2021-2022學(xué)年廣東省廣州市龍江中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市龍江中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的一條切線的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.2021年某省新高考將實(shí)行“”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式.某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B（

）A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件參考答案：A【分析】事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對(duì)立事件，得到答案.【詳解】事件與事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對(duì)立事件故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件，意在考查學(xué)生對(duì)于互斥事件和對(duì)立事件的理解.3.不等式的解集是

（

）A．

B．

C．或

D．參考答案：C4.△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=（

） A．

B． C． D．參考答案：B5.若則向量的關(guān)系是（

）A．平行

B．重合

C．垂直

D．不確定參考答案：C6.已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.已知p：x2－1≥－1，q：4＋2＝7，則下列判斷中，錯(cuò)誤的是()A．p為真命題，p且q為假命題

B．p為假命題，q為假命題C．q為假命題，p或q為真命題

D．p且q為假命題，p或q為真命題參考答案：B8.10張獎(jiǎng)券中含有3張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券，每人購(gòu)買1張，則前3個(gè)購(gòu)買者中，恰有一人中獎(jiǎng)的概率為（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再按照分別乘法法則求出滿足前個(gè)購(gòu)買者中，恰有一人中獎(jiǎng)的事件總數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意三人抽獎(jiǎng)情況總數(shù)為，則個(gè)購(gòu)買者中，恰有一人中獎(jiǎng)，分兩步：第一步三個(gè)人中兩人從7張不中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券拿到2張，有種；第二步剩下一人從3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券拿到1張，有種；其中拿到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的人有3種可能，按照分別乘法計(jì)算原理一共有，故前3個(gè)購(gòu)買者中，恰有1人中獎(jiǎng)的概率為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，古典概型的概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.在平面幾何中，可以得出正確結(jié)論：“正三角形的內(nèi)切圓半徑等于這個(gè)正三角形的高的.”拓展到空間中，類比平面幾何的上述結(jié)論，則正四面體的內(nèi)切球半徑等于這個(gè)正四面體的高的()

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.若正方體的棱長(zhǎng)為，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為

（

）A、

B、

C、

D、

參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）=3sinx﹣4cosx，則f′（）=

．參考答案：4【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則，先求導(dǎo)，再代入值計(jì)算．【解答】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx，∴f′（）=3cos+4sin=4．故答案為：4．12.若x，y滿足不等式，則的取值范圍是________.參考答案：【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)取的最小值，

聯(lián)立，解得時(shí)得最小值，．

目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)取的最大值，

聯(lián)立，解得，此時(shí)取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．

13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C上的點(diǎn)到直線為參數(shù)）的距離的最大值為

.

參考答案：

14.設(shè)F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面積是______________.參考答案：1略15.已知拋物線y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（1，m）（m＞0）到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線﹣y2=1的左頂點(diǎn)為A．若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a等于．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)M點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，由已知可得p值，由雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，可得，解得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：設(shè)M點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為d，則?p=8，所以拋物線方程為y2=16x，M的坐標(biāo)為（1，4）；又雙曲線的左頂點(diǎn)為，漸近線為，所以，由題設(shè)可得，解得．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是拋物線與雙曲線的綜合應(yīng)用，難度中檔．16.已知圓，則圓心坐標(biāo)為

；此圓中過原點(diǎn)的弦最短時(shí)，該弦所在的直線方程為

.參考答案：，考點(diǎn)：直線的方程及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．17.雙曲線的漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則

▲

.參考答案：2【分析】由題意布列關(guān)于a的方程即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得：，又∴故答案為：2

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)（I)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．參考答案：（1）令，當(dāng)時(shí)，，令令在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在，是減函數(shù)，在是增函數(shù)；綜上可知：當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，是減函數(shù)，在是增函數(shù)；

………8分(2)當(dāng)時(shí)，在是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，對(duì)任意，有又已知存在，使，所以，即存在，使，

，即.

………12分19.設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）?x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】不等式．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義，去掉函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的絕對(duì)值符號(hào)，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函數(shù)f（x）的最小值，若?x∈R，恒成立，只須即可，求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)，∴x＜﹣5當(dāng)，∴1＜x＜2當(dāng)x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2綜上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若?x∈R，恒成立，則只需，綜上所述．【點(diǎn)評(píng)】考查了絕對(duì)值的代數(shù)意義、一元二次不等式的應(yīng)用、分段函數(shù)的解析式等基本，去絕對(duì)值體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題．20.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若△ABC為銳角三角形，且，求的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，結(jié)合C的范圍，化簡(jiǎn)整理，即可求解。（2）由正弦定理得，，所求，又為銳角三角形，可求得，根據(jù)的單調(diào)性，即可求解?！驹斀狻浚?）由題意及正弦定理得，，

所以，因?yàn)?，所以，所以，故?/p>

（2）由正弦定理得，，所以，，所以

，

由得，

所以，故，

所以的取值范圍為．

21.給出命題p：a（1﹣a）＞0；命題q：y=x2+（2a﹣3）x+1與x軸交于不同的兩點(diǎn)．如果命題“p∨q”為真，“p∧q”為假，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【分析】先求出命題p，q為真命題時(shí)對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件，然后利用p∧q為假命題，p∨q為真命題，確定a的取值范圍．【解答】解：命題p為真?a（1﹣a）＞0?0＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）命題q為真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命題“p∨q”為真，“p∧q”為假?p，q中一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）當(dāng)p真q假時(shí)，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）當(dāng)p假q真時(shí)，，得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以a的取值范圍是﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)合命題的真假判斷以及應(yīng)用，要求熟練掌握復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題的真假關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．22.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），直線MP，NP相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是﹣．（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)過定點(diǎn)E（0，2）的直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】J3：軌跡方程．【分析】（I）設(shè)P（x，y），可得?=﹣，（x≠±2），化簡(jiǎn)即可得出．（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，解得k范圍．∠AOB為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得=x1x2+y1y2＜0，進(jìn)而得出范圍．【解答】解：（I）設(shè)P（x，y），則?=﹣，化為：+y2=1（x≠±2）．∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為：+y2=1（x≠±2）．（II）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l的方程為：y=kx+2．聯(lián)立，化為：（1+4k2）x2+16kx+12=0，△=256k2﹣48（1+4k2）＞0，