向量組線性相關(guān)性的幾種判定

題目：向量組線性相關(guān)性的幾種判定摘要：將行列式的值、矩陣的秩、齊次線性方程組的解等知識(shí)運(yùn)用于向量組線性定，歸納出六種判定向量組線性相關(guān)性的方法.關(guān)鍵詞：向量組；線性相關(guān)；線性無關(guān)；判定方法.參考文獻(xiàn)：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)研究室代數(shù)小組.高等代數(shù)（第二版）；高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程［M］；線性代數(shù)題解集［M］.在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，向量線性相關(guān)性的判定很難理解和掌握.向量線性相關(guān)性是線性關(guān)的統(tǒng)稱，而向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)是相對(duì)的，只要掌握了向量組的線性相關(guān)的判定性無關(guān)的判定就同時(shí)解決了.本文將判定向量組的線性相關(guān)的幾種常用方法歸納如下：定義法這是判定向量組的線性相關(guān)性的基本方法，既適用于分量沒有給出的抽象向量組，也適給出的具體向量組定義設(shè)向量組a,a定義設(shè)向量組a,a,…12為零的數(shù)k,k,…，k使得12nka+ka+…+ka=0，1122nn否則，則稱向量組aa（n三1），若數(shù)域F中存在不全n則稱向量組a,a,…,a線性相關(guān)，12na+a,B=a+a,p=a+a+a,334441量組p,p,p,p線性相.1234證明：設(shè)存在四個(gè)數(shù)k,k,k,k,使得kp+kp+kp+kp=1234112233440，將p=a+a,p=a，p=a+a,p=a+a,代入上式整理得11222334441(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a+(k+k)a=0，則141 122343344令k=k=1，k=k=0，則有ka+ka+ka+ka=0，所132411223344以由線性相關(guān)的定義知：p,p,p,p線性相關(guān).1234利用向量組的線性相關(guān)的充要條件向量組a,a,…,a(n三2)的線性相關(guān)的充要條件是向量12n組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.而對(duì)于單個(gè)向量a,a線性相關(guān)的充要條件是a=0.111如例1，p=p+p+p，即B4可由其余三個(gè)向量線性表出，4123故向量組p,p,p,p線性相關(guān)1234方程組法方程組法就是將向量組的線性相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的有無非零解的問題.對(duì)于各分量都給出的向量組a,a,…,a線性相關(guān)的充要條12n件是以a,a，…，a的列向量12n齊次線性方程組有非零解；若齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無關(guān).例2：討論向量組a=(1,-2,5),a=(0,2,-5),a=(-1,0,2)123的線性相關(guān)性.解：以a,a,a為系數(shù)的齊次線性方程組是k-2k+3k=01231230k+2k-5k=0123-1k+0k+2k=0123解之得k=2k=c，k=3k=c（其中c，c為任意常數(shù)），故a,a,性相關(guān).矩陣秩法矩陣秩法就是將向量組構(gòu)成矩陣，利用矩陣的初等變換，將矩陣化為階梯形矩陣.當(dāng)矩陣的秩小于向量的個(gè)數(shù)，向量線性相關(guān)；當(dāng)矩陣的秩等于向量的個(gè)數(shù)，向量線性無關(guān).如上例2,以a,a,k為列向量組的矩陣A,進(jìn)行初等行變換,124得(10-1]r1-23、-22002-5<3-52丿<000丿由最后階梯形矩陣的秩知原矩陣的秩為2，小于向量組的個(gè)數(shù)3.故a,a,a線性相關(guān).123上面是以a,a,a為列向量組構(gòu)造矩陣，根據(jù)矩陣的行秩與列秩123的關(guān)系，用a,a,a為行向量組構(gòu)造矩陣，再進(jìn)行初等行（列）變換123也可以得到相同的結(jié)果.行列式值法若向量組a,a,…，是由n個(gè)n維向量所組成的向量組，且向12量組a,a,12…,a所構(gòu)成的矩陣為nA=(a,a,…，a)，即A為n階方陣.則12n當(dāng)丨AI=0,則向量組a,a，…，a線性相關(guān)；12n當(dāng)IAIH0,則向量組a,a，…，a線性無關(guān).12n反證法此方法是數(shù)學(xué)中常用的證明方法,欲證命題真,先假設(shè)命題假,導(dǎo)出矛盾,從而原命題得證.例3：右a,a,…，a線性無關(guān)，右a=ka+ka+...+ka112212nm1122mm且kH0 (i=1,2,...,m)?證：a,a a，a中任意m個(gè)向量i 12 m m+1線性無關(guān).證明：由a,a,…,a線性無關(guān),而a=ka+ka+12n m+1 1122…+ka且kH0，即a可以用a,a a線性表示，且表達(dá)式TOC\o"1-5"\h\zmm i m+1 1 2 m唯一.假設(shè)a,a, .a,a,a, . ,a,a12 i-1 i i+1 m m+1線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)九,九,…，九，九，九，…，九,12 i-1 ii+1 m九，其中必有使得九a+九a+…+九a+九a=0其中必有九H0,m+1 11 22 mmm+1m+1 i否則得出：a,a,.,12a線性相關(guān)，m與已知條件矛盾.九a = —1-m+1 入m+1a ?a ...九ir-1 a0a—九a…九m—a這顯然與1 九 2九 i-1i九 i+1九mm+1m+1m+1m+1已知條件里