隨機分析補充知識

隨機分析補充知識第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)二階矩過程一、定義則稱為二階矩過程。Home第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日解由于和V都服從正態(tài)分布，所以也具有正態(tài)分布，例1其中和V是相互獨立且都服從正態(tài)分布N（0，1）的隨機變量，且Home第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二、性質(zhì)二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)一定存在證由許瓦茲不等式得故即二階矩過程的協(xié)方差函數(shù)存在注Home第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日說明在討論二階矩過程中，常假定均值為零，這樣相關(guān)函數(shù)的形式和協(xié)方差函數(shù)的形式相同。返回Home第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日第二節(jié)均方極限一、均方收斂定義1設(shè)隨機變量序列{，n=1,2,…}和隨機變量X都存在二階矩，如果則稱{}均方收斂于X，或稱X是{}的均方極限記作或簡記為Home第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二、均方收斂準則定理1柯西準則則均方收斂的充要條件為證只證必要性因為均方收斂于X，所以有Home第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日又由所以故Home第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日注等價存在其說明隨機變量序列均方收斂的充要條件是它的相關(guān)函數(shù)列按普通極限意義收斂。三、均方收斂性質(zhì)性質(zhì)1若則證由許瓦茲不等式得因故得證注當均方收斂于X時，的期望收斂于X的期望Home第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)2若則證由許瓦茲不等式得因故得證Home第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)3若則對任意常數(shù)a、b都有證因為故得證Home第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)4若則注因=證于是即Home均方極限的唯一性第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日解由Cauchy準則，在級數(shù)收斂的條件下，可得均方收斂。例2Home第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日第三節(jié)均方連續(xù)性均方收斂定義1即則稱在點t均方連續(xù)。一、均方連續(xù)稱在時均方收斂于Home第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二、均方連續(xù)準則定理1則證充分性則所以Home第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日再證必要性又由均方收斂性質(zhì)2得定理2證由定理1知，Home第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日再由均方收斂性質(zhì)2，得即Home第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日定理3則證由均方連續(xù)定義從而說明在均方連續(xù)的條件下，均值運算與極限運算的次序可以互換。但要注意，上式左邊為普通函數(shù)的極限，而右邊表示均方收斂意義下的極限。Home第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日第四節(jié)均方導(dǎo)數(shù)一、均方導(dǎo)數(shù)的定義定義1如果均方極限存在則稱在t處均方可微，并將此極限記作即有或Home第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二次均方可微二階均方導(dǎo)數(shù)定義2廣義二次可微存在Home第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二、均方可微準則定理1證由均方收斂準則知的充要條件是存在而存在Home第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日三、均方導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2Home第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)3性質(zhì)4證1設(shè)在t處均方可微，則在t處均方連續(xù)。第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日其它類似可證性質(zhì)5Home第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日四、1．證注均方導(dǎo)數(shù)的均值等于均值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。而為普通意義下的確定性函數(shù)，故可用分析的方法求導(dǎo)。Home第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日2.證Home第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日注求偏導(dǎo)數(shù)得到。3．證明Home第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日即同理可得又因故Home第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日注隨機過程的相關(guān)函數(shù)求兩次混合偏導(dǎo)數(shù)。例1證明返回Home第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日第五節(jié)均方積分一、均方黎曼可積定義1分割作和式如果則稱并稱記作即Home第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日二、均方可積準則定理1即黎曼積分存在證由均方收斂準則可知，即存在Home第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日如果上式極限存在，其極限值就是黎曼積分Home第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日定理2證明由定理1知，三、均方積分的性質(zhì)性質(zhì)1Home第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)2其中性質(zhì)3Home第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日性質(zhì)4性質(zhì)5（均方可積的唯一性）四、均方積分的數(shù)字特征1．隨機過程積分的期望Home第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日證注1注2Home第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日2．均方積分的方差及協(xié)方差函數(shù)則證Home第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日注同樣可以證明3．均方積分的自相關(guān)函數(shù)及互相關(guān)函數(shù)則Home第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日證只證明其他類似可證Home第39頁，共42頁，2023年，2月20日，星期日例解在定義中可取則所以Hom