等差數(shù)列與等比數(shù)列知識梳理

等差數(shù)列與等比數(shù)列知識梳理等差數(shù)列 等比數(shù)列概念 概念 從第2項起，每一項與它的前一項的 從第2項起，每一項與它的前差等于同一常數(shù)的數(shù)列 一項的比等于同一常數(shù) (不為0)的數(shù)列相同點 ①都強調每一項與它的前一項的關系；②結果都必須是同一常數(shù)；③數(shù)列都可由 a1，d或a1，q確定不同點通項公式 an 通項公式推導方法與函數(shù)關系前n項和Sn前N項和公式

①強調的關系為差；②首項a1和公差d可以為零；③兩數(shù)的等差中項唯一an＝a1＋(n－1)d是特殊的一次函數(shù)累加法an＝pn＋qSSn ＝ n（a1＋an） ＝ na1 ＋2n（n－1）

①強調的關系為比；②首項a1和公比q均不為零③如果兩數(shù)有等比中項，則等比中項有兩個an＝a1qn－1當q≠1時，an＝aq1·qn累積法當q>0時，且q≠1時等比數(shù)列的通項公式可以看作指數(shù)型函數(shù)Sn＝na1，q＝1（1－qn） －a2

d.

a1 ＝a1 nq，q≠11－q 1－q推導方法與函數(shù)特性判斷數(shù)列類 方法型

倒序相加法Sn＝an2＋bn.由{an}的前n項和Sn組成的新數(shù)列S1，S2，S3，，Sn，的圖象是二次函數(shù)y＝ax2＋bx圖象上一系列孤立的點(1)等差數(shù)列的判斷方法①定義法：an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*n)?{a}是等差數(shù)列．②通項公式法：an＝a1＋(n－d(其中a1，d為常數(shù)，n∈N*)?{an}為等差數(shù)列．等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．④前n項和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．

錯位相減法設a＝a1，數(shù)列{Sn}的圖象是1－q函數(shù)y＝－aqx＋a圖象上一群孤立的點。必刷題p38第5題①定義法：an＋1＝q(q為常an數(shù)且q≠0，n∈N*)或an＝q(qan－1為常數(shù)且q≠0，n≥2)?{an}為等比數(shù)列．2②等比中項法：an＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列．③通項公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q為非零常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列性質中項求數(shù)列通項公式的常用方法

通項公式的變形m，n，p，qN*n≥2，且n∈N*，k≥2，k∈N*注意事項公式法已知Sn(即a1＋a2＋an＝Sn)，求an

an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)dan＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aqp＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm123am，am＋1m＋2a2m，a2maaaaa＋n＝Sm＋Sn＋mnd＋1a2m＋2a3m，，成等比數(shù)列(m∈N*)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，，構成的Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，，Skn數(shù)列是等差數(shù)列－S(k－1)n，，成等比數(shù)列(q≠－1)Sn＝da1－d是關于n的一次函數(shù){an}，{bn}成等比數(shù)列，則n2n＋21an或常函數(shù)，數(shù)列Sn也是等差數(shù)列。{λan}，{an}，{anbn}，{bn}成等n比數(shù)列(λ≠0，n∈N*)必刷題p30第4題Sn＝n（a1＋an）＝n（a2＋an－1）2＝2n（a3＋an－2）2＝若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)若等比數(shù)列的項數(shù)為2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝則S偶＝qS偶am＋1S奇＝.md，S奇am若等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù) 2m－1，所有奇數(shù)項之和為 S奇，所有偶數(shù)項之和為 S偶，則所有項之和 S2m－1(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－S奇 m1)am，S奇－S偶＝am，S偶＝m－1若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)任何2個數(shù)都有等差中項只有同號的兩個數(shù)才能有等比中項；兩個同號的數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)三個數(shù)成等差數(shù)列，通常設為三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設為a-d,a,a+d,四個數(shù)成等差數(shù)列，通常設x，x，xq；四個數(shù)成等比數(shù)列，為a-3d,a-d,a+d,a+3d，公差為2d.q通常設為 x3，x，xq，xq3q q等差數(shù)列的通項公式 等比數(shù)列的通項公式用作差法：an＝S1（n＝1），注意：用公式法求數(shù)列通項時，需Sn－Sn－1（n≥2）.注意“一分為二”和：“合二為一”兩種可能。已知a1·a2··anf(n)，求an若an＋1－anf(n)，求a若an＋1＝anf(n)，求anan＋1＝pan＋q構造等比數(shù)列法pan＋1an＝an－an＋1

必刷題p50刷真題第 8題第（1）問f（1）（n＝1），用作商法：an＝ f（n）（n≥2）.f（n－1）用累加法： an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋＋(a2－a1)＋a1＝f(n1)＋f(n－2)＋＋f(1)＋a1(n≥2)．用累乘法：a＝an·an－1··a2·a＝f(n－1)·f(n－2)··f(1)a·an－1an－2a1若已知an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，設存在非零常數(shù) λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝q，則數(shù)列an＋q就是公比為p的p－1p－1等比數(shù)列，先求出數(shù)列an＋q的通項公式，再求出數(shù)列{an}的通項p－1公式即可必刷題p37第25題，p35第30題構造等差數(shù)列－－取倒數(shù)后成等差數(shù)列常見求和方法

an+1＝panqn形如p0an q0an1p1an q1，注意事項公式法倒序相加法

an＋1panan＋1＝pan＋q型必刷題p25第25題化為nn－1轉為q=q·q＋1用求不動點法來解或倒數(shù)法必刷題p25第24、26、31題1 (－1)n的一類數(shù)列，在求 Sn時，要注意討論 n的奇偶性．2 n項和公式時，一定要分公比 q＝1和q≠1兩種情況進行討論．an＝Sn－Sn－1(n≥2)求數(shù)列的通項公式時，需注意此等式成立的條件．4n與n的關系時，常需運用關系式naSa＝Sn－Sn－1(n≥2)，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后求解．5nan＋1n－1an＋1an－1時，要分奇數(shù)項、偶數(shù)項進行討論，其結果多是分段形式①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式；n1(1)n21(1)(21)③常用公式：，，SnknnknnnSn6k12k1nk3[1n(n1)]2Snk12將一個數(shù)列的倒數(shù)第k項（k=1，2，3，，n）變?yōu)轫様?shù)第k項，然后將得到的新數(shù)列與原數(shù)列相加分組求和法 將數(shù)列分成可以求和的幾組必刷題 p44第7題裂項相消法 將數(shù)列的每一項拆（裂開）成兩項之差，使得正負項能互相抵消，剩下首尾若干項.①111②1111）n(nk)（n(n1)nn1knnk③n(n11[11)(n12)]；1)(n2)2n(n1)(n④an1n1n必刷題p50刷真題第13題,必nn1刷題p4511題錯位相減法若{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}的求和運用錯位求和方法。必刷題p50刷真題第14題，p4513題并項求和法將數(shù)列的相鄰的兩項（或若干項）并成一項（或一組）得到一個新的且更容易求和的數(shù)列（.絕對值的求和或奇數(shù)偶數(shù)的求和）必刷題p51刷好題第5題錯位相減法典例：求數(shù)列2,42,63,,2nn,前n項的和.2222解：由題可知，{2n{2n}的通項與等比數(shù)列{1}的通項之積2n}的通項是等差數(shù)列2n設Sn2462n22232n①212462n（設制錯位）Sn2223242n1②2(11)Sn222222n①－②得222223242n2n1（錯位相減）212n∴Sn4n22n12n12n1倒序相加法典例：求sin21sin22sin23sin288sin289的值解：設