2023屆四川省廣安市校高三年級上冊學(xué)期一診模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2023屆四川省廣安市校高三上學(xué)期一診模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解對數(shù)不等式得到，再利用集合的交集、補集運算，計算即得解【詳解】由題意，故，故選：B2．已知復(fù)數(shù)z滿足，且，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件求出可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，，得所以，.故選：D.3．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為和，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，樣本極差分別為和，則（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，利用平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的定義可得解.【詳解】觀察圖形可知，樣本A的數(shù)據(jù)均在之間，樣本B的數(shù)據(jù)均在之間，由平均數(shù)的計算可知，樣本極差樣本B的數(shù)據(jù)波動較小，故，故選：B4．已知數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)公比為，根據(jù)等差中項和等比數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，又，所以，所以，所以.所以.故選：C.5．已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C．240 D．60【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，再寫出二項式展開式的通項，令，求出，再代入計算可得；【詳解】解：因為，所以所對應(yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因為，所以，所以，其中展開式的通項為，令，解得，所以，即展開式的常數(shù)項為；故選：D6．如圖是函數(shù)的大致圖象，則函數(shù)的解析式可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖象得函數(shù)為偶函數(shù)，判斷奇偶性排除B，由排除D，然后根據(jù)AC三個選項的解析式，由導(dǎo)數(shù)確定其在時的單調(diào)性可得．【詳解】定義域是，四個選項均符合，ACD選項中函數(shù)式里都是含有或,它們是偶函數(shù)，B選項中，，函數(shù)為奇函數(shù)，由圖象關(guān)于軸對稱，排除B，且時，選項A，，，因此在上遞增，排除A；選項D，，不符合題意，排除D；選項C，，，時，，遞增，時，，遞增，時，，遞減，滿足題意，故選：C．7．我國數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破性進展，孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù)，就是指兩個相差2的素數(shù)，例如5和7.在大于3且不超過30的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，恰好是一組孿生素數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出隨機選取2個不同的數(shù)的所有情況，得出其中恰好是一組孿生素數(shù)的情況，則可求出概率.【詳解】大于3且不超過30的素數(shù)有5，7，11，13，17，19，23，29，從中隨機選取2個不同的數(shù)的情況有（5，7），（5，11），（5，13），（5，17），（5，19），（5，23），（5，29），（7，11），（7，13），（7，17），（7，19），（7，23），（7，29），（11，13），（11，17），（11，19），（11，23），（11，29），（13，17），（13，19），（13，23），（13，29），（17，19），（17，23），（17，29），（19，23），（17，29），（23，29）共28種，其中恰好是一組孿生素數(shù)的有（5，7），（11，13），（17，19）共3種，所以恰好是一組孿生素數(shù)的概率為.故選：B.8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角公式求出的值，代入所求代數(shù)式即可得解.【詳解】由可得，則，又，，所以，所以，，可得，因為，則，解得，因此，.故選：C.9．在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將三角形放到直角坐標(biāo)系當(dāng)中，利用坐標(biāo)法求向量夾角，即可求解.【詳解】解：建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.10．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點的坐標(biāo)，再由題目條件得到，利用兩點間的距離公式列出式子，借助化簡式子，得到關(guān)于離心率的式子，結(jié)合離心率的范圍解出不等式即可.【詳解】設(shè)點，因為線段的中垂線過點，所以，即，化簡得，因為，所以，即，所以，又因為，所以，解得.故選：D.11．如圖，在正四棱柱中，，，分別為和的中點，過，，三點的平面截正四棱柱得一多邊形，則該多邊形在平面上的投影圖形的面積為（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】由空間圖形的性質(zhì)，作出截面圖形，進而作出投影圖形，計算面積即可．【詳解】解：正四棱柱中，，與必相交，記交點為，連接延長交于，交于，連接并延長交于，連接，，則四邊形為截面四邊形，過作于，連接，則截面在平面上的投影圖形為，截面與正四棱柱的交線，，∴截面是平行四邊形，可得是平行四邊形，，，∴為中點，，為的中點，∴，得，平行四邊形底為1高為3，故投影四邊形的面積為．故選：D．12．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得的取值范圍，然后化簡，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】由于，即，所以，當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.當(dāng)時，遞增，所以有唯一解.由得，所以.令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】本題要求的取值范圍，主要的解題思路是轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)來求得取值范圍.在轉(zhuǎn)化的過程中，主要利用了對數(shù)、指數(shù)的運算.二、填空題13．已知實數(shù)滿足則的最大值為___________.【答案】4【分析】轉(zhuǎn)化為，則取得最大值即直線與可行域相交，且截距最大，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則取得最大值即直線與可行域相交，且截距最大，根據(jù)不等式組畫出可行域，如圖所示，聯(lián)立，可得當(dāng)直線經(jīng)過點A時取得最大值為4.故答案為：414．已知平面，直線滿足，，則“”是“”的______條件.（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要條件”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要條件【分析】根據(jù)線線，線面關(guān)系，結(jié)合充分，必要條件，即可求解.【詳解】因為，且，，所以，反過來，時，包含或是或,所以不一定垂直，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要條件15．已知拋物線，圓，若點，分別在，上運動，且設(shè)點，則的最小值為______.【答案】【分析】先判斷在曲線里面，然后的最小值為過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線垂足為，的最小值等于求的最小值.【詳解】把代入，得，所以點在曲線里面.因為的最小值為，而正好是拋物線的焦點過點作拋物線準(zhǔn)線的垂線垂足為，則根據(jù)拋物線的定義得所以的最小值等于求的最小值，當(dāng)三點共線時最小，最小值為故的最小值為故答案為：516．已知曲線相鄰對稱軸之間的距離為，且函數(shù)在處取得最大值，則下列結(jié)論正確的序號是______.①當(dāng)時，的取值范圍是；②將的圖象向左平移個單位后所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的最小正周期為；④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點.【答案】①③【分析】根據(jù)題意確定函數(shù)周期，求得，先討論時情況，對于①，由函數(shù)在處取得最大值，可得，結(jié)合輔助角公式可得，解不等式即可得的取值范圍；對于②，取特殊值，求得一個值，代入驗證，可判斷②；對于③，根據(jù)函數(shù)的最小正周期即可判斷；對于④，根據(jù)題意可得當(dāng)時，，可得，此時有無數(shù)個零點，即可判斷④.【詳解】由題意得其中，由函數(shù)相鄰對稱軸之間的距離為，可得，先討論時情況，則，對于①，由函數(shù)在處取得最大值，則，解得，，又，則，故，即，解得，故①正確；對于②，不妨令，則，由函數(shù)在處取得最大值，則，可解得一個，那么將的圖象向左平移個單位后得到的函數(shù)為，該函數(shù)為奇函數(shù)，故②錯誤；對于③，由的最小正周期為，則的最小正周期為，則也是的周期，則函數(shù)的最小正周期為,故③正確；對于④，函數(shù)在處取得最大值，且最小正周期為，故當(dāng)時，，則，此時有無數(shù)個零點，則函數(shù)在區(qū)間上有無數(shù)個零點，則函數(shù)在區(qū)間上有無數(shù)個零點，故④錯誤；同理討論時情況，①③正確，故答案為：①③【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題綜合考查正弦型函數(shù)性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是利用輔助角公式化簡，并能結(jié)合周期確定參數(shù)的值，在判斷④時，關(guān)鍵點在于要明確時，，則有，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).三、解答題17．從①，②兩個條件中選擇一個補充到題目中，完成下列問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，且．(1)求的面積；(2)若是線段的中點，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）若選擇①，則得，由余弦定理即可得到，結(jié)合條件，，代入三角形面積公式即可求解；若選擇②，由射影定理，又，，結(jié)合余弦定理即可得到，代入三角形面積公式即可求解；（2）由中點向量得，，平方化簡可得，即可求解.【詳解】（1）選擇①，因為，即在中，由余弦定理得：，，，又，，故的面積.選擇②，因為，則射影定理，得，又，，在中，由余弦定理得：，，，故的面積.（2）因為是線段的中點，所以，即，則所以，故的長為.18．已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，(1)求(2)求【答案】(1)(2)【分析】(1)先令求出首項，再由數(shù)列的遞推公式，當(dāng)時，代入并結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式求出.(2)由第一問的公式，正好利用分母有理化進行化簡抵消即可得出結(jié)果【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時，，解得，由，代入得，整理后得，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，（2）由(1)可知，，19．2022年春節(jié)后，新冠肺炎的新變種奧密克戎在我國部分地區(qū)爆發(fā).該病毒是一種人傳人，不易被人們直接發(fā)現(xiàn)，潛伏期長且傳染性極強的病毒.我們把與該病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者.一旦發(fā)現(xiàn)感染者，社區(qū)會立即對其進行流行性病醫(yī)學(xué)調(diào)查，找到其密切接觸者進行隔離觀察.調(diào)查發(fā)現(xiàn)某位感染者共有10位密切接觸者，將這10位密切接觸者隔離之后立即進行核酸檢測.核酸檢測方式既可以采用單樣本檢測，又可以采用“合1檢測法”.“合1檢測法”是將個樣本混合在一起檢測，若混合樣本呈陽性，則該組中各個樣本再全部進行單樣本檢測;若混合樣本呈陰性，則可認(rèn)為該混合樣本中每個樣本都是陰性.通過病毒指標(biāo)檢測，每位密切按觸者為陰性的概率為，且每位密切接觸者病毒指標(biāo)是否為陰性相互獨立.(1)現(xiàn)對10個樣本進行單樣本檢測，求檢測結(jié)果最多有1個樣本為陽性的概率的表達(dá)式;(2)若對10個樣本采用“5合1檢測法”進行核酸檢測.用表示以下結(jié)論:①求某個混合樣本呈陽性的概率;②設(shè)總檢測次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)①；②分布列見解析，.【分析】（1）對10個樣本進行逐個檢測屬于獨立重復(fù)試驗，利用獨立重復(fù)試驗概率即可求解；（2）采用“5合1檢測法”，“某個混合樣本呈陰性”仍然屬于獨立重復(fù)試驗，可求出該事件的概率，利用互為對立事件的概率和為1即可求出；此時總檢測次數(shù)可能為2,7,12，列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意可知，對10個樣本進行逐個檢測屬于獨立重復(fù)試驗，所以最多有1個陽性樣本的概率為：，所以（2）①設(shè)“某個混合樣本呈陽性”為事件，則表示事件“某個混合樣本呈陰性”，而混合樣本呈陰性即為該混合樣本全部為陰性，．故②X的可能取值為2，7，12．當(dāng)兩個混合樣本都呈陰性時，.當(dāng)兩個混合樣本一個呈陽性，一個呈陰性時，．當(dāng)兩個混合樣本都呈陽性時，．故X的分布列為：2712的數(shù)學(xué)期望，所以的數(shù)學(xué)期望為20．在四棱錐中，，，，，平面，與平面所成角，又于，于.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運算，根據(jù)求出點的坐標(biāo)，進而可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運算求解面面夾角的余弦值.【詳解】（1）過作，則四邊形為矩形，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因為與平面所成角，所以，所以，所以,，，設(shè)，所以，即,因為，所以,解得，所以，又因為，所以，即，又因為，，平面，所以平面.（2）由（1）可知平面，則為平面的一個法向量.,所以,即，又因為平面，平面,所以，又因為平面，所以平面，則為平面的一個法向量.則所以二面角的余弦值為.21．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，求證：.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的與的關(guān)系來分類討論函數(shù)的單調(diào)性，并注意一元二次方程根的正負(fù)與定義域的關(guān)系；（2）由是兩個極值點得到對應(yīng)的韋達(dá)定理形式，然后利用條件將轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于函數(shù)，再運用的關(guān)系將不等式轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，得出最值，不等式可得證.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，，則.①當(dāng)時，對，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，所以對，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，令，得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增；令，得，所以在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知且，所以.又由.又因為.所以要證，只需證.因為，所以只需證，即證.令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以對.所以.所以若存在兩個極值點，則.【點睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于較難題.導(dǎo)數(shù)中通過雙極值點求解最值或證明不等式時，可通過雙極值點對應(yīng)的等式將待求的式子或待證明的式子轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于同一變量（注意變量的范圍）的式子，然后通過構(gòu)造新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調(diào)