專題-橢圓中的定點定值問題

專題-橢圓中的定點定值問題橢圓中的定點定值問題1．已知橢圓C：（）的右焦點為F（1，0），且（，）在橢圓C上。（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過點F，且與橢圓C交于A、B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。解：（1）由題意知c=1．由橢圓定義得，即--3分∴，橢圓C方程為．（2）假設在x軸上存在點Q（m，0），使得恒成立。當直線l的斜率不存在時，A（1，），B（1，），由于（）·（）=，所以，下面證明時，恒成立。當直線l的斜率為0時，A（，0）B（，0）則（，0）（，0）=，符合題意。當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為x=ty+1，A，B，由x=ty+1及得有∴；，∴==，綜上所述：在x軸上存在點Q（，0）使得恒成立。2．如圖，中心在坐標原點，焦點分別在軸和軸上的橢圓，都過點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標準方程；（Ⅱ）過點引兩條斜率分別為的直線分別交，于點P，Q，當時，問直線PQ是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）直線MP的方程為，聯(lián)立橢圓方程得：，消去y得，則，則點P的坐標為，同理可得點Q的坐標為：程為x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），?=4﹣=；當直線的斜率存在，設l：y=k（x+2），設P（x1，y1），Q（x2，y2），代入橢圓方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤?＜，綜上可得，?的取值范圍是[﹣6，]；（ii）證明：由直線l的斜率一定存在，且不為0，可設PQ：y=k（x+2），F(xiàn)N：y=﹣（x+2），設M（x0，y0），則x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直線OM的斜率為kOM==﹣，直線OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的橫坐標均為﹣3，則點N在一條定直線x=﹣3上．5．橢圓C：+=1（a＞b＞0）．（1）若橢圓C過點（﹣3，0）和（2，）．①求橢圓C的方程；②若過橢圓C的下頂點D點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點P，M，求證：直線PM經(jīng)過一定點；（2）若橢圓C過點（1，2），求橢圓C的中心到右準線的距離的最小值．解：（1）①∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴橢圓C的方程．證明：②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設直線PD的斜率為k，則PD：y=kx﹣1，由，得P（，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直線PM：y﹣=，即y=，∴直線PM經(jīng)過定點T（0，）．解：（2）橢圓C的中心到右準線的距離d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，則=t++9≥2+9=4+9，當且僅當t=2，時，等號成立，∴橢圓C的中心到右準線的距離的最小值為．6．已知橢圓的右焦點到直線的距離為，離心率，是橢圓上的兩動點，動點滿足，（其中為常數(shù)）．（1）求橢圓標準方程；（2）當且直線與斜率均存在時，求的最小值；（3）若是線段的中點，且，問是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點，使得動點滿足，若存在，求出的值和定點；若不存在，請說明理由．解：（1）由題設可知：右焦點到直線的距離為：，又，，∴．∴橢圓標準方程為．（2）設則由得．∴．由得，，當且僅當時取等號（3）．∴．∴．設，則由，得，即．因為點、在橢圓上，所以．所以．即，所以點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為，則由橢圓的定義得，∴，，．7．已知橢圓的右焦點為F2（1，0），點在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）點在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由．解：（1）右焦點為，，左焦點為，點在橢圓上，，所以橢圓方程為（2）設，，連接OM，OP，由相切條件知，同理可求所以為定值．8．分別過橢圓E：=1（a＞b＞0）左、右焦點F1、F2的動直線l1、l2相交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當l1與x軸重合時，|AB|=2，|CD|=．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在定點M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點坐標，若不存在，說明理由．解：（1）當l1與x軸重合時，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l(xiāng)2垂直于x軸，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴橢圓E的方程為．（2）焦點F1、F2坐標分別為（﹣1，0），（1，0），當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0），當直線l1，l2斜率存在時，設斜率分別為m1，m2，設A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由題意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，設P（x，y），則，即，x≠±1，由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，∴點P（x，y）點在橢圓上，∴存在點M，N其坐標分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1，設R（x0，y0）是橢圓C上的任一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q．（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．解：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑，因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個不相等的實數(shù)根，，因為點R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）當直線ξ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），因為2k1k2+1=0，所以，即，因為P（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36．（ii）當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．10．已知橢圓C：，左焦點，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：（）與橢圓交于不同的兩點，（，不是左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出定點的坐標．解：（1）由題意可知，解得，所以橢圓的方程為．（2）由方程組得，，整理得，設，，則，由已知，，即，又橢圓的右頂點為，所以，∵，∴，即．整理得，解得或均滿足．當時，直線的方程為，過定點，與題意矛盾，舍去；當時，直線的方程為，過定點，故直線過定點，且定點的坐標為．11．已知橢圓:的離心率為，點在橢圓C上，O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，是否存在圓心在坐標原點，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標軸上的兩點，，記直線，的斜率分別為，，滿足為定值，若存在，求出定圓的方程并求出的值，若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）由題意，得，a2=b2+c2，又因為點在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）結論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．證明如下：假設存在符合條件的圓，并設此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m．由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0，因為直線l與橢圓C所以，即m2=4k2+1．由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，則．設P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，，設直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗證符合題意．所以當圓的方程為x2+y2=5時，圓與l的交點P1，P2滿足k1k2為定值．當直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x=±2，此時，圓x2+y2=5與l的交點P1，P2也滿足．綜上，當圓的方程為x2+y2=5時，圓與l的交點P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值．12．已知橢圓，經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點構成等腰直角三角形．（1）求橢圓方程；（2）過橢圓右頂點的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點，試問：直線是否過定點？若過定點，請求出此定點，若不過，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，，∴，∴（舍）．∴直線過定點(0,0)，當斜率不存在時也符合，即直線恒過定點(0,0)．14．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓標準方程；（2）已知點為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在點，使為定值？若存在，試求出點的坐標和定值，若不存在，說明理由．解：（1）由得，即①又以原點O為圓心，橢圓C的長軸長為半徑的圓為且與直線相切，所以代入①得c=2，所以．所以橢圓C的標準方程為（2）由得設，所以根據(jù)題意，假設軸上存在定點E（m，0），使得為定值．則=要使上式為定值，即與k無關，，得．此時，，所以在軸上存在定點E（，0）使得為定值，且定值為．15．已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點處的切線方程為，試運用該性質解決以下問題：已知橢圓和橢圓（為常數(shù)）．（1）如圖（1），點為在第一象限中的任意一點，過作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點，求面積的最小值；（2）如圖（2），過橢圓上任意一點作的兩條切線和，切點分別為，當點在橢圓上運動時，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．解：（1）設，則橢圓在點處的切線方程為令，令，所以又點在橢圓的第一象限上，所以∴∴，當且僅當所以當時，三角形的面積的最小值為．（2）設，則橢圓在點處的切線為：又過點，所以，同理點也滿足所以都在上，即直線的方程為，又在上，，故原點到直線的距離為：，所以直線始終與圓相切．16．已知直線被圓截得的弦長恰與橢圓的短軸長相等，橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點，使得無論如何轉動，以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由。解：（Ⅰ）由題設可求得，又，則，所以橢圓的方程是．（Ⅱ）若直線與軸重合，則以為直徑的圓為，若直線垂直于軸，則以為直徑的圓為，由，解得，由此可知所求點T如果存在，只能是．事實上點就是所求的點，證明如下：當直線的斜率不存在，即直線與軸重合時，以為直徑的圓為，過點；當直線的斜率存在，設直線方程為，代入橢圓方程并整理得，設點的坐標為，則，因為，所以有，所以，即以為直徑的圓恒定過點，綜上可知，在坐標平面上存在一個定點滿足條件．17．已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝4，橢圓E：＋＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．（1）求橢圓E的方程；（2）已知動直線（斜率存在）與橢圓E交于P，Q兩個不同點，且△OPQ的面積S△OPQ＝1，若N為線段PQ的中點，問：在x軸上是否存在兩個定點A，B，使得直線NA與NB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B的坐標，若不存在，說明理由．解：（1）設橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d＝＝，則l被圓O截得的弦長為2，所以b＝1，由題意得e＝，∵b＝1，∴a2＝4，b2＝1．∴橢圓E的方程為＋＝1．（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l1的方程為：y＝kx＋m．則消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．x1＋x2＝－，x1·x2＝．|PQ|＝·|x1－x2|＝．原點O到直線l1的距離d＝，則S△OPQ＝|PQ|·d＝＝1，∴2|m|·＝1＋4k2，令1＋4k2＝n，∴2|m|·＝n，∴n＝2m2，1＋4k2＝2m2．∵N為PQ中點，∴xN＝＝－，yN＝＝，∵1＋4k2＝2m2，∴xN＝－，yN＝．∴＋2y＝1．假設x軸上存在兩定點A（s，0），B（t，0）（s≠t），則直線NA的斜率k1＝，直線NB的斜率k2＝，∴k1k2＝＝·＝－·．當且僅當s＋t＝0，st＝－2時，k1k2＝－，則s＝，t＝－．綜上所述，存在兩定點A（，0），B（－，0），使得直線NA與NB的斜率之積為定值．18．在平角坐標系中，橢圓的離心率，且過點，橢圓的長軸的兩端點為，，點為橢圓上異于，的動點，定直線與直線，分別交于，兩點．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在定點經(jīng)過以為直徑的圓，若存在，求定點坐標；若不存在，說明理由．解：（1），∴橢圓的方程為；設，的斜率分別為，，，則，，，由：知，由：知，∴的中點，∴以為直徑的圓的方程為，令，∴，∴，∴，即，解得或，∴存在定點，經(jīng)過以為直徑的圓．19．如圖，在平面直角坐標系中，已知、分別是橢圓的左、右焦點，分別是橢圓的左、右頂點，為線段的中點，且．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動點（異于點、），連接并延長交橢圓于點，連接、并分別延長交橢圓于點，，連接，設直線、的斜率存在且分別為、．試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）∵，∴，∵，化簡得，點為線段的中點，∴，從而，，左焦點，故橢圓的方程為；（2）存在滿足條件的常數(shù)，，設，，，，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，，∵，∴，從而，故點，同理，點，∵三點共線，∴，從而，從而，故，從而存在滿足條件的常數(shù)，．20．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，直線與軸交于點，與橢圓交于兩點．xxOyBPEA（1）若點的坐標為，點在第一象限且橫坐標為，連結點與原點的直線交橢圓于另一點，求的面積；（2）是否存在點，使得為定值？若存在，請指出點的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由．解：（1）將代入，解得，因點在第一象限，從而，由點的坐標為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過原點，于是，，所以直線的方程為，所以點到直線的距離，（2）假設存在點，使得為定值，設，當直線與軸重合時，有當直線與軸垂直時，，由，解得，，所以若存在點，此時，為定值2．根據(jù)對稱性，只需考慮直線過點，設