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2022-2023學(xué)年新疆烏魯木齊第七十中學(xué)高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.設(shè)集合,,則等于(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件,利用交集的定義求解作答.【詳解】因為集合,,所以.故選:B2.已知:,:且,則是的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因為且,則有,即能推出,而當(dāng)時,如滿足,顯然且不成立,即不能推出,所以是的充分不必要條件.故選:A3.在下列函數(shù)中,與表示同一函數(shù)的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】化簡解析式否定選項A;化簡解析式否定選項B;化簡解析式可知選項C正確;化簡解析式否定選項D.【詳解】選項A:.與不表示同一函數(shù);選項B:.與不表示同一函數(shù);選項C:.與表示同一函數(shù);選項D:.與不表示同一函數(shù).故選:C4.計算的結(jié)果等于(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用余弦的二倍角公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以.故選:A.5.函數(shù)的零點一定位于區(qū)間(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性,再將選項的區(qū)間端點代入,直到端點處的函數(shù)值異號,即為所求.【詳解】解:由題知,因為,在上均單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,故最多有一個零點,因為所以零點一定位于內(nèi).故選:C6.設(shè),則()A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)在上單調(diào)遞增,可判斷的范圍,根據(jù)對數(shù)換底公式及的范圍,可判斷的范圍,求出的值,即可判斷的大小關(guān)系,選出選項.【詳解】解:因為在上單調(diào)遞增,所以,即,因為,,所以.故選:C7.已知函數(shù)的圖像恒過一點P,且點P在直線的圖像上,則的最小值為(
)A.4 B.6 C.7 D.8【答案】D【分析】求出函數(shù)的圖象所過的定點坐標(biāo),由此建立的關(guān)系,再利用均值不等式“1”的妙用求解作答.【詳解】函數(shù)中,當(dāng),即時,恒有,則點,依題意,,即,又,因此,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以的最小值為8.故選:D8.函數(shù)的圖象大致為(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象的特征逐項排除即可得解.【詳解】當(dāng)時,,,故排除B、C;當(dāng)時,,,故排除D.故選:A.【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.9.若則的值為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】將按照兩角和的正弦公式展開,化簡即可得出結(jié)果.【詳解】解:因為,即,即,即.故選:B10.為了得到函數(shù)的圖像,可以將函數(shù)的圖像(
)A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位【答案】D【分析】先將兩函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,計算兩者的差值,利用口訣“左加右減”可知如何平移.【詳解】因為,,且,所以由的圖像轉(zhuǎn)化為需要向右平移個單位.故選:D.11.已知,函數(shù),若,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由已知條件,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得,,從而利用即可求解.【詳解】解:令,,則或,令,,則,又,,所以,,,,因為,,所以,,所以,故選:B.12.若的定義域為,且滿足為偶函數(shù),的圖象關(guān)于成中心對稱,則下列說法正確的個數(shù)是(
)①的一個周期為4②
③圖象的一條對稱軸為④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合奇偶函數(shù)的定義,可得,由此推理計算即可判斷各命題作答.【詳解】的定義域為,由為偶函數(shù),得,即,由圖象關(guān)于成中心對稱,得,于是,則,因此函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),①正確;由,得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,因此圖象的一條對稱軸為,③正確;由,得,則,,即,因此,④正確;而,則②錯誤,所以正確說法的個數(shù)是3,C正確.故選:C【點睛】結(jié)論點睛:函數(shù)的定義域為D,,(1)存在常數(shù)a,b使得,則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得,則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.二、填空題13.函數(shù)的圖象的對稱軸方程是______.【答案】【分析】令,即可求得函數(shù)的對稱軸的方程,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù),令,解得,即函數(shù)的對稱軸的方程為.故答案為:.14.已知扇形的圓心角為60°,面積為,則扇形的半徑為________.【答案】3【分析】根據(jù)扇形的面積公式代入,即可得半徑.【詳解】解:因為扇形面積,解得.故答案為:315.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_______.【答案】【分析】先由對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零求得的定義域,再利用復(fù)合函數(shù)的的單調(diào)性,結(jié)合二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為,所以,則或,所以的定義域為或,又因為開口向上,對稱軸為,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為在上單調(diào)遞減,所以由復(fù)合函數(shù)的的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為:.16.如圖,OPQ是半徑為2,的扇形,C是弧PQ上的點,ABCD是扇形的內(nèi)接矩形,設(shè),若,四邊形ABCD面積S取得最大值,則的值為_______.【答案】##【分析】先把矩形的各個邊長用角表示出來,進(jìn)而表示出矩形的面積;結(jié)合輔助角公式與三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可求得矩形面積最大時角的值.【詳解】因為在直角中,,所以,因為在直角中,且,,所以,,所以,所以,其中,當(dāng)時,取得最大值,此時,則,即,即,因為,所以.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題的突破口是利用直角三角形中三角函數(shù)定義求得四邊形各邊關(guān)于的表達(dá)式,從而利用輔助角公式得解.三、解答題17.已知集合,集合,其中.(1)若,求﹔(2)設(shè)命題p:,命題q:,若是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)把代入集合,再由交、并、補(bǔ)集的混合運算得答案;(2)由是的充分不必要條件,得,,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩集合端點值間的關(guān)系列不等式組求解.【詳解】(1),或.若,則或,,;(2)若是的充分不必要條件,或,則,,解得.的取值范圍是.18.已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點.(1)求的值;(2)若是第三象限角,且,求的值.【答案】(1);(2)0.【分析】(1)利用三角函數(shù)定義求出的正余弦,再結(jié)合誘導(dǎo)公式計算作答.(2)利用平方關(guān)系求出,再用差角的余弦公式計算作答.【詳解】(1)依題意,,則,所以.(2)因為是第三象限角,且,則,由(1)知,,所以.19.已知是正實數(shù).(1)若,證明:;(2)證明:.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)先將變形成,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.(2)由都是正實數(shù),三次利用基本不等式,再相加整理即得.【詳解】(1)因為,,,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時,等號成立,所以.(2)因為,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號;上述三式相加可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.所以.20.為了節(jié)能減排,某農(nóng)場決定安裝一個可使用10年的太陽能供電設(shè)備,使用這種供電設(shè)備后,該農(nóng)場每年消耗的電費C(單位:萬元)與太陽能電池板面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系為(m為常數(shù)).已知太陽能電池板面積為5平方米時,每年消耗的電費為8萬元,安裝這種供電設(shè)備的工本費為0.5x(單位:萬元),記為該農(nóng)場安裝這種太陽能供電設(shè)備的工本費與該農(nóng)場10年消耗的電費之和.(1)求常數(shù)m的值;(2)寫出的解析式;(3)當(dāng)x為多少平方米時,取得最小值?最小值是多少萬元?【答案】(1);(2);(3)當(dāng)平方米時,有最小值為萬元.【分析】(1)代入數(shù)據(jù)計算即可.(2),代入解析式化簡即可.(3)考慮和兩種情況,分別計算最小值,比較得到答案.【詳解】(1),解得;(2),(3)當(dāng)時,,;當(dāng)時,,當(dāng),即時等號成立.綜上所述:當(dāng)平方米時,有最小值為萬元.21.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及的單調(diào)區(qū)間﹔(2)將的圖象先向左平移個單位長度,再向下平移1個單位得到函數(shù),當(dāng)時,求的值域;(3)若,,求的值;【答案】(1),單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間:(2)(3)【分析】(1)化簡的解析式,根據(jù)三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間的求法求得正確答案.(2)利用三角函數(shù)圖象變換的知識求得,根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得在區(qū)間上的值域.(3)先求得,利用兩角和的余弦公式求得.【詳解】(1).所以的最小正周期.由解得,所以的遞增區(qū)間是,由解得,所以的遞減區(qū)間是.(2)將的圖象先向左平移個單位長度,再向下平移1個單位得到函數(shù),,所以.(3),由于,所以,所以.22.已知函數(shù)是函數(shù)(且)的反函數(shù).(1)若a=3,解方程;(2)若在區(qū)間上的值域為,求實數(shù)p的取值范圍.【答案】(1)或9;(2).【分析】(1)根據(jù)給定條件,利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系求出,把a(bǔ)=3代入解方程作答.(2)根據(jù)給定條件,按函數(shù)的單調(diào)性分類討論,再結(jié)合一元二次方程的實根分布求解作答.【詳解】(1)函數(shù)是函數(shù)(且)的反函數(shù),則(且),當(dāng)時,,原方程化為,解得或,即或,經(jīng)檢驗符
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