數(shù)電課件第1章數(shù)制與編碼

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院1引言電子系統(tǒng)(電路)一般分為模擬系統(tǒng)(電路)和數(shù)字系統(tǒng)(電路)兩大類。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院2模擬系統(tǒng)：接收、處理、傳輸和再現(xiàn)模擬信號的系統(tǒng)。模擬信號：幅度在連續(xù)的時間軸上取值；幅度隨時間的變化而連續(xù)地變化。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院301234567897654321tVm2023年4月24日北京理工大學信息科學學院4數(shù)字系統(tǒng)：接收、處理、傳輸和再現(xiàn)數(shù)字信號的系統(tǒng)。數(shù)字信號：幅度在離散的時間軸上取值；在每個離散的時間點上幅度取離散的數(shù)值。這些離散的數(shù)值可用二進制數(shù)進行編碼。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院501234567897654321nTsVm0010100111001011101111101012023年4月24日北京理工大學信息科學學院6模擬系統(tǒng)是傳統(tǒng)的，即從電子系統(tǒng)誕生之日起，它就是模擬的。數(shù)字系統(tǒng)是近代產生的。數(shù)字系統(tǒng)較之模擬系統(tǒng)有很多優(yōu)越性，歸納如下：對器件參數(shù)變化不敏感可預先決定精度較大的動態(tài)范圍更適合于非線性控制對環(huán)境溫度變化敏感性低可靠性高系統(tǒng)依據(jù)時間劃分進行多路傳輸時，有較大靈活性系統(tǒng)參數(shù)基本上不隨時間和溫度產生漂移，系統(tǒng)性能始終一致數(shù)字系統(tǒng)的故障比模擬系統(tǒng)易于識別和消除2023年4月24日北京理工大學信息科學學院7§1.1數(shù)制10進制的特點：逢10進1。有10個符號（數(shù)字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9（沒有10）2進制的特點：逢2進1。有2個符號（數(shù)字）：0，1（沒有2）8進制的特點：逢8進1。有8個符號（數(shù)字）：0，1，2，3，4，5，6，7（沒有8）16進制的特點：逢16進1。有16個符號（數(shù)字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)（沒有16）計算機上常用的數(shù)制2023年4月24日北京理工大學信息科學學院8每一種數(shù)制的“逢幾進1”,這個“幾”就叫作該數(shù)制的基數(shù),用r表示。10進制數(shù)的基數(shù)r是10;2進制數(shù)的基數(shù)r是2;8進制數(shù)的基數(shù)r是8;16進制數(shù)的基數(shù)r是16;n進制數(shù)的基數(shù)r是n。任意數(shù)值N均可按某一基數(shù)r表示為多項式;此時N被表示成r進制數(shù),即:其中：r是基數(shù)（數(shù)制）;n是數(shù)值N的整數(shù)部分的位數(shù);

m是數(shù)值N的小數(shù)部分的位數(shù);

aj

是系數(shù)。（aj

：0,1,……,r-1）……;2023年4月24日北京理工大學信息科學學院9§1.2數(shù)制間的轉換1.2.12、8、16進制數(shù)轉換為10進制數(shù)例：123(1101.101)2=+122+021+120+12-1+02-2+12-3=(13.625)10382(372.5)8=+781+280+58-1=(250.625)10

3161(3F.A)16=+F160+A16-1=(63.625)10

2、8、16進制數(shù)轉換為10進制數(shù)轉換的基本原則是：分別以基數(shù)2、8、16作加權展開，再計算出這個加權展開多項式的結果。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院101.2.210進制數(shù)轉換為2、8、16進制數(shù)1.10進制2進制設：N和M分別為某10進制數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分;n和m分別為某2進制數(shù)整數(shù)部分和小數(shù)部分的位數(shù)(N、M、n和m均為整數(shù))。則10進制數(shù)與2進制數(shù)的關系如下式所示：

(N.M)10=an-1.2n-1+an-2.2n-2+……+a1.21+a0.20

+a-1.2-1+a-2.2-2+……+a-m+1.2-m+1+a-m.2-m轉換的基本原則是：10進制數(shù)的整數(shù)部分轉換為2進制數(shù)的整數(shù)部分；

10進制數(shù)的小數(shù)部分轉換為2進制數(shù)的小數(shù)部分。即：(N)10=an-1.2n-1+an-2.2n-2+……+a1.21+a0.20

(M)10=a-1.2-1+a-2.2-2+……+a-m+1.2-m+1+a-m.2-m2023年4月24日北京理工大學信息科學學院11例1-1：把10進制數(shù)(43.625)10轉換成2進制數(shù)。解：轉換整數(shù)部分：43

=a8.28+a7.27+a6.26+a5.25+a4.24+a3.23+a2.22+a1.21+a0.20(1)偶數(shù)由(1)式知：43為奇數(shù)，a8—a1各項和為偶數(shù)，a0只取0或1。a0=1。(1)式等號兩邊分別減去

a0=1，再分別除以2得：

=a8.27+a7.26+a6.25+a5.24+a4.23+a3.22+a2.21+a1=21(2)偶數(shù)由(2)式知：21為奇數(shù)，a8—a2各項和為偶數(shù)，a1只取0或1。a1=1。(2)式等號兩邊分別減去

a1=1，再分別除以2得：

=a8.26+a7.25+a6.24+a5.23+a4.22+a3.21+a2=10(3)偶數(shù)由(3)式知：10為偶數(shù)，a8—a3各項和為偶數(shù)，a2只取0或1。a2=0。取1或0取1或0取1或02023年4月24日北京理工大學信息科學學院12轉換小數(shù)部分：0.625=a-1.2-1+a-2.2-2+a-3.2-3+……+a-m+1.2-m+1+a-m.2-m(1)(1)式等號兩邊乘以2得到:1.25=a-1+a-2.2-1+a-3.2-2+……+a-m+1.2-m+2+a-m.2-m+1(2)……仿照上面的做法繼續(xù)做下去，得到:a3=1;a4=0;a5=1。

a5a4a3a2a1a0=(101011)2(43)10=(101011)2整數(shù)

部分小數(shù)

部分整數(shù)部分

取1或0小數(shù)部分

余數(shù)系數(shù)

243－42＝1a0221－20＝1a1210－10＝0a225－4＝1a322－2＝0a421－0＝1a50由(2)式知：等號兩邊的整數(shù)部分和小數(shù)部分應分別相等。a-1=1。(2)式等號兩邊分別減去a-1=1，再分別乘以2得到：0.252=a-2

+a-3.2-1+……+a-m+1.2-m+3+a-m.2-m+2=0.5(3)小數(shù)部分整數(shù)

部分小數(shù)

部分整數(shù)部分

取1或0由(3)式知：等號兩邊的整數(shù)部分和小數(shù)部分應分別相等。a-2=0。(3)式等號兩邊分別減去a-2=0，再分別乘以2得到：0.52=a-3+……+a-m+1.2-m+4+a-m.2-m+3=1.0(4)2023年4月24日北京理工大學信息科學學院131.0=a-3+……+a-m+1.2-m+4+a-m.2-m+3(4)整數(shù)

部分小數(shù)

部分整數(shù)部分

取1或0小數(shù)部分由(4)式知：等號兩邊的整數(shù)部分和小數(shù)部分應分別相等，a-3=1。a-1a-2a-3=101；即:(0.625)10=(0.101)2

0.625乘積之整數(shù)系數(shù)21.2501a-1

0.2520.500a-2

0.5021.01a-3綜合、的結果：(43.625)10=(101011.101)2注意：小數(shù)部分的轉換有可能進行不完，即不能用有限位的二進制小數(shù)來表示一個十進制小數(shù)。此時要根據(jù)精度要求進行取舍（確定二進制小數(shù)的位數(shù)）。10進制數(shù)2進制數(shù)的簡便方法：熟記若干2k

的數(shù)值（k：-4~10），即：20＝1；21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；28＝256；29＝512；210＝1024；2-1＝0.5；2-2＝0.25；2-3＝0.125；2-4＝0.0625；2023年4月24日北京理工大學信息科學學院14(43)102進制數(shù)整數(shù)：43－32（25）＝11a5＝111－8（23）＝3a3＝13－2（21）＝1a1＝11－1（20）＝0a0＝1a5＝1；a3＝1；a1＝1；a0＝1。

a2＝0；a4＝0。

a5a4a3a2a1a0＝101011(0.625)102進制數(shù)整數(shù)：0.625－0.5（2-1）＝0.125a-1＝10.125－0.125（2-3）＝0a-3＝1a-1＝1；a-3＝1。

a-2＝0。a-1a-2a-3＝101(43.625)10

＝(101011.101)22.10進制8進制、16進制轉換方法：先由10進制轉換為2進制，再由2進制轉換為8進制或16進制。10進制數(shù)2進制數(shù)8進制數(shù)16進制數(shù)2023年4月24日北京理工大學信息科學學院151.2.32、8、16進制數(shù)之間的轉換1.2進制8進制因為23=8。所以每三位二進制數(shù)就是一位八進制數(shù)，如右表所示。

例：（1101001.111）2=(151.7)81517轉換方法：從小數(shù)點開始，分別向左、右方向每三位一組地劃分二進制數(shù)；然后把每三位一組的二進制數(shù)作為一位八進制數(shù)。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院162.2進制16進制因為24=16。所以每四位二進制數(shù)就是一位十六進制數(shù)，如右表所示。例：（1101001.111）2=(69.E)1669E轉換方法：從小數(shù)點開始，分別向左、右方向每四位一組地劃分二進制數(shù)；然后把每四位一組的二進制數(shù)作為一位十六進制數(shù)。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院173.8進制，16進制2進制轉換方法與二進制數(shù)轉換為八進制數(shù)或十六進制數(shù)的過程相反。關鍵是由1位八進制數(shù)寫出3位二進制數(shù)或由1位十六進制數(shù)寫出4位二進制數(shù)。（753.4）8=(111101011.100)2例：111101011100（3FC.B）16=(001111111100.1011)20011111111001011可不寫可不寫2023年4月24日北京理工大學信息科學學院18§1.3二進制符號數(shù)的表示方法1.3.1符號數(shù)的原碼表示法用原碼表示帶符號的二進制數(shù)時，必須首先規(guī)定原碼的位數(shù)。所謂符號數(shù)的n位原碼表示法，就是用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù),符號位放在最高位（第n-1位）。而數(shù)的大小則以該數(shù)絕對值的n-1位自然二進制數(shù)表示。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院19假設某數(shù)字系統(tǒng)中用8位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余7位表示數(shù)的絕對值。例如：(+37)10=(+0100101)2=(00100101)原.8(+0)10=(+0000000)2=(00000000)原.8

(–37)10=(–0100101)2=(10100101)原.8(–0)10=(–0000000)2=(10000000)原.8(+127)10=(+1111111)2=(01111111)原.8(–127)10=(–1111111)2=(11111111)原.8以上例子說明：n位原碼表示法所能表示的十進制數(shù)的范圍為–(2n–1–1)~+(2n–1–1),其中0有兩種表示形式：+0和–0。

原碼表示法不適合于在數(shù)字系統(tǒng)中運算，因此極少采用。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院201.3.2符號數(shù)的反碼表示法

1.反碼的定義與求法

對一個n位二進制數(shù)碼逐位取反（“1”變?yōu)椤?”、“0”變?yōu)椤?”）后所得到的新二進制數(shù)碼稱為原二進制數(shù)碼的反碼。由反碼的定義知。若A為B的反碼，則B亦為A的反碼。A、B互為反碼。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院21用反碼表示帶符號的二進制數(shù)時，必須首先規(guī)定反碼的位數(shù)。所謂符號數(shù)的n位反碼表示法，就是用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)；符號位放在最高位（第n-1位）。其余n-1位表示數(shù)的大小。正數(shù)的大小用其相應的n-1位自然二進制數(shù)碼表示，而負數(shù)的大小則以該負數(shù)絕對值的n-1位自然二進制數(shù)碼的反碼表示。

2.符號數(shù)的反碼表示法2023年4月24日北京理工大學信息科學學院22符號數(shù)的n位反碼表示法的另一種表述是：正數(shù)的反碼就是它的原碼，換句話說，正數(shù)的反碼與原碼是一樣的；而負數(shù)的反碼則是其絕對值（或相應正數(shù)）的原碼的反碼。注意：在求負數(shù)絕對值原碼的反碼時，符號位要參與求反運算。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院23假設某數(shù)字系統(tǒng)中用8位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余7位存放數(shù)的大小。例如：(+37)10=(+0100101)2=(00100101)反.8(–37)10=(–0100101)2=(11011010)

反.8(+0)10=(+0000000)2=(00000000)

反.8(–0)10=(–0000000)2=(11111111)

反.8(+127)10=(+1111111)2=(01111111)

反.8(–127)10=(–1111111)2=(10000000)反.8

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院24以上例子說明n位反碼表示法具有如下特點：反碼表示法在數(shù)字系統(tǒng)中也很少采用。

反碼所能表示的十進制數(shù)的范圍為–(2n-1–1)~+(2n-1–1)。

反碼有兩種0表示法，即：+0和–0。

當最高位（符號位）為0（即正數(shù)）時，反碼后面的n-1位二進制數(shù)碼為正數(shù)的數(shù)值部分。

當最高位（符號位）為1（即負數(shù)）時，反碼后面的n-1位二進制數(shù)碼不代表負數(shù)的數(shù)值，需將它們按位取反后才表示負數(shù)的二進制數(shù)值。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院251.3.3符號數(shù)的補碼表示法1.補碼的定義

說到補碼，必須首先規(guī)定它的位數(shù)。k位補碼的定義如下：

設數(shù)N為有n位整數(shù)、m位小數(shù)的二進制數(shù)，則N的k位補碼定義為：

(N)補.k=2k–N(k≥n)由定義可知：N的補碼與N的大小有關，還與位數(shù)k有關。2k叫做補碼的模。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院26【例1.3.1】(11001)補.8=28–11001【例1.3.2】(11001.0101)補.8=28-11001.0101100000000?）11001

11100111100000000.0000?）11001..1011=11100111=11100110.10112023年4月24日北京理工大學信息科學學院27解：因為補碼與位數(shù)k有關，故先將數(shù)N補齊為8位:N=00010001

對N逐位求反：11101110

將求反后的數(shù)加1得：11101111

所以，(10001)補.8=11101111

【例1.3.3】求二進制數(shù)N=10001的補碼，設補碼位數(shù)k=8位。

方法一：將待求補碼的二進制數(shù)補足k位后，再逐位求反，且在最低位加1即得其補碼。

2.補碼的求法2023年4月24日北京理工大學信息科學學院28方法二：將待求補碼的二進制數(shù)補足k位后，從右往左數(shù)第一個1及其右邊的0不變，其余各位求反即得N的補碼。

【例1.3.4】 求二進制數(shù)N=10010的補碼，補碼位數(shù)k=8位。

解：因為補碼與位數(shù)k有關，故先將數(shù)N補齊為8位:

N=00010010=000100

10

所以(N)補.8=111011

10最右邊一個1及其右邊的0不變，其他各位求反。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院29注意：如果所給二進制數(shù)帶有小數(shù)部分，則應首先將其整數(shù)部分補齊為k位，后續(xù)步驟與方法一、二均相同。注意：無論是“最低位加1”

還是“從最右端往左數(shù)第一個1”

，都是在小數(shù)部分進行的。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院30【例1.3.5】 求二進制數(shù)N=11001.0101的補碼，補碼位數(shù)k=8位。

解：先將數(shù)N的整數(shù)部分補齊為8位:

N=11001.0101=00011001.0101

(N)反.8=11100110.1010

在(N)反.8的小數(shù)部分最低位上加1于是，(N)補.8=11100110.1011

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院31或者：N=00011001.0101=00011001.010

1

于是，(N)補.8=11100110.101

1

小數(shù)部分最右邊的第一個1保持不變，其他各位求反。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院323.符號數(shù)的補碼表示法所謂符號數(shù)的k位補碼表示法，就是用1位二進制數(shù)表示符號：0表示正數(shù)，1表示負數(shù)；符號位放在最高位（k-1位）；其余k-1位表示數(shù)的大小。正數(shù)的大小用其相應的k-1位自然二進制數(shù)碼表示，而負數(shù)的大小則以其絕對值的k-1位自然二進制數(shù)碼的補碼表示。注意：在求負數(shù)絕對值的k-1位自然二進制數(shù)的補碼時，如果次高位（k-2位）向符號位（k-1位）有進位，則該進位要進到符號位上去，即：不能丟掉次高位（k-2位）所產生的進位。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院33符號數(shù)的k位補碼表示法的另一種表述是：正數(shù)的補碼就是它的原碼，換句話說，正數(shù)的補碼與原碼是一樣的；而負數(shù)的補碼則是其絕對值（或相應正數(shù)）的原碼的補碼。注意：在求負數(shù)絕對值的原碼的補碼時，符號位要參與運算（求反運算）。而且次高位（k-2位）所產生的進位要進到符號位（k-1位）上去。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院34假如某數(shù)字系統(tǒng)中用8位存儲器存放數(shù)據(jù)，其中最高位為符號位，其余各位存放數(shù)的大小。例如：(+37)10=(+0100101)2=(00100101)補.8(–37)10=(–0100101)2=(11011011)

補.8

(+0)10=(+0000000)2=(00000000)

補.8(–0)10=(–0000000)2=(00000000)

補.8

(+127)10=(+1111111)2=(01111111)

補.8(–127)10=(–1111111)2=(10000001)

補.8

(–128)10=(–10000000)2=(10000000)

補.8

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院35上述例子說明k位補碼的符號數(shù)表示法具有如下特點：補碼的+0和–0一樣，都是全0；k位補碼的符號數(shù)表示法所能表示的十進制數(shù)的范圍是：–2k–1

~+(2k–1–1)。

k位補碼所表示的最小負數(shù)，2k–1，是一個特殊的補碼。它的最高位既是符號位，也是數(shù)值位的一部分。

當最高位（符號位）為0（即正數(shù)）時，補碼后面的k-1位二進制數(shù)碼為正數(shù)的數(shù)值部分。

當最高位（符號位）為1（即負數(shù)）時，補碼后面的k-1位二進制數(shù)碼不代表負數(shù)的數(shù)值。負數(shù)的數(shù)值（絕對值）是對該負數(shù)的補碼再求一次補碼（連同符號位）后所得到的二進制數(shù)值。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院36符號數(shù)的n位原碼、反碼、補碼表示法總結：正數(shù)的n位原碼、反碼、補碼都是一樣的。正數(shù)的n位原碼、反碼、補碼的結構都是：最高位（n-1位）是符號位且為0；符號位后面的n-1位是表示正數(shù)數(shù)值的自然二進制數(shù)碼。負數(shù)的n位原碼、反碼、補碼都各不相同。負數(shù)的n位原碼是由其相應正數(shù)的n位原碼在最高位（符號位）取反而得到。負數(shù)的n位反碼是由其相應正數(shù)的n位反碼（原碼）逐位取反（包括符號位）而得到。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院37符號數(shù)的n位原碼、反碼、補碼表示法總結（續(xù)1）：負數(shù)的n位補碼是由其相應正數(shù)的n位補碼（原碼）逐位取反（包括符號位）、再在最低位上加1而得到。負數(shù)的n位原碼符號位后的n-1位二進制數(shù)碼代表該負數(shù)的數(shù)值（絕對值）。負數(shù)的n位反碼、補碼符號位后的n-1位二進制數(shù)碼不代表該負數(shù)的數(shù)值（絕對值）。對負數(shù)的n位反碼再取反碼（包括符號位）后，所得到的二進制數(shù)碼代表該負數(shù)的數(shù)值（絕對值）。對負數(shù)的n位補碼再取補碼（包括符號位）后，所得到的二進制數(shù)碼代表該負數(shù)的數(shù)值（絕對值）。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院38符號數(shù)的n位原碼、反碼、補碼表示法總結（續(xù)2）：帶有小數(shù)部分的符號數(shù)，其n位原碼、反碼和補碼中的n是指符號數(shù)的整數(shù)部分的位數(shù)（包括符號位），n中不包括小數(shù)部分的位數(shù)。帶有小數(shù)部分的符號數(shù)，其n位原碼、反碼和補碼的求法與純整數(shù)符號數(shù)的n位原碼、反碼和補碼的求法相同，它們的意義也相同。作業(yè)1：1-1，1-2，1-3，1-4，1-5，1-6，1-7，1-82023年4月24日北京理工大學信息科學學院39設有兩個k位的二進制正數(shù)N1>0和N2>0。則–N1、–N2的k位補碼表示分別為：(–N1)補.k=2k–N1，(–N2)補.k=2k–N2。

在k位加法器（模為2k）中進行加減運算時共有如下四種情況：

1.N1+N2

就是兩個正數(shù)相加，結果為正數(shù)；

在進行兩個二進制正數(shù)的減法運算時，可用加上減數(shù)的補碼來代替減法運算。現(xiàn)在證明如下：2023年4月24日北京理工大學信息科學學院402.N1–N2=N1+(2k

–N2)=2k–(N2–N1)，若N2>N1則N1–N2<0，結果為負數(shù)。而2k–(N2–N1)就是負數(shù)–(N2–N1)的補碼表示，即負數(shù)N1–N2的補碼；若N2<N1則N1–N2>0，結果為正數(shù)。而2k–(N2–N1)=2k+(N1–N2)=N1–N2，所以結果就是正數(shù)N1–N2；3.N2–N1，情況與N1–N2類似；

4.–N1–N2=(2k–N1)+(2k–N2)

=2k+[2k–(N1+N2)]=2k–(N1+N2)。

而[2k–(N1+N2)]就是負數(shù)–(N1+N2)的補碼表示，即負數(shù)–N1–N2的補碼。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院41在二進制數(shù)制中用“求反加1”的方法獲得補碼的意義實際上在任意的數(shù)制系統(tǒng)中，在規(guī)定了一定的模數(shù)（M）大小的情況下，當進行兩個正數(shù)的減法運算時，都可以用被減數(shù)加上減數(shù)關于模M的補碼的加法運算代替被減數(shù)減去減數(shù)的減法運算。例如：設模為M=100，求：19?12=？(?12)100補=100?12=8819?

12=19+(?12)100補=19+88=107=100+7=72023年4月24日北京理工大學信息科學學院42根據(jù)補碼的定義，在求補碼的過程中還是要進行減法運算（模M減去減數(shù)）。在二進制數(shù)制系統(tǒng)中，可以用“求反加1”的方法來獲得補碼。對一個k位的二進制碼逐位求反，實際上是在求這個k位二進制碼關于模為2k-1的補碼（稱為“1補碼”）。上述原因正是在計算機等數(shù)字系統(tǒng)中使用二進制數(shù)制的原因之一。將這個“1補碼”加1之后，就得到了k位二進制碼關于模為2k的補碼。“求反”運算是數(shù)字系統(tǒng)中最擅長的一種運算。這樣就徹底繞開了求補碼過程中的減法運算。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院43按照上面符號數(shù)的k位補碼表示法的第二種表述則有：在數(shù)字系統(tǒng)（比如說計算機）中，所有的數(shù)，無論正、負，均以其補碼的形式出現(xiàn)。所有數(shù)的加、減運算都可以看成是求它們的代數(shù)和。于是，所有的減法運算就都變成了加法運算。這就是使用補碼表示帶符號二進制數(shù)的意義所在。注意：運用補碼進行代數(shù)和運算時，符號位一起參與運算，所得到的結果（“和”或“差”）亦為補碼。最高位為“0”，代表結果為正數(shù)；最高位為“1”，代表結果為負數(shù)。負數(shù)的絕對值為該負數(shù)補碼的補碼。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院44A+B=0010000000010011+0000110100100000-A+B=1111101011101101+0000110111111010A-B=0000011000010011+11110011100000110-A-B=1110000011101101+11110011111100000【例1.3.6】設k=8,有兩個正數(shù)A=10011,B=1101，試用補碼求A+B，A-B，B-A，-A-B。

解：(A)補.8=00010011,(B)補.8=00001101(-A)補.8=11101101,(-B)補.8=11110011對于k=8的情況，當然運算結果不能超出8位補碼所能表示的數(shù)值范圍（+127~-128），否則會產生所謂的溢出，即運算結果發(fā)生錯誤。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院45【例1.3.7】設k=8,有兩個正數(shù)A=110011，B=1101101。試用補碼求A+B，A-B，

B-A，-A-B。

解：(A)補.8=00110011,(B)補.8=01101101

(-A)補.8=11001101,(-B)補.8=10010011A+B=1010000000110011+0110110110100000A-B=1100011000110011+1001001111000110-A-B=0110000011001101+10010011101100000-A+B=0011101011001101+011011011001110102023年4月24日北京理工大學信息科學學院46利用符號數(shù)的k位補碼進行兩個正數(shù)A、B的加、減運算時：如果參與運算的兩個數(shù)的絕對值之和大于k位補碼所能表示的正數(shù)的范圍（2k-1-1），則A+B的運算結果就會發(fā)生錯誤。如果參與運算的兩個數(shù)的絕對值之和的負值小于k位補碼所能表示的負數(shù)的范圍（-2k-1），則-A-B的運算結果就會發(fā)生錯誤。上述兩類錯誤稱為溢出錯誤。溢出錯誤只能發(fā)生在兩個“加數(shù)”的符號位相同時。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院47兩個正數(shù)相加：當?shù)趉-1位（符號位）和第k-2位（最高數(shù)字位）不同時無進位時有溢出發(fā)生。兩個負數(shù)相加：當?shù)趉-1位（符號位）和第k-2位（最高數(shù)字位）不同時有進位時有溢出發(fā)生。設計加法器時可根據(jù)這個原理設計溢出指示電路。

判斷產生溢出錯誤的方法：兩個正數(shù)相加：當?shù)趉-2位（最高數(shù)字位）產生進位時有溢出發(fā)生。兩個負數(shù)相加：當?shù)趉-2位（最高數(shù)字位）不產生進位時有溢出發(fā)生?；蛘撸?023年4月24日北京理工大學信息科學學院48§1.4二-十進制編碼（BCD碼）

定義：用以表示一位十進制數(shù)字的四位二進制編碼稱為BCD碼。四位二進制數(shù)共有16個碼字(0000～1111)。所以可從中任意取10個碼字來代表一位十進制數(shù)的10個符號(0～9)。每次從四位二進制數(shù)的16個碼字中任取10個不同的碼字來代表一位十進制數(shù)的10個符號的過程就產生了一種BCD碼。所以從理論講，BCD碼共有種。這是一個從16個元素中任取10個不同元素的排列問題。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院49表1.3常用BCD編碼2023年4月24日北京理工大學信息科學學院50BCD碼的分類：有權碼：四位二進制數(shù)所構成的BCD碼中的每一位均代表一個固定的權重。無權碼：四位二進制數(shù)所構成的BCD碼中的每一位均不代表特定的權重。8421碼、5421碼、2421碼等都是有權碼。8421碼各位的權重分別為：8，4，2和1。余3碼、循環(huán)余3碼就是無權碼。有效碼/無效碼：在某一種BCD碼方案中，被采用的四位二進制數(shù)碼字叫做有效碼；而未被采用的碼字叫做無效碼。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院51BCD碼的計算：【例1.4.1】求(689)10的8421碼、5421碼、2421碼、余3碼和循環(huán)余3碼。

解：(682)10

=(011010000010)8421=(100110110010)5421=(110011100010)2421=(100110110101)余3=(110111100111)循環(huán)余32023年4月24日北京理工大學信息科學學院52【例1.4.2】

求(001000010110)8421+(001110010011)8421=？001000010110+）001110010011010110101001+）

0000011000000110

00001001∴(001000010110)8421+(001110010011)8421=(011000001001)8421當8421BCD碼的運算結果是無效碼時要進行加6處理，這叫做十進制調整。2023年4月24日北京理工大學信息科學學院53§1.5格雷（Gray）碼格雷碼的特點：相鄰碼字之間只有一位(1bit)不同，其他位均相同。格雷碼的這個特點使得在對其進行譯碼時不會產生譯碼噪聲。格雷碼的結構：由表1.4可以看出，格雷碼的最高位以7、8間的中線為軸互反（上0下1）；而低位則以此線為軸對稱。據(jù)此可由n位格雷碼方便地寫出n+1位格雷碼。

2023年4月24日北京理工大學信息科學學院54表1.4四位格雷碼2023年4月24日北京理工大學信息科學學院55例如：一位格雷碼：0兩位格雷碼：00三位格雷碼：000四位格雷碼：…

…

101001

11011

10010

110

111

101

1002023年4月24日北京理工大學信息科學學院56二進制碼與格雷碼的相互轉換：二進制碼轉換為格雷碼：設給定二進制碼為Bn-1…B2B1B0，它所對應的格雷碼為Gn-1…G2G1G0，則可由下式求出格雷碼的各位：

Gn-1=Bn-1，Gi=Bi+1⊕Bi

式中：i=n-2,n-3,…,2,1,0所以所求格雷碼為1110?！纠?.26】試寫出對應二進制碼1011的格雷碼。解：10111110