專題19：反比例函數(shù)的應用

專題19：反比例函數(shù)的應用第4頁共50頁2012年全國中考數(shù)學試題分類解析匯編(159套63專題）專題19：反比例函數(shù)的應用一、選擇題1.（2012福建福州4分）如圖，過點C(1，2)分別作x軸、y軸的平行線，交直線y＝－x＋6于A、B兩點，若反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖像與△ABC有公共點，則k的取值范圍是【】A．2≤k≤9B．2≤k≤8C．2≤k≤5D．5≤k≤8【答案】A?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，二次函數(shù)的性質?！痉治觥俊唿cC(1，2)，BC∥y軸，AC∥x軸，∴當x＝1時，y＝－1＋6＝5；當y＝2時，－x＋6＝2，解得x＝4?！帱cA、B的坐標分別為A(4，2)，B(1，D.【答案】D?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，三角形三邊關系。【分析】∵把A，B分別代入反比例函數(shù)得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，）?！咴凇鰽BP中，由三角形的三邊關系定理得：|AP－BP|＜AB，∴延長AB交x軸于P′，當P在P′點時，PA－PB=AB，即此時線段AP與線段BP之差達到最大。設直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標代入得：，解得：?！嘀本€AB的解析式是。當y=0時，x=，即P（，0）。故選D。3.（2012湖北荊門3分）如圖，點A是反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上任意一點，AB∥x軸交反比例函數(shù)的圖象于點B，以AB為邊作□ABCD，其中C、D在x軸上，則S□ABCD為【】A．2B．3C．4D．5【答案】D?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，平行四邊形的性質。【分析】設A的縱坐標是a，則B的縱坐標也是a．把y=a代入得，，則，即A的橫坐標是；同理可得：B的橫坐標是：?！郃B=?！郤□ABCD=×a=5。故選D。4.（2012湖北恩施3分）已知直線y=kx（k＞0）與雙曲線交于點A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1y2+x2y1的值為【】A．﹣6B．﹣9C．0D．9【答案】A?！究键c】反比例函數(shù)圖象的對稱性，曲線上點的坐標與方程的關系。【分析】∵點A（x1，y1），B（x2，y2）是雙曲線上的點，∴x1?y1=x2?y2=3?！咧本€y=kx（k＞0）與雙曲線交于點A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，∴x1=﹣x2，y1=﹣y2∴x1y2+x2y1=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6。故選A。5.（2012湖北隨州4分）如圖，直線l與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內交于A、B兩點，交x軸的正半軸于C點,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)則△OAB的面積(用m表示)為【】A.B.C.D.【答案】B?！究键c】反比例函數(shù)的應用，曲線上點的坐標與方程式關系，相似三角形的判定和性質，代數(shù)式化簡?！痉治觥咳鐖D，過點A作AD⊥OC于點D，過點B作BE⊥OC于點E,設A(ｘA，ｙA)，B(ｘB，ｙB)，C（c?0）?！逜B：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC=AC：BC=m：1。又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC=c－ｘA，EC=c－ｘB，∴ｙA：ｙB=m：1，即ｙA=mｙB?！咧本€l與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內交于A、B兩點，∴，?！?，。將又由AC：BC=m：1得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即，解得?！?。故選B。6.（2012湖南株洲3分）如圖，直線x=t（t＞0）與反比例函數(shù)的圖象分別交于B、C兩點，A為y軸上的任意一點，則△ABC的面積為【】A．3B．tC．D．不能確定【答案】C?！究键c】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥堪褁=t分別代入，得，∴B（t，）、C（t，）?！郆C=﹣（）=?！逜為y軸上的任意一點，∴點A到直線BC的距離為t。∴△ABC的面積=。故選C。7.（2012四川瀘州2分）如圖，矩形ABCD中，C是AB的中點，反比例函數(shù)(k＞0)在第一象限的圖象經過A、C兩點，若△OAB面積為6，則k的值為【】A、2 B、4 C、8 D、16【答案】B?！究键c】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形中位線定理?！痉治觥咳鐖D，分別過點A、點C作OB的垂線，垂足分別為點M、點N，∵點C為AB的中點，∴CE為△AMB的中位線?！郙N=NB=a，CN=b，AM=2b。又∵OM?AM=ON?CN，∴OM=a。∴△OAB面積=3a?2b÷2=3ab=6。∴ab=2?！鄈=a?2b=2ab=4。故選B。8.（2012遼寧丹東3分）如圖，點A是雙曲線在第二象限分支上的任意一點，點B、點C、點D分別是點A關于x軸、坐標原點、y軸的對稱點．若四邊形ABCD的面積是8，則k的值為【】A.-1B.1C.2D.-2【答案】D?！究键c】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，關于原點對稱、x軸、y軸對稱的點的坐標，矩形的判定和性質?！痉治觥俊唿cB、點C、點D分別是點A關于x軸、坐標原點、y軸的對稱點，∴四邊形ABCD是矩形。∵四邊形ABCD的面積是8，∴4×|－k|=8，解得|k|=2。又∵雙曲線位于第二、四象限，∴k＜0。∴k=－2。故選D。9.（2012遼寧鐵嶺3分）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線（k≠0）上，AB∥x軸，分別過點A、B向x軸作垂線，垂足分別為D、C，若矩形ABCD的面積是8，則k的值為【】A.12B.10C.8D.6【答案】A?！究键c】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，曲線上點的坐標與方程的關系，平行的性質，矩形的判定和性質?！痉治觥俊唠p曲線（k≠0）在第一象限，∴k＞0。延長線段BA，交y軸于點E?！逜B∥x軸，∴AE⊥y軸?！嗨倪呅蜛EOD是矩形?！唿cA在雙曲線上，∴=4。同理=k?！撸鄈=12。故選A。10.（2012山東德州3分）如圖，兩個反比例函數(shù)和的圖象分別是l1和l2．設點P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點B，則三角形PAB的面積為【】A．3B．4C．D．5【答案】C?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，三角形的面積。11.（2012山東臨沂3分）如圖，若點M是軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥軸，分別交函數(shù)和的圖象于點P和Q，連接OP和OQ．則下列結論正確的是【】A．∠POQ不可能等于90° B．C．這兩個函數(shù)的圖象一定關于軸對稱D．△POQ的面積是【答案】D?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，直角三角形的判定，反比例函數(shù)的性質，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義?！痉治觥扛鶕?jù)反比例函數(shù)的性質逐一作出判斷：A．∵當PM=MO=MQ時，∠POQ=90°，故此選項錯誤；B．根據(jù)反比例函數(shù)的性質，由圖形可得：＞0，＜0，而PM，QM為線段一定為正值，故，故此選項錯誤；C．根據(jù)，的值不確定，得出這兩個函數(shù)的圖象不一定關于軸對稱，故此選項錯誤；D．∵||=PM?MO，||=MQ?MO，∴△POQ的面積=MO?PQ=MO（PM+MQ）=MO?PM+MO?MQ=。故此選項正確。故選D。12.（2012山東威海3分）下列選項中，陰影部分面積最小的是【】【答案】C?！究键c】反比例函數(shù)的圖象和性質?！痉治觥扛鶕?jù)反比例函數(shù)的圖象和性質，A，B，D三個圖形中陰影部分面積均為2。而C圖形中陰影部分面積為。故選C。二、填空題1.（2012廣東深圳3分）如圖，雙曲線與⊙O在第一象限內交于P、Q兩點，分別過P、Q兩點向x軸和y軸作垂線，已知點P坐標為(1，3)，則圖中陰影部分的面積為▲．【答案】4?！究键c】反比例函數(shù)綜合題【分析】∵⊙O在第一象限關于y=x對稱，也關于y=x對稱，P點坐標是（1，3），∴Q點的坐標是（3，1），∴S陰影=1×3+1×3－2×1×1=4。2.（2012浙江衢州4分）如圖，已知函數(shù)y=2x和函數(shù)的圖象交于A、B兩點，過點A作AE⊥x軸于點E，若△AOE的面積為4，P是坐標平面上的點，且以點B、O、E、P為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的P點坐標是▲．【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）。【考點】反比例函數(shù)綜合題，平行四邊形的性質?！痉治觥肯惹蟪鯞、O、E的坐標，再根據(jù)平行四邊形的性質畫出圖形，即可求出P點的坐標：如圖，∵△AOE的面積為4，函數(shù)的圖象過一、三象限，∴k=8?！喾幢壤瘮?shù)為∵函數(shù)y=2x和函數(shù)的圖象交于A、B兩點，∴A、B兩點的坐標是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以點B、O、E、P為頂點的平行四邊形共有3個，∴滿足條件的P點有3個，分別為：P1（0，﹣4），P2（﹣4，﹣4），P3（4，4）。3.（2012浙江溫州5分）如圖，已知動點A在函數(shù)(x>o)的圖象上，AB⊥x軸于點B，AC⊥y軸于點C，延長CA至點D，使AD=AB，延長BA至點Ｅ，使AE=AC.直線DE分別交x軸，y軸于點P,Q.當QE：DP=4:9時，圖中的陰影部分的面積等于▲_.【答案】。【考點】反比例函數(shù)綜合題，曲線上坐標與方程的關系，勾股定理，相似三角形的判定和性質。【分析】過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥y軸于點F。∵A在函數(shù)(x>o)的圖象上，∴設A（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t。在Rt△ADE中，由勾股定理，得?！摺鱁FQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD?！郠E=?！摺鰽DE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。又∵QE：DP=4：9，∴。解得?！鄨D中陰影部分的面積=。4.（2012江蘇常州2分）如圖，已知反比例函數(shù)和。點A在y軸的正半軸上，過點A作直線BC∥x軸，且分別與兩個反比例函數(shù)的圖象交于點B和C，連接OC、OB。若△BOC的面積為，AC：AB=2：3，則=▲，=▲。5.（2012江蘇蘇州3分）如圖，已知第一象限內的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個分支，第二象限內的圖象是反比例函數(shù)圖象的一個分支，在軸上方有一條平行于軸的直線與它們分別交于點A、B，過點A、B作軸的垂線，垂足分別為C、D.若四邊形ACDB的周長為8且AB<AC，則點A的坐標是▲.【答案】（，3）?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，矩形的性質，解分式方程?！痉治觥俊唿cA在反比例函數(shù)圖象上，∴可設A點坐標為（）?！逜B平行于x軸，∴點B的縱坐標為?！唿cB在反比例函數(shù)圖象上，∴B點的橫坐標，即B點坐標為（）?！郃B=a－（－2a）=3a，AC=?！咚倪呅蜛BCD的周長為8，而四邊形ABCD為矩形，∴AB＋AC=4，即3a＋=4，整理得，3a2－4a＋1=0，即（3a－1）（a－1）=0?！郺1=，a2=1?！逜B＜AC，∴a=。∴A點坐標為（，3）。6.（2012江蘇宿遷3分）在平面直角坐標系中，若一條平行于x軸的直線l分別交雙曲線和于A，B兩點，P是x軸上的任意一點，則△ABP的面積等于▲.【答案】4?！究键c】曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥吭O平行于x軸的直線l為y=m（m≠0），則它與雙曲線和的交點坐標為A（，m），B（，m）?！郃B=?！唷鰽BP的面積。7.（2012江蘇揚州3分）如圖，雙曲線經過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA＝2AN，△OAB的面積為5，則k的值是▲．【答案】12?！究键c】反比例函數(shù)綜合題?！痉治觥咳鐖D，過A點作AC⊥x軸于點C，則AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON。又∵OA＝2AN，∴OA：ON＝2：3。設A點坐標為(x0，y0)，則OC＝x0，AC＝y(tǒng)0?！郞M＝，NM＝。∴N點坐標為(，)?！帱cB的橫坐標為，設B點的縱坐標為yB，∵點A與點B都在圖象上，∴k＝x0?y0＝?yB?！??！郆點坐標為()?！逴A＝2AN，△OAB的面積為5，∴△NAB的面積為。∴△ONB的面積＝。∴，即。∴?！鄈＝12。8.（2012福建龍巖3分）如圖，平面直角坐標系中，⊙O1過原點O，且⊙O1與⊙O2相外切，都與x軸垂直，且點P1、P2在反比例函數(shù)（x>0）的圖象上，則▲．【答案】。【考點】反比例函數(shù)綜合題?！痉治觥俊摺袿1過原點O，⊙O1的半徑O1P1，∴O1O=O1P1?！摺袿1的半徑O1P1與x軸垂直，點P1（x1，y1）在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴x1=y1，x1y1=1。∴x1=y1=1?！摺袿1與⊙O2相外切，⊙O2的半徑O2P2與x軸垂直，設兩圓相切于點A，∴AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2?！郟2點的坐標為：（2+y2，y2）?！唿cP2在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴（2+y2）?y2=1，解得：y2=－1+或－1－（不合題意舍去）?！鄖1+y2=1+（－1+）=。9.（2012福建漳州4分）如圖，點A(3，n)在雙曲線y=上，過點A作AC⊥x軸，垂足為C．線段OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC周長的值是▲．【答案】4。【考點】反比例函數(shù)的圖象和性質，曲線上點的坐標與方程的關系，線段垂直平分線的性質，勾股定理?！痉治觥坑牲cA(3，n)在雙曲線y=上得，n=1?！郃(3，1)。∵線段OA的垂直平分線交OC于點B，∴OB=AB。則在△ABC中，AC=1，AB＋BC=OB＋BC=OC=3，∴△ABC周長的值是4。10.（2012福建三明4分）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，且AB//y軸，點P是軸上的任意一點，則△PAB的面積為▲．【答案】1?！究键c】反比例函數(shù)的圖象和性質，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥俊唿cA在雙曲線上，點B在雙曲線上，且AB//y軸，∴可設A（x，），B（x，）?！郃B=，AB邊上的高為x?！唷鱌AB的面積為。11.（2012湖南湘潭3分）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例（即），已知200度近視眼鏡的鏡片焦距為0.5m，則y與x之間的函數(shù)關系式是▲．【答案】?！究键c】根據(jù)實際問題列反比例函數(shù)關系式?！痉治觥坑捎邳c（0.5，200）適合這個函數(shù)解析式，則k=0.5×200=100，∴。故眼鏡度數(shù)y與鏡片焦距x之間的函數(shù)關系式為：。12.（2012四川成都4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)(為常數(shù)，且)在第一象限的圖象交于點E，F(xiàn)．過點E作EM⊥y軸于M，過點F作FN⊥x軸于N，直線EM與FN交于點C．若(為大于l的常數(shù))．記△CEF的面積為S1，△OEF的面積為S2，則=▲．(用含的代數(shù)式表示)【答案】?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，相似三角形的判定和性質。?！痉治觥窟^點F作FD⊥BO于點D，EW⊥AO于點W，∵，∴。設E點坐標為：（x，my），則F點坐標為：（mx，y），∴△CEF的面積為：S1=（mx﹣x）（my﹣y）=（m﹣1）2xy?！摺鱋EF的面積為：S2=S矩形CNOM﹣S1﹣S△MEO﹣S△FON=MC?CN﹣（m﹣1）2xy﹣ME?MO﹣FN?NO=mx?my﹣（m﹣1）2xy﹣x?my﹣y?mx=m2xy﹣（m﹣1）2xy﹣mxy=（m2﹣1）xy=（m+1）（m﹣1）xy，∴。13.（2012山東聊城3分）如圖，在直角坐標系中，正方形的中心在原點O，且正方形的一組對邊與x軸平行，點P（3a，a）是反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上與正方形的一個交點．若圖中陰影部分的面積等于9，則這個反比例函數(shù)的解析式為▲．【答案】?！究键c】待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，反比例函數(shù)圖象的對稱性，正方形的性質。【分析】由反比例函數(shù)的對稱性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的，設小正方形的邊長為b，圖中陰影部分的面積等于9可求出b的值，從而可得出直線AB的表達式，再根據(jù)點P（3a，a）在直線AB上可求出a的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式：∵反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱，∴陰影部分的面積和正好為小正方形的面積。設正方形的邊長為b，則b2=9，解得b=6?！哒叫蔚闹行脑谠cO，∴直線AB的解析式為：x=3?！唿cP（3a，a）在直線AB上，∴3a=3，解得a=1?！郟（3，1）?！唿cP在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，∴k=3×1=3?！啻朔幢壤瘮?shù)的解析式為：。14.（2012山東日照4分）如圖，點A在雙曲線上，過A作AC⊥x軸，垂足為C，OA的垂直平分線交OC于點B，當OA＝4時，則△ABC周長為▲.【答案】?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，線段垂直平分線的性質?！痉治觥扛鶕?jù)線段垂直平分線的性質可知AB=OB，由此推出△ABC的周長=OC+AC，設OC=a，AC=b，根據(jù)勾股定理和函數(shù)解析式即可得到關于a、b的方程組，解之即可求出△ABC的周長。設A（a，b），則OC=a，AC=b?！唿cA在雙曲線上，∴，即ab=6?！逴A=4，∴a2＋b2=42，即（a＋b）2－2ab=16，即（a＋b）2－2×6=16，∴a＋b=?！逴A的垂直平分線交OC于B，∴AB=OB。∴△ABC的周長=OC+AC=a＋b=。15.（2012河南省5分）如圖，點A，B在反比例函數(shù)的圖像上，過點A，B作x軸的垂線，垂足分別為M，N，延長線段AB交x軸于點C，若OM=MN=NC，△AOC的面積為6，則k值為▲【答案】4?！究键c】反比例函數(shù)綜合題?！痉治觥吭OOM=a，∵點A在反比例函數(shù)上，∴AM=?！逴M=MN=NC，∴OC=3a?！郤△AOC=?OC?AM=×3a×=k=6。解得k=4。16.（2012甘肅蘭州4分）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為▲．【答案】2。【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?！痉治觥咳鐖D，過A點作AE⊥y軸，垂足為E，∵點A在雙曲線上，∴四邊形AEOD的面積為1。∵點B在雙曲線上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為3?！嗨倪呅蜛BCD為矩形，則它的面積為3－1＝2。三、解答題1.（2012重慶市10分）已知：如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內的A．B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（2，m)，點B的坐標為（n，－2），tan∠BOC＝。（l）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在x軸上有一點E（O點除外），使得△BCE與△BCO的面積相等，求出點E的坐標．【答案】解：（1）過B點作BD⊥x軸，垂足為D，∵B（n，－2），∴BD=2。在Rt△OBD中，tan∠BOC=，即，解得OD=5。又∵B點在第三象限，∴B（－5，－2）。將B（－5，－2）代入中，得k=xy=10?！喾幢壤瘮?shù)解析式為。將A（2，m）代入中，得m=5，∴A（2，5），將A（2，5），B（－5，－2）代入y=ax+b中，得，解得?！嘁淮魏瘮?shù)解析式為y=x+3。

（2）由y=x+3得C（－3，0），即OC=3?！逽△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，∴OE=6，即E（－6，0）?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥浚?）過B點作BD⊥x軸，垂足為D，由B（n，－2）得BD=2，由tan∠BOC=，解直角三角形求OD，確定B點坐標，得出反比例函數(shù)關系式。再由A、B兩點橫坐標與縱坐標的積相等求n的值，由“兩點法”求直線AB的解析式。（2）點E為x軸上的點，要使得△BCE與△BCO的面積相等，只需要CE=CO即可，根據(jù)直線AB解析式求CO，再確定E點坐標。2.（2012安徽省12分）甲、乙兩家商場進行促銷活動，甲商場采用“慢200減100”的促銷方式，即購買商品的總金額滿200元但不足400元，少付100元；滿400元但不足600元，少付200元；……，乙商場按顧客購買商品的總金額打6折促銷。（1）若顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應付多少錢？（2）若顧客在甲商場購買商品的總金額為x（400≤x＜600）元，優(yōu)惠后得到商家的優(yōu)惠率為p（p=），寫出p與x之間的函數(shù)關系式，并說明p隨x的變化情況；（3）品牌、質量、規(guī)格等都相同的某種商品，在甲乙兩商場的標價都是x（200≤x＜400）元，你認為選擇哪家商場購買商品花錢較少？請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）顧客在甲商場購買了510元的商品，付款時應付510－200=310（元）。（2）p與x之間的函數(shù)關系式為。∵200＞0，∴p隨x的增大而減小。（3）購x元（200≤x＜400）在甲商場的優(yōu)惠額是100元，乙商場的優(yōu)惠額是x－0.6x=0.4x。當0.4x＜100，即200≤x＜250時，選甲商場購買商品花錢較少；當0.4x=100，即x=250時，選甲乙商場一樣優(yōu)惠；當0.4x＞100，即250＜x＜4000時，選乙商場購買商品花錢較少?！究键c】反比例函數(shù)的性質和應用?！痉治觥浚?）根據(jù)題意直接列出算式510-200即可。（2）根據(jù)商家的優(yōu)惠率即可列出p與x之間的函數(shù)關系式，并能得出p隨x的變化情況。（3）先設購買商品的總金額為x元，（200≤x＜400），得出甲商場需花x-100元，乙商場需花0.6x元，然后分三種情況列出不等式和方程即可。3.（2012浙江麗水、金華8分）如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y＝(k＞0)經過邊OB的中點C和AE的中點D．已知等邊△OAB的邊長為4．(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；(2)求等邊△AEF的邊長．【答案】解：(1)過點C作CG⊥OA于點G，∵點C是等邊△OAB的邊OB的中點，∴OC＝2，∠AOB＝60°?！郞G＝1，CG＝，∴點C的坐標是(1，)。由，得：k＝?！嘣撾p曲線所表示的函數(shù)解析式為。(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH＝a，則DH＝a。∴點D的坐標為(4＋a，a)?！唿cD是雙曲線上的點，∴由xy＝，得a(4＋a)＝，即：a2＋4a－1＝0。解得：a1＝－2，a2＝－－2(舍去)。∴AD＝2AH＝2－4?！嗟冗叀鰽EF的邊長是2AD＝4－8。．【考點】反比例函數(shù)綜合題，等邊三角形的性質，曲線上點的坐標與方程的關系，解一元二次方程。【分析】(1)過點C作CG⊥OA于點G，根據(jù)等邊三角形的性質求出OG、CG的長度，從而得到點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計算即可得解。(2)過點D作DH⊥AF于點H，設AH＝a，根據(jù)等邊三角形的性質表示出DH的長度，然后表示出點D的坐標，再把點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到a的值，從而得解。4.（2012浙江義烏8分）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且tan∠BOA=．（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．【答案】解：（1）∵點E（4，n）在邊AB上，∴OA=4，在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2。（2）由（1），可得點B的坐標為（4，2），∵點D為OB的中點，∴點D（2，1）?！唿cD在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，∴，解得k=2?！喾幢壤瘮?shù)解析式為。又∵點E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，∴。（3）如圖，設點F（a，2），∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，∴，解得a=1?！郈F=1。連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2﹣t）2+12，解得t=，∴OG=t=。【考點】反比例函數(shù)綜合題，銳角三角函數(shù)定義，曲線上點的坐標與方程的關系，折疊對稱的性質，勾股定理。【分析】（1）由點E的縱坐標得出OA=4，再根據(jù)tan∠BOA=即可求出AB的長度；（2）根據(jù)（1）求出點B的坐標，再根據(jù)點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值。（3）利用反比例函數(shù)解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據(jù)折疊的性質可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度。5.（2012四川攀枝花8分）據(jù)媒體報道，近期“手足口病”可能進入發(fā)病高峰期，某校根據(jù)《學校衛(wèi)生工作條例》，為預防“手足口病”，對教室進行“薰藥消毒”．已知藥物在燃燒機釋放過程中，室內空氣中每立方米含藥量y（毫克）與燃燒時間x（分鐘）之間的關系如圖所示（即圖中線段OA和雙曲線在A點及其右側的部分），根據(jù)圖象所示信息，解答下列問題：（1）寫出從藥物釋放開始，y與x之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍；（2）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量低于2毫克時，對人體無毒害作用，那么從消毒開始，至少在多長時間內，師生不能進入教室？【答案】解：（1）設反比例函數(shù)解析式為，將（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，∴函數(shù)解析式為（x＞15）。將y=10代入解析式得，，解得x=15?！郃（15，10）。設正比例函數(shù)解析式為y=nx，將A（15，10）代入上式，得?！嗾壤瘮?shù)解析式為y=x（0≤x≤15）。綜上所述，從藥物釋放開始，y與x之間的函數(shù)關系式為。（2）由解得x=75（分鐘），∵消毒開始的時間是在15分鐘時，∴75－15=60（分鐘）。答：從消毒開始，至少在60分鐘內，師生不能進入教室。【考點】反比例函數(shù)的應用，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系?！痉治觥浚?）首先根據(jù)題意，用待定系數(shù)法將數(shù)據(jù)（25，6）代入求得反比例函數(shù)的關系式，從而得到點A的坐標；用待定系數(shù)法將點A的坐標代入求得正比例函數(shù)的關系式。根據(jù)點A的坐標確定自變量的取值范圍。（2）因為是從消毒開始，所以將y=2代入求出x的值，再用它減去消毒開始的時間即可得到從消毒開始，至少在60分鐘內，師生不能進入教室的結論。6.（2012山東濟南9分）如圖，已知雙曲線，經過點D（6，1），點C是雙曲線第三象限上的動點，過C作CA⊥x軸，過D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面積為12，求直線CD的解析式；（3）判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．【答案】解：（1）∵雙曲線經過點D（6，1），∴，解得k=6。（2）設點C到BD的距離為h，∵點D的坐標為（6，1），DB⊥y軸，∴BD=6，∴S△BCD=×6?h=12，解得h=4?！唿cC是雙曲線第三象限上的動點，點D的縱坐標為1，∴點C的縱坐標為1－4=－3?！?，解得x=－2?！帱cC的坐標為（－2，－3）。設直線CD的解析式為y=kx＋b，則，解得。∴直線CD的解析式為。（3）AB∥CD。理由如下：∵CA⊥x軸，DB⊥y軸，點C的坐標為（－2，－3），點D的坐標為（6，1），∴點A、B的坐標分別為A（－2，0），B（0，1）。設直線AB的解析式為y=mx+n，則，解得?！嘀本€AB的解析式為?！逜B、CD的解析式k都等于相等。∴AB與CD的位置關系是AB∥CD?！究键c】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標與方程的關系，平行的判定。【分析】（1）把點D的坐標代入雙曲線解析式，進行計算即可得解。（2）先根據(jù)點D的坐標求出BD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點C到BD的距離，然后求出點C的縱坐標，再代入反比例函數(shù)解析式求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答。（3）根據(jù)題意求出點A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行。7.（2012山東淄博9分）如圖，正方形AOCB的邊長為4，反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D，直線過點D，與線段AB相交于點F，求點F的坐標；（3）連接OF，OE，探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關系，并證明．【答案】解：（1）設反比例函數(shù)的解析式，∵反比例函數(shù)的圖象過點E（3，4），∴，即。