1110、

(2)當(dāng)；1=0時(shí)，方程組的增廣陣1110-0000

oj10

J11000,

r(A)=r(A)=l<3,方程組有無(wú)窮多解，所以僅可由必,a2a3線性表示，

但表示式不唯一；

(3)當(dāng);1=-3時(shí)，方程組的增廣陣

8

，-2I1o、n-2

入=1-21—3-0-33-12—(X),方程組無(wú)解,

9J10

,11-200_18,

所以夕不能由%,12。3線性表示。

2.解:以%,％,03，。4，￡為列構(gòu)造矩陣

’1111r

1111、

0112i

01121a+]

—0010

23。+24b+34

1-a2

51。+85;000b

14/

(1)當(dāng)。=±1且6*時(shí),尸不能表示為由,%，%,。4的線性組合;

(2)當(dāng)4#±1,乂壬意時(shí)，夕能唯一地表示為四,%，。3,。4的線性組合。

'12113、'10-102、

-112-1001101

3.解：(%,a-,,%,%,%)=—>

055-270001一1

、462014,,00000?

%,%,%為一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且。3=-因+4+。&，生5=2%+%-。4

111

4.解：\ay,a2,a^=123=t-5,

13t

當(dāng)r=5時(shí)/,%,%線性相關(guān)，當(dāng)f#5時(shí)即。2，。3線性無(wú)關(guān)。

5.解：先正交化：

令4=%=(1,2,0廠

2

1A丁5

再單位化:

九,片，73為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。

四、證明題

1.證：???3（4+/72）-4（24一反）=（）

，一5四+3/+4四=0

，一血，4線性相關(guān)

2.證：設(shè)勺(4+a2)+k2(a2+%)+—+?,)=0

則(匕+期)%+(匕+k2)a2+???(*?.1+kn)an=0

/%,%,,a“線性無(wú)關(guān)

k、+=0

k1+k2=0

憶一+繪=0

10001

11000

011002”為奇數(shù)

其系數(shù)行列式=1+(—1嚴(yán)

0,〃為偶數(shù)

00010

00011

10

.,.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，kx,k2,...，匕，只能為零，四,。2,....,a“線性無(wú)關(guān)；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，kA,k2,……，心可以不全為零，四,%,……,a”線性相關(guān)。

3.證：..線性相關(guān)

???存在不全為零的數(shù)七,&，……人★使得

kiai+k2al+...+k，a、+k/3=0

若左=0,則占%+&%+...+ksas=0,(kvk2,....)

與％,。2，...,a，線性無(wú)關(guān)矛盾

所以女片0

于是/3---a,--a-,-...--a

k'k2ks

夕能由a”％，……，&線性表示。

設(shè)￡=占％+七%+...+ksas①

P=/|?,+l2a2+...+/。，②

則①-②得(占一G%+(&—4)%+……+I,)%=0

,?*a,,a2,...,a,線性無(wú)關(guān)

...%一4=0,(i=l,2,…,s)

，￡.=/,.,(『=1,2,…,s)即表示法唯一

4.證：假設(shè)能由%，。2，4線性表示

1.,線性無(wú)關(guān)，，。2，。3線性無(wú)關(guān)

：四02，%線性相關(guān)，二%可由%，線性表示，

/.a4能由a2，四線性表示，從而。2,%，%線性相關(guān)，矛盾

/?。4不能由囚,。2，。3線性表示。

5.證：必要性

設(shè)向量組四,。2,??…，氏線性相關(guān)

則存在不全為零的數(shù)匕/2,……也，使得31+k2a2+……+—%=0

不妨設(shè)《#0,則a,=一4%-……一絲。一，

&&ks

即至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合。

充分性

設(shè)向量組%,。2,??…，&中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合

不妨設(shè)a,.=匕%+k2a2+......+

則kia]+k2a2+.......+ks_xas_x-as=0,

所以名...,a3線性相關(guān)。

6.證：用數(shù)學(xué)歸納法

當(dāng)s=l時(shí)，%/0,線性無(wú)關(guān)，

當(dāng)s=2時(shí)，?.?4不能由四線性表示，；.外,%線性無(wú)關(guān)，

設(shè)$=11時(shí)，％,%，...,a-線性無(wú)關(guān)

則s=i時(shí)，假設(shè)%,%，,%線性相關(guān)，/,%，線性無(wú)關(guān)，巴.可

由4,%，線性表示，矛盾，所以%...,火線性無(wú)關(guān)。得證

7.證：若向量組四,%，.,a，中有一部分組線性相關(guān)，不妨設(shè)%,。2,,ar(r<s)

12

線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)勺,七,……使得

改必+k2a2+....+krar=0

于是％%-\-k2a2+....+krar+0。川+…+0&=0

因?yàn)樨?女2,.....,心,0,一?，0不全為零

所以%,021.....,4線性相關(guān)。

8.證：設(shè)%0。0+仁（。0+%）+%2（。0+%）+~+4（。0+&）=。

貝U（%（）+L+%2----&k、）%+4-k?a?H---1-k、a$—0

因多）,%,%，…，4線性無(wú)關(guān)，

kq+Z]+k[+??,+氏=0

k1=0

所以v22=0解得k0=kx-k2=…=左$=0

ks=0

所以向量組%,/+%,%+%，…，4）+4線性無(wú)關(guān)。

第四章線性方程組

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)〃元齊次線性方程組AX=O的系數(shù)矩陣的秩為r,則AX=0有非零解的充

分必要條件是()

(A)r-n(B)r<n

(C)r>n(D)r>n

2.設(shè)A是mx〃矩陣，則線性方程組AX=匕有無(wú)窮解的充要條件是()

(A)r(A)<m(B)r(A)<n

(C)r(Ab)=r(A)<m(D)r(Ab)=r(A)<n

3.設(shè)A是加x〃矩陣，非齊次線性方程組AX=匕的導(dǎo)出組為AX=0,若m<〃，

則()

(A)必有無(wú)窮多解(B)必有唯一解

(C)AV=0必有非零解(D)AX=0必有唯一解

%j+2X2-x3=4

4.方程組<々+29=2無(wú)解的充分條件是4=()

(2-2)/=-(/t-3)(/1-4)(2-1)

(A)1(B)2(C)3(D)4

Xi+X2+Xi=A-]

5.方程組2々-忍=2-2有唯一解的充分條件是丸=()

￡=丸一4

(2-l)x3=-a-3))(/l-l))

(A)1(B)2(C)3(D)4

%+2%—工3=4—1

6.方程組3X2-X3=2-2有無(wú)窮解的充分條件是4=()

AX2-XJ—(4—3)(A—4)+(A—2)

(A)1(B)2(C)3(D)4

7.已知4,凡是非齊次線性方程組"=匕的兩個(gè)不同的解，%%是導(dǎo)出組

14

AX=O的基本解系，配心為任意常數(shù)，則的通解是()

(A)&0+k(a+4)+P')(B)

2}(囚+《(4一七)+

(C)匕％+&(4+幺)+丐乙(D)%0+&(4一河)

8.設(shè)A為mx〃矩陣，則下列結(jié)論正確的是()

(A)若AX=0僅有零解，則AX=匕有唯一解

(B)若"=0有非零解，則AX=人有無(wú)窮多解

(C)若有無(wú)窮多解，則AX=0僅有零解

(D)若AX=力有無(wú)窮多解，則AX=0有非零解

9.設(shè)A為7〃x〃矩陣，齊次線性方程組AX=0僅有零解的充要條件為()

(A)A的列向量線性無(wú)關(guān)(B)A的列向量線性相關(guān)

(C)A的行向量線性無(wú)關(guān)(D)A的行向量線性相關(guān)

%+%+工3=1

10.線性方程組■玉+2/+3w=0()

4xj+7x2+10x3=1

(A)無(wú)解(B)有唯一解(C)有無(wú)窮多解(D)其導(dǎo)出組只

有零解

二、填空題

1.設(shè)A為100階矩陣，且對(duì)任意100維的非零列向量X,均有AX/0,則A的

秩為—.

kxx+2X2+x3=0

2.線性方程組.2芯+日2=0僅有零解的充分必要條件是—.

［光?-九2+%3=0

3.設(shè)X“X2，X,和9X1+02X2++6%均為非齊次線性方程組的解

(c”2，j為常數(shù))，則q+C2++q=

4.若線性方程組AX=匕的導(dǎo)出組與BX=O(r(B)=r：有相同的基礎(chǔ)解系，則

r(A)=

5.若線性方程組A**,,X=人的系數(shù)矩陣的秩為〃?，則其增廣矩陣的秩為—.

6.設(shè)10x15矩陣的秩為8,則AX=0的解向量組的秩為.

7.如果〃階方陣A的各行元素之和均為0,且廠⑷*4，則線性方程組AX=0

的通解為一.

8.若〃元齊次線性方程組AX=0有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則4=

"12

9.設(shè)A=23，若齊次線性方程組AX=0只有零解,

Ja

則&=.

’12

10.設(shè)A=23。+2力若線性方程組AX=匕無(wú)解，則

、1a

11.〃階方陣A,對(duì)于AX=0,若每個(gè)〃維向量都是解，則r(A)=—.

12.設(shè)5x4矩陣A的秩為3,是非齊次線性方程組的三個(gè)不同的

解向量，若.+4+2。3=(2,。,0，。)'，3%+。2=(2,4,6,81,則AX■斗的通解

為.

13.設(shè)A為加X(jué)”矩陣，r(A)=r<min(w,/?),則AX=0有個(gè)解，有個(gè)線

性無(wú)關(guān)的解.

三、計(jì)算題

1.已知2a是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，問(wèn)

ax+a2a上a,q+@是否是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系？為什么？

16

5433-1-1-2010

012265-6001

2.設(shè)A=B=,已知8的行向量都是線

3211-31-2100

111111-23-20

性方程組AX=O的解，試問(wèn)3的四個(gè)行向量能否構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？為

什么？

3.設(shè)四元齊次線性方程組為（D：r,+%2=0

X2-X4=0

1）求（D的一個(gè)基礎(chǔ)解系

2）如果K（0,l,l,0）7'+&（T，2,2,l）7'是某齊次線性方程組（II）的通解，問(wèn)方程組

（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若無(wú)，說(shuō)明

理由。

4.問(wèn)為何值時(shí)，下列方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮解？在有解時(shí)求出全部

解（用基礎(chǔ)解系表示全部解）。

%+%+尤3=〃X1+冗2+b*3=4

2

1)<町+W+%3=12)<-x]+bx2+x3=Z?

2

%+%+。芻=a-犬2+2忍=-4

5.求一個(gè)非齊次線性方程組，使它的全部解為

-<23.儲(chǔ)溝任意實(shí)數(shù)

/\/

2-213

6.設(shè)4=，求4x2一個(gè)矩陣5,使得A8=0,且r(B)=2。

9-528

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.B2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.D9.A10.C

二、填空題

1.1002.Z。一2且左，33.14.r5.m6.7

7.-1,1,,1/（左為任意實(shí)數(shù)）8.09.a?！?或310.a=-l11.

0

12.d,0,0,0），+攵（0,2,3,4）,女任意實(shí)數(shù)13.無(wú)窮，n-r

2

三、計(jì)算題

1.是2.不能

3.1）匕=（0,0,1,0）7,%=（-1,1,0,1）72）氏（-1,1,1,（其中4為任意非零常數(shù)）

4.1）當(dāng)a=-2時(shí)，無(wú)解；當(dāng)且。工1時(shí)有唯一解：（--,—,^^-7；

2+。2+。2+。

當(dāng)”=1時(shí)有無(wú)窮多解：q（-1,1,0尸+。2（-1，。，11+（1，0,0）7'（其中。，。2為任意常數(shù)）

2）當(dāng)b=-\時(shí)，無(wú)解；當(dāng)hr—1且人。4時(shí)有唯一解：

（"二當(dāng)」"二）r；當(dāng)人=4時(shí)有無(wú)窮多解：

b+lb+\b+]

o（-3,-1,10+（0,4,0尸（其中汾任意常數(shù)）

5.9%+5X2-3X3--5

18

11/21/2

15/21/2,

第五章特征值與特征向量

一、單項(xiàng)選擇題

‘001、

1.設(shè)4=010，則A的特征值是()。

J0

(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,2

"110、

2.設(shè)4=101,則A的特征值是()。

1b

(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,1,1

3.設(shè)A為〃階方陣，4=/,則()o

(a)|A|=1(b)A的特征根都是1(c)r(A)=n(d)A一定是對(duì)稱陣

4.若石,々分別是方陣A的兩個(gè)不同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則占玉+履々也

是A的特征向量的充分條件是()。

(a)勺=0且%2=0(b)《#0且22片0(c)k1k2=0(d)&產(chǎn)0且==0

5.若〃階方陣A8的特征值相同，則()。

(a)A=3(b)|A|=|S|(c)A與8相似(d)A與3合同

6.設(shè)A為〃階可逆矩陣，4是A的特征值，則A*的特征根之一是()o

(a)2-'|A|"(b)A-'\A\(c)41Al(d)A\A\n

7.設(shè)2是非奇異陣A的一個(gè)特征值,則gAz尸至少有一個(gè)特征值等于()0

(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/4

8.設(shè)〃階方陣A的每一行元素之和均為。3工0),則石有一特征值為

()。

2

(a)a(b)2a(c)2a+l(d)—+1

a

9.矩陣A的屬于不同特征值的特征向量()o

(a)線性相關(guān)(b)線性無(wú)關(guān)

(c)兩兩相交(d)其和仍是特征向量

10.|AR8|是〃階矩陣A與B相似的()。

(a)充要條件(b)充分而非必要條件

(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件

11.〃階方陣A有〃個(gè)不同的特征根是A與對(duì)角陣相似的(

(a)充要條件(b)充分而非必要條件

(c)必要而非充分條件(d)既不充分也不必要條件

<1a1、<000、

12.設(shè)矩陣A=a1f3與5=010相似，則%夕的值分別為()

1002,

(a)0,0(b)0,1(c)1,0(d)1,1

13.設(shè)為相似的〃階方陣，則()。

(a)存在非奇異陣P，使P'AP=B(b)存在對(duì)角陣。，使A與B都相似于D

(c)存在非奇異陣P，使PTAP=B(d)4與B有相同的特征向量

20

14.若〃階方陣A與某對(duì)角陣相似，則()□

(a)r(A)=n(b)A有"個(gè)不同的特征值

(c)A有〃個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(d)A必為對(duì)稱陣

15.若A相似于以，則()。

(a)AI-A=AI-B(b)I2Z-AH^I~B\

(c)A及8與同一對(duì)角陣相似(d)A和3有相同的伴隨矩陣

’100、

16.設(shè)A=010，則與A相似的矩陣是(

,002J

‘110、'100、」or'200、

(a)010(b)020(c)020(d)011

、002,、001,、00"02,

17.下列說(shuō)法不妥的是)

(a)因?yàn)樘卣飨蛄渴欠橇阆蛄?，所以它所?duì)應(yīng)的特征向量非零

(b)屬于一個(gè)特征值的向量也許只有一個(gè)

(c)一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值

(d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣

18.若AB,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

(a)AE-A=AE-B(b)同=忸|

(c)存在可逆矩陣P,使=B(d)trA-trB

二、填空題

1.n階零矩陣的全部特征值為o

2.設(shè)A為n階方陣，且*=/,則A的全部特征值為.

3.設(shè)A為n階方陣，且A”=0(m是自然數(shù))，則A的特征值為

4.若屋=4,則A的全部特征值為。

5.若方陣A與4/相似，則4=0

6.若n階矩陣A有n個(gè)相應(yīng)于特征值2的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A=

7.設(shè)三階矩陣A的特征值分別為-1,0,2,則行列式,2+4+/卜o

8.設(shè)二階矩陣A滿足A2-3A+2E=O,則A的特征值為。

9.特征值全為1的正交陣必是陣。

10.若四階矩陣A與B相似，A的特征值為則甲-E卜-

什(2231、2).

11.右4==8,則nx=_________,y-_______o

㈠x八34；

三、計(jì)算題

1.若”階方陣4的每一行元素之和都等于外試求A的一個(gè)特征值及該特征值

對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.

2.求非奇異矩陣尸，使P-AP為對(duì)角陣.

/、(II一2、

(21、

1)A=2)A=-1-31

'1?'1-20-1J

3.已知三階方陣A的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)的特征向量依次為

(0,0,1)。(-1,1,01,(-2,1,1)。求矩陣A.

，2-12](1、

4.設(shè)A=5a3,