2021-2022學(xué)年廣東省河源市龍窩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省河源市龍窩中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若，則等于(

)（A） （B）

（C） （D）參考答案：A略2.若非零向量的夾角為，且，則的夾角為

（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：D3.給出下列4個(gè)命題：

①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；

③若cosAcosBcosC<0，則△ABC是鈍角三角形；

④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC是等邊三角形.

其中正確的命題是

（

）

A.

①③

B.③④

C.①④

D.②③參考答案：答案:B4.設(shè)是三個(gè)不重合的平面，是不重合的直線，下列判斷正確的是（

）

（Ａ）若則

（Ｂ）若則

（Ｃ）若則

（Ｄ）若則參考答案：B略5.設(shè)l，m，表示三條直線，表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題： ①若∥，則； ②若，是在內(nèi)的射影，，則； ③若，則∥； ④若，∥，，則.其中真命題為 （

） （A）①②④ （B）①②③ （C）①③ （D）①②③④參考答案：A略6.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是A．

B．C．

D．參考答案：D在頻率等高條形圖中，與相差很大時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系，四個(gè)選項(xiàng)中，即等高的條形圖中所占比例相差越大，則分類變量關(guān)系越強(qiáng)，故選D．7.已知=2，則的值為（

）A．

B．7

C．－

D．－7參考答案：A略8.設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B9.若cosα=﹣，sin2α＞0，則tanα的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡求值．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；做商法；三角函數(shù)的求值．【分析】求出正弦函數(shù)值，然后求解即可．【解答】解：sin2α=2sinαcosα＞0，cosα=﹣，∴sinα=，∴tanα==．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查二倍角的正弦函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．10.函數(shù)f(x)＝x2019＋a－1－3sinx是R上的奇函數(shù)，則f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y=sinx+ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是

參考答案：的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率為，即有在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為.故答案為：.

12.（4分）設(shè)a為大于1的常數(shù)，函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是．參考答案：0＜b≤1考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：計(jì)算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由題意化簡f2（x）﹣bf（x）=0為f（x）=0或f（x）=b；作函數(shù)f（x）=的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．解答： 解：f2（x）﹣bf（x）=0可化為f（x）=0或f（x）=b；作函數(shù)f（x）=的圖象如下，當(dāng)f（x）=0可得x=1，故f（x）=b要有兩個(gè)不同于1的實(shí)數(shù)解，故由圖象可得，0＜b≤1；故答案為：0＜b≤1．點(diǎn)評： 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力，屬于中檔題．13.已知，照此規(guī)律，第五個(gè)等式為

。參考答案：略14.圓心為（a，2），過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線相切的圓的方程是_________．參考答案：15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應(yīng)的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時(shí)，z最大，進(jìn)而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點(diǎn)P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當(dāng)直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時(shí)，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應(yīng)的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．16.求值：=．參考答案：1【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用兩角和的正切公式求得要求式子的值．【解答】解：===1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17.在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩數(shù)m，n（m≠n），則橢圓的離心率大于的概率是

．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由已知中在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，我們易求出該基本事件對應(yīng)的平面區(qū)域的大小，再求了滿足條件橢圓的離心率大于對應(yīng)的平面區(qū)域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．【解答】解：區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)計(jì)為（m，n），則點(diǎn)對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示的正方形，當(dāng)m＞n時(shí)，橢圓的離心率e=＞，化簡得，m＞2n；當(dāng)M＜n時(shí)，橢圓的離心率e=＞，化簡得，n＞2m；故其中滿足橢圓的離心率大于時(shí)，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：其中正方形面積S=4，陰影部分面積S陰影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是幾何概型，其中計(jì)算出總的基本事件對應(yīng)的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖像過原點(diǎn)．（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；（II）若存在，使得，求的最大值；（III）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：,由得

,.（I）當(dāng)時(shí)，，，，所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為即（II）存在,使得，

，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立

∴的最大值為.

（III）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：極大值極小值的極大值，的極小值又，.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)共有三個(gè)零點(diǎn).

19.如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B是直線x=－4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過橢圓的左焦點(diǎn)F1.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．參考答案：（1）∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)，∴，又，聯(lián)立解得：，，，……………（3分）∴橢圓的方程為.………………（4分）（2）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），聯(lián)立得：∴，∴……（*）

………………（6分）又設(shè)，由A、E、D三點(diǎn)共線得，同理可得.……………（8分）∴∴.

………………（10分）設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M坐標(biāo)為（）即（），∴點(diǎn)M到直線EF的距離.故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.

………………（12分）20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是正三角形，且平面平面，為棱的中點(diǎn)

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

參考答案：解析：（1）是正三角形，是中點(diǎn)，平面平面，平面

（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以PO為Z軸，如右圖建系，

點(diǎn)，，，,

，設(shè)平面的法向量為

又平面，平面的法向量為

二面角的大小為

（3）

點(diǎn)C到平面PBD的距離為21.三棱柱的底面是等邊三角形，的中點(diǎn)為，底面，與底面所成的角為，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：(1)詳見解析；（2）.又又，平面，又平面，，又，平面.（6分）設(shè)平面的法向量，由得令則則，易知所求的二面角為鈍二面角，二面角的平面角的余弦角值是

（12分）考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.空間向量的應(yīng)用.22.已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對三邊分別為a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面積S=24，b=10，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【專題】綜合題；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；