專題-橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題

專題-橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題1．已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且（，）在橢圓C上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）由題意知c=1．由橢圓定義得，即--3分∴，橢圓C方程為．（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得恒成立。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A（1，），B（1，），由于（）·（）=，所以，下面證明時(shí)，恒成立。當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A（，0）B（，0）則（，0）（，0）=，符合題意。當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A，B，由x=ty+1及得有∴；，∴==，綜上所述：在x軸上存在點(diǎn)Q（，0）使得恒成立。2．如圖，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸和軸上的橢圓，都過(guò)點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)引兩條斜率分別為的直線分別交，于點(diǎn)P，Q，當(dāng)時(shí)，問(wèn)直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）直線MP的方程為，聯(lián)立橢圓方程得：，消去y得，則，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：程為x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），?=4﹣=；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)l：y=k（x+2），設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），代入橢圓方程x2+3y2=6，可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2﹣6=0，x1+x2=﹣，x1x2=，?=x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1+2）（x2+2）=（1+k2）x1x2+2k2（x1+x2）+4k2=（1+k2）?+2k2?（﹣）+4k2==﹣，由k2≥0，3k2+1≥1，可得﹣6≤?＜，綜上可得，?的取值范圍是[﹣6，]；（ii）證明：由直線l的斜率一定存在，且不為0，可設(shè)PQ：y=k（x+2），F(xiàn)N：y=﹣（x+2），設(shè)M（x0，y0），則x0=，由x1+x2=﹣，可得x0=，y0=k（x0+2）=，直線OM的斜率為kOM==﹣，直線OM：y=﹣x，由得，即有k取何值，N的橫坐標(biāo)均為﹣3，則點(diǎn)N在一條定直線x=﹣3上．5．橢圓C：+=1（a＞b＞0）．（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）和（2，）．①求橢圓C的方程；②若過(guò)橢圓C的下頂點(diǎn)D點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M，求證：直線PM經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；（2）若橢圓C過(guò)點(diǎn)（1，2），求橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值．解：（1）①∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）和（2，），∴，解得a=3，b=1，∴橢圓C的方程．證明：②由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx﹣1，由，得P（，），用﹣代k，得M（，），∴=，∴直線PM：y﹣=，即y=，∴直線PM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T（0，）．解：（2）橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離d=，由=1，得，∴==，令t=a2﹣5，t＞0，則=t++9≥2+9=4+9，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，時(shí)，等號(hào)成立，∴橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值為．6．已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，（其中為常數(shù)）．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；（3）若是線段的中點(diǎn)，且，問(wèn)是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，若存在，求出的值和定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）由題設(shè)可知：右焦點(diǎn)到直線的距離為：，又，，∴．∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)則由得．∴．由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（3）．∴．∴．設(shè)，則由，得，即．因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以．所以．即，所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義得，∴，，．7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F2（1，0），點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓方程；（2）點(diǎn)在圓上，M在第一象限，過(guò)M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說(shuō)明理由．解：（1）右焦點(diǎn)為，，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，，所以橢圓方程為（2）設(shè)，，連接OM，OP，由相切條件知，同理可求所以為定值．8．分別過(guò)橢圓E：=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F1、F2的動(dòng)直線l1、l2相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，|AB|=2，|CD|=．（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，k1+k2=k3+k4=0，即k3=﹣k4，∴l(xiāng)2垂直于x軸，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，∴橢圓E的方程為．（2）焦點(diǎn)F1、F2坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（1，0），當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0），當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為m1，m2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，∴，，===，同理k3+k4=，∵k1+k2=k3+k4，∴，即（m1m2+2）（m2﹣m1）=0，由題意知m1≠m2，∴m1m2+2=0，設(shè)P（x，y），則，即，x≠±1，由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，∴點(diǎn)P（x，y）點(diǎn)在橢圓上，∴存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1，設(shè)R（x0，y0）是橢圓C上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問(wèn)OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．解：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑，因?yàn)橹本€OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點(diǎn)R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因?yàn)橹本€OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡(jiǎn)得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，因?yàn)辄c(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）當(dāng)直線ξ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．法二：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)?k1k2+1=0，所以，即，因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以O(shè)P2+OQ2=36．（ii）當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．10．已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意可知，解得，所以橢圓的方程為．（2）由方程組得，，整理得，設(shè)，，則，由已知，，即，又橢圓的右頂點(diǎn)為，所以，∵，∴，即．整理得，解得或均滿足．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．已知橢圓:的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，是否存在圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，，記直線，的斜率分別為，，滿足為定值，若存在，求出定圓的方程并求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（Ⅰ）由題意，得，a2=b2+c2，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m．由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C所以，即m2=4k2+1．由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，則．設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，，設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗(yàn)證符合題意．所以當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足k1k2為定值．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題意知l的方程為x=±2，此時(shí)，圓x2+y2=5與l的交點(diǎn)P1，P2也滿足．綜上，當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值．12．已知橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓方程；（2）過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）根據(jù)題意．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，，∴，∴（舍）．∴直線過(guò)定點(diǎn)(0,0)，當(dāng)斜率不存在時(shí)也符合，即直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,0)．14．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由得，即①又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓為且與直線相切，所以代入①得c=2，所以．所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由得設(shè)，所以根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使得為定值．則=要使上式為定值，即與k無(wú)關(guān)，，得．此時(shí)，，所以在軸上存在定點(diǎn)E（，0）使得為定值，且定值為．15．已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：已知橢圓和橢圓（為常數(shù)）．（1）如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值；（2）如圖（2），過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和，切點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為令，令，所以又點(diǎn)在橢圓的第一象限上，所以∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積的最小值為．（2）設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線為：又過(guò)點(diǎn)，所以，同理點(diǎn)也滿足所以都在上，即直線的方程為，又在上，，故原點(diǎn)到直線的距離為：，所以直線始終與圓相切．16．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)恰與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（Ⅰ）由題設(shè)可求得，又，則，所以橢圓的方程是．（Ⅱ）若直線與軸重合，則以為直徑的圓為，若直線垂直于軸，則以為直徑的圓為，由，解得，由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是．事實(shí)上點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在，即直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓為，過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋杂?，所以，即以為直徑的圓恒定過(guò)點(diǎn)，綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件．17．已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝4，橢圓E：＋＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等．（1）求橢圓E的方程；（2）已知?jiǎng)又本€（斜率存在）與橢圓E交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ＝1，若N為線段PQ的中點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得直線NA與NB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d＝＝，則l被圓O截得的弦長(zhǎng)為2，所以b＝1，由題意得e＝，∵b＝1，∴a2＝4，b2＝1．∴橢圓E的方程為＋＝1．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l1的方程為：y＝kx＋m．則消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．x1＋x2＝－，x1·x2＝．|PQ|＝·|x1－x2|＝．原點(diǎn)O到直線l1的距離d＝，則S△OPQ＝|PQ|·d＝＝1，∴2|m|·＝1＋4k2，令1＋4k2＝n，∴2|m|·＝n，∴n＝2m2，1＋4k2＝2m2．∵N為PQ中點(diǎn)，∴xN＝＝－，yN＝＝，∵1＋4k2＝2m2，∴xN＝－，yN＝．∴＋2y＝1．假設(shè)x軸上存在兩定點(diǎn)A（s，0），B（t，0）（s≠t），則直線NA的斜率k1＝，直線NB的斜率k2＝，∴k1k2＝＝·＝－·．當(dāng)且僅當(dāng)s＋t＝0，st＝－2時(shí)，k1k2＝－，則s＝，t＝－．綜上所述，存在兩定點(diǎn)A（，0），B（－，0），使得直線NA與NB的斜率之積為定值．18．在平角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，定直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在定點(diǎn)經(jīng)過(guò)以為直徑的圓，若存在，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1），∴橢圓的方程為；設(shè)，的斜率分別為，，，則，，，由：知，由：知，∴的中點(diǎn)，∴以為直徑的圓的方程為，令，∴，∴，∴，即，解得或，∴存在定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)以為直徑的圓．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)、），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、．試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）∵，∴，∵，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，從而，，左焦點(diǎn)，故橢圓的方程為；（2）存在滿足條件的常數(shù)，，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，，∵，∴，從而，故點(diǎn)，同理，點(diǎn)，∵三點(diǎn)共線，∴，從而，從而，故，從而存在滿足條件的常數(shù)，．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)．xxOyBPEA（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積；（2）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過(guò)原點(diǎn)，于是，，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，由，解得，，所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2．根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)